Exercicis: Rang d'una matriu

Calcula el valor del determinant de la següent matriu $A$ d'ordre 2. Aquest valor representa el factor d'escala d'una transformació geomètrica en el pla:

Troba el valor del determinant de la matriu $B$ utilitzant la regla de Sarrus:

Donada la matriu $M$, calcula el valor del paràmetre real $x$ perquè el seu determinant sigui igual a $10$:

En la matriu $C$, identifica l'element $a_{23}$ i calcula el seu adjunt (cofactor) $A_{23}$:

Determina el rang de la següent matriu $A$ observant la relació entre les seves files:

Si sabem que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 2 és $|A| = 5$, quin serà el valor del determinant de la matriu $2A$? Aplica les propietats dels determinants per justificar la teva resposta.

Calcula el rang de la matriu $B$ buscant el menor de major ordre que sigui diferent de zero:

1. a) Indica quin és el major ordre possible d'un menor de $B$ i quants menors d'aquest ordre es poden formar.

1. b) Calcula un d'aquests menors i comprova si és diferent de zero.

1. c) Escriu el rang de $B$ i justifica la teva resposta.

Calcula de forma ràpida el determinant de la següent matriu triangular superior raonant la teva resposta:

En calcular el rang de la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, en Marcos escriu al seu examen:

«Prenem el menor format per les dues primeres files i les dues primeres columnes:

Com que aquest menor d'ordre 2 és nul, la matriu no pot tenir rang 2 ni 3. Per tant, concloc que $\operatorname{rg}(A) = 1$.»

1. a) Explica amb precisió l'error conceptual d'en Marcos: per què el fet que un menor concret d'ordre 2 sigui nul no permet deduir que $\operatorname{rg}(A) < 2$?
2. b) Corregeix l'exercici: localitza un menor d'ordre 2 no nul a la matriu $A$ i utilitza el mètode dels menors orlats per determinar de manera concloent $\operatorname{rg}(A)$.

Donada la matriu $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$:

1. a) Estima: abans de calcular cap determinant, observa amb atenció les files de $B$. Justifica raonadament quina és la cota superior teòrica per a $\operatorname{rg}(B)$ atenent a les seves dimensions. A continuació, detecta la relació de proporcionalitat evident entre dues de les seves files i explica per què el rang no pot ser 3. A partir d'aquesta inspecció visual, fes una estimació raonada de si el rang final serà 1 o 2.
2. b) Comprova: tria un menor d'ordre 1 no nul i aplica el mètode dels menors orlats. Troba un menor d'ordre 2 no nul i, posteriorment, calcula els determinants de totes les orles d'ordre 3 possibles per verificar rigorosament si la teva estimació inicial era correcta.

Donada una matriu quadrada $A$ d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = 4$, utilitza les propietats dels determinants per a calcular de forma raonada el valor dels determinants següents:

1. a) $|A^t \cdot A^{-1}|$

1. b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$

1. c) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar les dues primeres files de $A$ i multiplicar la tercera columna per $-3$.

En el disseny d'un motor gràfic per a un videojoc, es requereix que una matriu de transformació $M$ sigui invertible per a poder desfer moviments. Donada la matriu:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$

1. a) Troba els valors del paràmetre real $m$ per als quals la matriu $M$ no té inversa.

1. b) Per al valor $m = 2$, calcula el valor del determinant de la matriu inversa, $|M^{-1}|$.

Estudia el rang de la matriu següent $A$ en funció dels possibles valors del paràmetre real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

Determina per a quins valors de $k$ el rang és $1$, $2$ o $3$.

Sabent que el valor del determinant de la matriu $3 \times 3$ formada pels vectors columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ i $\vec{c_3}$ és igual a $5$, és a dir, $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcula sense desenvolupar el valor de:

$|\vec{c_1} + \vec{c_3}, \quad 2\vec{c_2}, \quad \vec{c_1} - \vec{c_3}|$

Justifica cada pas esmentant la propietat dels determinants que has aplicat.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre $4$ utilitzant el mètode de Gauss per a fer zeros en una fila o columna abans de desenvolupar per adjunts:

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

Determina el rang de la matriu $B$ segons els valors del paràmetre real $a$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Recorda que per a una matriu de dimensions $3 \times 4$, el rang màxim possible és $3$.

Resol la següent equació de segon grau expressada en forma de determinant:

$\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Obtén les solucions exactes (poden contenir arrels).

Donades les matrius $A$ i $B$ d'ordre $3 \times 3$, se sap que $A$ té rang $3$ i que el determinant de $B$ és $|B| = 0$.

1. a) Quin és el valor del determinant del producte $|A \cdot B|$? Raona la resposta.

1. b) És possible que el rang de la matriu producte $A \cdot B$ sigui $3$? Explica per què basant-te en la relació entre el determinant i el rang.

Considera la matriu de dimensions $3 \times 4$:

Per determinar el rang de $C$, dos companys proposen camins diferents:

• Estratègia 1 (Esglaonament de Gauss): aplicar transformacions elementals per files fins a triangular la matriu.

• Estratègia 2 (Menors orlats): descartar columnes nul·les i orlar un menor no nul d'ordre 2 ben triat.

1. a) Analitza l'estructura de la matriu $C$ (fixa't especialment en la segona columna i en la posició dels zeros) i justifica quina de les dues estratègies requereix calcular menys operacions per argumentar el rang.
2. b) Seguint l'estratègia que has justificat com a més convenient a l'apartat anterior, calcula raonadament $\operatorname{rg}(C)$ mostrant tots els passos i determinants o combinacions emprades.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) analitza les precipitacions trimestrals acumulades (en $\text{l/m}^2$) en tres estacions de la conca de l'Ebre: Logronyo ($F_1$), Saragossa ($F_2$) i Tortosa ($F_3$). Els registres corresponents a tres trimestres consecutius es recullen a la matriu:

on el paràmetre real $k$ representa una anomalia pluviomètrica puntual a Tortosa produïda per un temporal mediterrani.

1. a) Modelitza la dependència lineal del conjunt calculant el determinant de $P$ en funció de $k$. Determina per a quin valor exacte de $k$ la matriu $P$ és singular.
2. b) Interpreta climàticament els dos casos possibles: calcula el rang de $P$ quan $k = 0$ i quan $k \ne 0$. Explica què significa cada situació en termes d'informació meteorològica (aporta Tortosa dades independents o el seu règim de pluges és combinació lineal predictible a partir de Logronyo i Saragossa?).

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $n=4$ tal que el seu determinant és $|A| = \frac{1}{2}$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula el valor del determinant de la matriu $B$, definida com:

on $A^t$ és la transposada de $A$ i $Adj(A)$ és la seva matriu adjunta. Raona cada pas del teu càlcul indicant la propietat aplicada.

Un enginyer de robòtica està programant el moviment d'un braç mecànic en l'espai tridimensional. Els sensors detecten tres vectors de força que determinen l'estabilitat del sistema. La matriu que representa aquestes forces és:

Es demana:

1. Determina el rang de la matriu $M$ en funció del paràmetre real $k$.

2. Existeix algun valor de $k$ per al qual les forces siguin linealment dependents però el rang de la matriu sigui màxim? Explica la teva resposta basant-te en la teoria de menors.

Calcula, sense desenvolupar directament per la regla de Sarrus, el valor del determinant següent d'ordre 4, aplicant transformacions elementals per fer zeros i simplificar el càlcul:

Quina condició han de complir $a, b$ i $c$ perquè el rang de la matriu associada sigui exactament 2?

Estudia la dependència lineal de les files de la matriu $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$:

Determina per a quins valors de $(a, b)$ el rang de $A$ és igual a 1. Descriu geomètricament quina relació guarden els vectors fila quan això passa.

Donada la matriu quadrada d'ordre 3:

1. Demostra que $|A|$ és independent del valor de la variable $x$.

2. Si definim una nova matriu $B = A - \lambda I$ (on $I$ és la identitat), troba els valors de $\lambda$ per als quals el rang de $B$ és menor que 3 quan $x = \frac{\pi}{4}$.

En un sistema de telecomunicacions, el senyal es perd si el determinant de la matriu de transmissió s'anul·la. La matriu de transmissió ve donada per:

1. a) Sabent que $|T|$ és un determinant de Vandermonde, expressa'l com un producte de factors lineals.

1. b) Si fixem $a=2$ i $b=5$, discuteix el rang de $T$ segons els valors que pugui prendre el paràmetre $m$. Per a quins valors de $m$ el rang és mínim i quin és aquest rang mínim?

Considera la matriu quadrada $A$ d'ordre 3 les columnes de la qual són $C_1, C_2, C_3$. Es sap que $|A| = 5$. Calcula el valor del determinant de la matriu $M$ les columnes de la qual són:

Si substituïm la tercera columna de $M$ pel vector nul, quin seria el rang de la nova matriu? Justifica la teva resposta sense realitzar càlculs numèrics detallats.

Donada la matriu:

1. Troba els valors de $\alpha$ per als quals la matriu no té inversa.

2. Per als valors trobats en l'apartat anterior, calcula el rang de la matriu $A^2$.

3. És possible trobar un valor de $\alpha$ tal que $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argumenta la teva resposta basant-te en les propietats del rang i els determinants.

Dissenya raonadament una matriu $M \in \mathcal{M}_{3 \times 4}(\mathbb{R})$ que compleixi de manera simultània les tres condicions següents:

1. Les quatre entrades de la primera fila són nombres enters estrictament positius i diferents entre si: $a_{11} < a_{12} < a_{13} < a_{14}$.

2. El menor d'ordre 2 format per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 2 és nul, és a dir, $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = 0$, però existeix almenys un menor d'ordre 2 no nul que conté la fila 1 i la columna 1.

3. $\operatorname{rg}(M) = 2$.

Per justificar la teva construcció deductiva:

• Explica com determines les files 2 i 3 per garantir la dependència i independència lineal requerides.

• Demostra formalment que $\operatorname{rg}(M) = 2$ mitjançant el mètode dels menors orlats, indicant el menor no nul d'ordre 2 del qual parteixes i comprovant que totes les seves orles d'ordre 3 possibles tenen determinant igual a zero.

En un examen de 2n de Batxillerat es demana discutir el rang de la matriu següent en funció del paràmetre real $a$:

En David presenta la resolució següent:

«Calculo el determinant de la matriu i factoritzo:

Igualo a zero i obtinc les arrels $a = 1$ i $a = -2$.

• Cas 1: Si $a \ne 1$ i $a \ne -2$, $|A_a| \ne 0$, per la qual cosa la matriu és regular i $\operatorname{rg}(A_a) = 3$.

• Cas 2: Si $a = 1$ o $a = -2$, com que $|A_a| = 0$, la matriu no pot tenir rang 3; per tant, en ambdós casos $\operatorname{rg}(A_a) = 2$.»

1. a) Localitza l'error de raonament deductiu d'en David en el Cas 2. Per què la condició $|A| = 0$ en una matriu quadrada d'ordre $n$ només permet afirmar que $\operatorname{rg}(A) \le n - 1$ i no garanteix que $\operatorname{rg}(A) = n - 1$?
2. b) Corregeix l'estudi per a $a = 1$ i per a $a = -2$. Per a cadascun d'aquests dos valors, determina el rang exacte de la matriu analitzant l'existència o anul·lació total dels menors d'ordre 2.
3. c) A partir de les teves conclusions, justifica per a quins valors de $a$ existeix la matriu inversa $A_a^{-1}$ i relaciona aquest resultat amb la definició de matriu regular.