Rango de una matriz
Un ingeniero conecta varios sensores a un mismo sistema de control y necesita saber cuántos de ellos aportan información realmente nueva: puede que uno sea, en el fondo, una combinación de los demás. Esa pregunta —cuántas filas o columnas de una matriz son "independientes"— es exactamente lo que mide el rango.
Qué mide el rango de una matriz
Si una fila es múltiplo de otra, o es la suma de otras dos, no aporta una dirección nueva: "sobra" a efectos de rango, aunque siga ocupando una fila de la matriz.
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$El rango mediante menores
En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$:
$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$
Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$El método de los menores orlados
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$: $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$…
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$:
$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$
Recuerda que para una matriz de dimensiones $3 \times 4$, el rango máximo posible es $3$.
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan…
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan la estabilidad del sistema. La matriz que representa dichas fuerzas es:
$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$Se pide:
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Determina el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k$.
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¿Existe algún valor de $k$ para el cual las fuerzas sean linealmente dependientes pero el rango de la matriz sea máximo? Explica tu respuesta basándote en la teoría de menores.
Rango según un parámetro
Cuando la matriz depende de una letra $k$, el rango puede cambiar según el valor que tome. La estrategia es siempre la misma: calcular el determinante más grande posible en función de $k$, factorizarlo y estudiar qué pasa en sus raíces.
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:…
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:
$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$
Determina para qué valores de $k$ el rango es $1$, $2$ o $3$.
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b &…
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$Determina para qué valores de $(a, b)$ el rango de $A$ es igual a 1. Describe geométricamente qué relación guardan los vectores fila cuando esto ocurre.
Rango, determinante y producto de matrices
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:…
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$
- a) Halla los valores del parámetro real $m$ para los cuales la matriz $M$ no posee inversa.
- b) Para el valor $m = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$. a) ¿Cuál es el valor del determinante del…
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$.
- a) ¿Cuál es el valor del determinante del producto $|A \cdot B|$? Razona la respuesta.
- b) ¿Es posible que el rango de la matriz producto $A \cdot B$ sea $3$? Explica por qué basándote en la relación entre el determinante y el rango.