Exercicis: Regles de derivació i funció derivada de funcions usuals

Un coet pirotècnic s'enlaira verticalment des d'una plataforma de llançament. L'altura $h$ en metres respecte al temps $t$ en segons ve donada per la funció polinòmica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcula la funció derivada $h'(t)$, que representa la velocitat instantània del coet en qualsevol instant $t$.

Un compte d'una xarxa social ha analitzat el seu creixement i ha determinat que el nombre de seguidors $S$ evoluciona segons la funció exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, on $t$ és el temps transcorregut en mesos des de la seva creació. Determina la funció derivada $S'(t)$ per conèixer el ritme de creixement de seguidors.

Calcula la funció derivada de les funcions següents aplicant les regles de derivació de les funcions elementals (potències i arrels):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Donada la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 5$, es demana:

1. a) Trobar la funció derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular el valor del pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt $P$ d'abscissa $x = 4$ (marcat a la figura).

Troba la funció derivada de les funcions transcendents següents utilitzant la taula de derivades de funcions usuals:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Una molla oscil·la seguint un moviment harmònic simple descrit per la funció $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, on $y$ és la posició en centímetres i $x$ és el temps. Obtén l'expressió de la funció derivada $y'(x)$, que representa la velocitat d'oscil·lació de la molla.

Calcula la derivada de les funcions compostes senzilles següents utilitzant la regla de la cadena de forma directa:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Dada la funció $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcula la seva funció derivada $f'(x)$ i simplifica el resultat expressant l'arrel de nou en forma radical.

En un examen de 2n de Batxillerat, en Marcos ha de calcular la funció derivada de $f(x) = \sin^3(2x)$. En el seu full de respostes escriu el següent:

«Com que és una potència, abaixo l'exponent i derivo el sinus:

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x)$».

1. a) Identifica amb precisió quin pas fonamental de la regla de la cadena ha omès en Marcos en descompondre les capes de la funció composta. Explica per què el seu raonament és erroni.
2. b) Corregeix l'exercici escrivint la cadena completa de derivació pas a pas, identificant cadascuna de les funcions elementals que componen $f$ (des de la més exterior fins a la més interior), i obtén l'expressió simplificada correcta de $f'(x)$.

Es vol calcular la funció derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ per a tot $x \in \mathbb{R}$. Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Camí A (Derivació directa): Aplicar immediatament la fórmula $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, calculant prèviament la derivada de la fracció mitjançant la regla del quocient i la regla de la cadena per al denominador.

• Camí B (Simplificació prèvia amb logaritmes): Utilitzar les propietats dels logaritmes ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ i $\ln(e^u) = u$) per descompondre $f(x)$ en una suma i resta de termes senzills abans de derivar.

1. a) Compara els dos camins i justifica raonadament quin dels dos és preferible en termes de menor càrrega operativa i menor probabilitat de cometre errors de signe o simplificació.
2. b) Aplica el camí més eficient per calcular $f'(x)$ i expressa el resultat com una única fracció algebraica irreductible.

Calcula la funció derivada de la següent funció composta, aplicant la regla de la cadena i simplificant el resultat al màxim:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Donada la funció racional que involucra logaritmes neperians:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Troba l'expressió de la seva derivada $g'(x)$ i determina els valors de $x$ per als quals el pendent de la recta tangent a la gràfica de $g(x)$ és igual a zero.

Un dron de vigilància segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres ve donada per la funció $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps en segons des de l'enlairament.

1. a) Calcula la funció que representa la velocitat vertical del dron, $v(t) = h'(t)$.

1. b) Quina és la velocitat vertical del dron en l'instant $t = 5$ segons?

Troba els valors dels paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ perquè la funció $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ compleixi les condicions següents simultàniament:

• Passa pel punt $(0, 3)$.

• La seva derivada a l'origen és $f'(0) = 2$.

Utilitza la tècnica de la derivació logarítmica per obtenir la derivada de la funció potencial exponencial següent:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Calcula l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

La figura mostra la gràfica de $f$, les seves asímptotes horitzontals i el punt $P$ de la corba l'abscissa del qual és $x = 2$.

Dada la funció $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.
2. b) La segona derivada $f''(x)$, simplificant el resultat utilitzant funcions trigonomètriques usuals.

Calcula la derivada de la funció següent simplificant el resultat final tant com sigui possible mitjançant identitats trigonomètriques:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ i simplifica l'expressió resultant. A quina funció més senzilla correspon aquesta derivada?

Utilitzant la tècnica de derivació logarítmica, troba la derivada de la funció $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ per a $x > 0$.

En una estació meteorològica de l'AEMET a Còrdova durant un episodi estival de calor, la temperatura ambient $T(t)$ en graus Celsius ($^{\circ}\text{C}$) al llarg d'una jornada de 24 hores s'ajusta al model:

$T(t) = 31 - 9 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot (t - 4)}{12}\right)$,

on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de la mitjanit ($t \in [0, 24]$).

1. a) Determina la funció derivada $T'(t)$, indicant amb claredat cadascuna de les regles de derivació utilitzades (constant per funció, cadena i trigonomètrica).
2. b) Calcula el valor exacte i aproximat amb dues xifres decimals de $T'(10)$ (a les 10:00 h) i de $T'(16)$ (a les 16:00 h).
3. c) Interpreta el significat físic i contextual dels valors i signes obtinguts en l'apartat anterior (indicant les unitats de mesura corresponents a la derivada) i determina a quina hora del dia la temperatura puja amb la màxima rapidesa.

Considera la funció descendent $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Sense calcular la funció derivada de manera analítica, realitza una estimació del valor del pendent de la recta tangent a $x = 0$ calculant la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[0;\, 0,1]$ amb l'ajuda de la calculadora (en mode radians). A partir del resultat, esperes que la funció sigui creixent o decreixent en un entorn immediat de $x = 0$?
2. b) Aplica les regles de derivació per obtenir l'expressió algebraica simplificada de la funció derivada $f'(x)$.
3. c) Avalua el valor exacte de $f'(0)$, compara'l amb el valor estimat obtingut a l'apartat (a) i valida de manera raonada si la teva hipòtesi prèvia sobre la monotonia local de la funció queda confirmada.

Donada la funció transcendent definida per $f(x) = (\arctan x)^x$ per a $x > 0$, utilitza la tècnica de derivació logarítmica per calcular la seva funció derivada $f'(x)$. Un cop obtinguda, calcula el valor exacte del pendent de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la següent funció definida a trossos sigui derivable en tot el seu domini:

Explica raonadament la relació entre la continuïtat i la derivabilitat en el punt de ruptura $x = 1$.

Troba l'expressió general de la derivada n-èsima ($f^{(n)}(x)$) per a la funció racional:

Indicació: Descompon la funció en fraccions simples abans de començar a derivar successivament.

Considera la corba definida de forma implícita per l'equació:

1. a) Troba l'expressió de la derivada $y'$ en funció de $x$ i $y$ mitjançant derivació implícita.
2. b) Troba l'equació de la recta normal a la corba en el punt $P(3, 1)$.

Sigui la funció $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demostra que $f(x)$ és bijectiva a tot $\mathbb{R}$ (pots recolzar-te en l'estudi del seu creixement).

1. b) Sabent que $f(1) = 4$, calcula el valor de la derivada de la funció inversa en aquest punt, és a dir, $(f^{-1})'(4)$.

Un dron de vigilància es desplaça seguint la trajectòria donada per la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operari situat al punt $A(2, 0)$ observa el dron.

Calcula el punt de la trajectòria on el dron es troba a la distància mínima de l'operari.

Nota: Per minimitzar la distància $d$, n'hi ha prou amb minimitzar el quadrat de la distància $d^2$. Hauràs de derivar la funció resultant de la distància.

Calcula la derivada de la següent funció composta i simplifica el resultat al màxim utilitzant identitats trigonomètriques:

Quina curiositat observes en el resultat final simplificat?

En un laboratori de biotecnologia, el volum d'una població de bacteris (en $mm^3$) creix segons la funció $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, on $t$ és el temps en hores. Al mateix temps, el radi de la placa de cultiu circular on creixen els bacteris s'expandeix de manera que l'àrea ocupada per la població és $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Si suposem que el gruix de la capa bacteriana és constant i igual a $0,1 mm$ (de manera que $V = A \cdot h$), calcula la taxa de variació instantània del radi de la població en l'instant $t = 2$ hores.

Per dimensionar correctament una biga d'acer sotmesa a torsió asimètrica, un enginyer requereix optimitzar una funció d'esforç donada per $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ per a $x > 1$. Aplica el mètode de derivació logarítmica per obtenir l'expressió simplificada de la derivada $E'(x)$.

Un oscil·lador harmònic en un sistema mecànic té una posició donada per $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcula la velocitat $v(t) = x'(t)$ i l'acceleració $a(t) = x''(t)$, i comprova si satisfà l'equació diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Una funció desconeguda $f(x)$, derivable i estrictament positiva en l'interval $(0, +\infty)$, satisfà que la seva derivada logarítmica ve donada per l'expressió:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

A més, se sap que la gràfica de $f$ passa pel punt $(1, 1)$.

1. a) Justifica per què l'expressió $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincideix formalment amb la derivada de la funció composta $\ln(f(x))$.
2. b) Dedueix raonadament l'expressió de la funció $g(x) = \ln(f(x))$ identificant una funció la derivada de la qual sigui $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Per a fer-ho, descompon el quocient en suma de dues fraccions i reconeix-les com a derivades de funcions elementals o de potències de $\ln x$.
3. c) A partir de la condició $f(1) = 1$, troba la constant corresponent i aïlla la funció original $f(x)$, expressant-la en la forma potencial-exponencial $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Comprova el teu resultat derivant directament la funció $f(x)$ obtinguda mitjançant la tècnica de derivació logarítmica i verificant que es reprodueix fidelment el quocient de partida.

Donada la funció $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, definida en l'interval obert $I = \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:

Es consideren dues vies de resolució per calcular la seva funció derivada $f'(x)$:

• Via 1 (Propietats algebraiques dels logaritmes): Reescriure primer $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ i derivar com a resta de logaritmes neperians aplicant la regla de la cadena.

• Via 2 (Simplificació trigonomètrica prèvia): Transformar el radicand utilitzant les identitats de l'angle doble ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ i $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) abans d'aplicar qualsevol regla de derivació.

1. a) Desenvolupa completament la Via 2 per trobar $f'(x)$ en la seva expressió més compacta, expressada com a quocient en funció d'una única raó trigonomètrica d'angle doble. Justifica per què el signe dins de l'arrel quadrada no genera ambigüitat en l'interval $I$.
2. b) Desenvolupa la Via 1 i mostra detalladament tots els passos algebraics i trigonomètrics necessaris per simplificar la suma de fraccions resultant fins a obtenir exactament la mateixa expressió que en la Via 2.
3. c) Compara críticament totes dues vies: analitza quina minimitza la probabilitat d'error algebraic i conclou quin criteri general de simplificació prèvia convé adoptar en enfrontar-se a aquest tipus de derivades a les proves d'accés a la universitat (PAU).