Exercicis: Conceptes: Taxa de variació i derivada d'una funció en un punt

Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en l'interval $[1, 4]$. Explica gràficament què representa el valor obtingut en relació amb la recta secant que passa pels punts $A$ i $B$ de la corba corresponents als extrems d'aquest interval (els tens marcats a la figura).

Un atleta de 2n de Batxillerat entrena per als 100 metres llisos. La distància recorreguda (en metres) en funció del temps (en segons) ve donada per l'expressió $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.

Calcula la velocitat mitjana de l'atleta entre els instants $t = 2$ s i $t = 6$ s. Amb quin concepte matemàtic coincideix aquest valor?

Donada la funció $f(x) = 3x^2 - 1$, utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el límit:

per trobar el valor de la derivada en el punt d'abscissa $x = 2$.

Determina el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punt on $x = 3$, aplicant el límit de la taxa de variació instantània:

El nombre de seguidors d'un nou canal de YouTube evoluciona segons la funció $S(t) = t^2 + 10t + 100$, on $t$ és el temps en dies des de la seva creació.

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana de seguidors entre el dia $t = 0$ i el dia $t = 10$.
2. b) Quin és el creixement instantani de seguidors exactament el dia $t = 5$? (Calcula $S'(5)$ usant la definició).

Considera la funció racional $f(x) = \frac{2}{x}$.

Demostra, aplicant la definició de derivada com un límit, que el valor de la taxa de variació instantània en $x = 1$ és $f'(1) = -2$. Interpreta el signe del resultat obtingut.

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$. Sense fer càlculs, ordena de menor a major els valors següents justificant la teva resposta basant-te en la inclinació de les rectes:

• La taxa de variació mitjana en l'interval $[1, 3]$.

• La derivada de la funció en el punt $x = 1$.

• La derivada de la funció en el punt $x = 3$.

La temperatura d'una placa metàl·lica (en graus Celsius) varia amb el temps $t$ (en minuts) seguint el model $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$.

Calcula la taxa de variació instantània de la temperatura en l'instant $t = 10$ minuts. Indica les unitats de mesura del resultat i explica si en aquest moment la placa s'està escalfant o refredant.

En un examen de 2n de Batxillerat, en Marcos ha d'analitzar la derivabilitat a $x = 1$ de la següent funció definida a trossos:

En Marcos escriu en la seva resolució:

«Derivo directament cada branca: $f'(x) = 2x + 2$ per a $x \le 1$, i $f'(x) = 4$ per a $x > 1$.

Calculo les derivades laterals substituint $x = 1$:

$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$

$f'(1^+) = 4$

Com que les derivades laterals existeixen i coincideixen ($4 = 4$), concloc que la funció és derivable a $x = 1$ i que la recta tangent en aquest punt té pendent $m = 4$».

1. a) Localitza i explica detalladament el greu error conceptual que comet en Marcos en el seu raonament.
2. b) Utilitzant la definició formal de derivada mitjançant el límit del quocient incremental per la dreta, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcula el valor real d'aquest límit i demostra què li passa veritablement a $f$ a $x = 1$.
3. c) Corregeix la conclusió d'en Marcos indicant si la funció és contínua, si és derivable i si té sentit parlar de recta tangent a $x = 1$.

Es llança verticalment un coet de modelisme infantil. La seva alçària sobre el terra en metres ve descrita per la funció $h(t) = 24t - 4t^2$, on $t$ és el temps transcorregut en segons des de l'enlairament ($t \in [0, 6]$).

1. a) Sense fer càlculs algebraics, estima de manera raonada el signe que tindrà la taxa de variació mitjana ($\text{TVM}$) en l'interval $[2, 4]$. Per a fer-ho, considera la forma parabòlica de la trajectòria i localitza l'instant en què el coet aconsegueix la seva alçària màxima. Esperes que la $\text{TVM}[2, 4]$ sigui positiva, negativa o nul·la?
2. b) Calcula analíticament la $\text{TVM}[2, 4]$ mitjançant la seva fórmula i comprova si la teva estimació inicial era encertada. A la vista del resultat, és correcte deduir que el coet ha romàs quiet durant aquests dos segons? Explica el significat físic i geomètric del valor obtingut en relació amb la recta secant.
3. c) Mitjançant la definició de derivada com a límit del quocient incremental, calcula la velocitat instantània $h'(2)$. Comprova si el signe i el valor obtinguts són coherents amb la posició del coet en aquest instant.

El creixement de seguidors d'un nou compte d'una xarxa social coneguda segueix la funció $S(t) = t^2 + 4t + 100$, on $t$ és el temps en dies des de la seva creació i $S(t)$ és el nombre de seguidors. La figura mostra la gràfica de $S$ i les rectes que uneixen els punts de la corba corresponents a $t=0$, $t=5$ i $t=10$.

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) del nombre de seguidors en els intervals $[0, 5]$ i $[5, 10]$.
2. b) Explica el significat dels resultats obtinguts en el context del creixement del compte. En quin interval ha estat més ràpid el creixement?

Calcula la derivada de la funció $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ en el punt d'abscissa $x = 2$ utilitzant estrictament la definició de derivada mitjançant el límit:

Es considera la funció $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina el punt de la gràfica en què la recta tangent té un pendent de $m = 2$. Un cop trobat el punt, escriu l'equació completa d'aquesta recta tangent en forma punt-pendent.

Donada la funció definida a trossos:

Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en el punt $x = 1$. Recorda que perquè una funció sigui derivable, primer ha de ser contínua.

Un patinador es desplaça per una pista on la posició (en metres) respecte a l'inici ve donada per l'expressió $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, on $t$ és el temps en segons.

1. a) Calcula la velocitat mitjana del patinador entre els instants $t = 0$ i $t = 4$ segons.
2. b) Troba la velocitat instantània en el moment $t = 4$ segons utilitzant la definició de derivada.

Troba l'equació de la recta tangent i de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punt on la gràfica talla l'eix d'ordenades ($OY$).

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, es demana:

1. a) Calcular la taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 4]$.
2. b) Determinar si existeix algun punt $c$ dins de l'interval $(2, 4)$ tal que la derivada instantània $f'(c)$ coincideixi amb la TVM calculada en l'apartat anterior.

La temperatura d'un component electrònic durant les primeres hores de funcionament segueix la funció $T(t) = 20 + t \cdot e^{-t}$, on $T$ és la temperatura en graus Celsius i $t$ és el temps en hores.

Calcula la taxa de variació instantània de la temperatura quan ha transcorregut exactament 1 hora ($t = 1$). La temperatura està augmentant, disminuint o cap de les dues coses en aquest instant? Justifica la teva resposta basant-te en el signe de la derivada.

Durant un episodi de calor extrema a Sevilla, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra que la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant les hores diürnes es modelitza amb gran exactitud segons la funció:

on $t$ representa l'hora solar del dia, amb $t \in [10, 18]$ (des de les 10:00 fins a les 18:00).

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en l'interval $[10, 14]$. Expressa el resultat amb les seves unitats corresponents i interpreta quina informació aporta sobre l'evolució tèrmica global durant aquestes quatre hores.
2. b) Aplicant estrictament la definició de derivada mitjançant el límit del quocient incremental, calcula la taxa de variació instantània de la temperatura exactament a les 14:00 ($t = 14$).
3. c) Compara numèricament la $\text{TVM}[10, 14]$ amb $T'(14)$. Explica raonadament per què la taxa instantània a les 14:00 és inferior a la mitjana de les quatre hores prèvies, relacionant aquesta variació amb la proximitat al punt de màxima temperatura de la tarda.

Determina els coeficients reals $a$, $b$ i $c$ d'una funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ a partir de la següent informació experimental sobre la seva gràfica:

1. La seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $P(0, 2)$.

2. La taxa de variació mitjana en l'interval $[0, 3]$ és $\text{TVM}[0, 3] = 5$.

3. La recta normal a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és la recta d'equació $x + 3y - 10 = 0$.

1. a) A partir de l'equació de la recta normal, dedueix raonadament el valor de l'ordenada $f(1)$ i el valor del pendent de la recta tangent $f'(1)$.
2. b) Obtén l'expressió de la derivada $f'(1)$ en funció dels paràmetres aplicant la definició de derivada com a límit del quocient incremental $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$, i planteja el sistema d'equacions que permet determinar unívocament $a$, $b$ i $c$.
3. c) Escriu l'equació explícita de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$.

Es considera la funció definida a trossos:

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en el punt $x = 2$. Per fer-ho, hauràs d'assegurar primer la continuïtat i, posteriorment, l'existència de les derivades laterals finites i iguals en aquest punt utilitzant la definició de derivada.

Calcula, fent ús exclusiu de la definició de derivada com a límit del quocient incremental, el valor del límit següent:

Indicació: Identifica aquest límit amb la derivada d'una funció coneguda en un punt determinat i resol mitjançant les regles de derivació habituals per comprovar el teu resultat.

Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria d'aproximació l'altura de la qual $h$ (en metres) respecte al temps $t$ (en segons) ve donada per la funció:

Es demana:

1. Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de l'altura en l'interval $[0, 5]$. Explica el seu significat físic.

2. Utilitzant la definició de derivada en un punt, obtén la velocitat instantània d'ascens en l'instant $t = 5$ segons.

3. Comprova si existeix algun instant $t > 0$ en què la velocitat instantània coincideixi exactament amb la TVM calculada en el primer apartat.

Donada la funció $f(x) = x \cdot |x - 3|$, estudia la seva derivabilitat en el punt $x = 3$.

Per fer-ho:

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Calcula les derivades laterals $f'(3^-)$ i $f'(3^+)$ mitjançant el límit del quocient incremental.

3. Interpreta geomètriament el resultat obtingut: presenta la gràfica un punt angulós o una tangent suau a $x=3$? Justifica la teva resposta.

Troba les equacions de les rectes tangents a la corba $y = x^2 - 4x + 5$ que passen pel punt exterior $A(0, 0)$ (la figura només en mostra una).

Nota: Tingues en compte que el punt A no pertany a la corba. Hauràs de plantejar el pendent de la tangent en un punt genèric $(a, f(a))$ igualant-lo al pendent de la recta que uneix aquest punt amb l'origen.

Sigui la funció $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demostra, aplicant la definició de derivada, que la seva funció derivada és $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ per a qualsevol valor de $x$ pertanyent al seu domini.

A partir d'aquest resultat, determina les coordenades dels punts de la gràfica on la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del segon quadrant ($y = -x$).

Considera la funció $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Estudia la continuïtat de la funció en l'origen ($x=0$).

2. Analitza la derivabilitat a $x=0$ calculant el límit del quocient incremental.

3. Si el límit tendeix a infinit, quin tipus de recta tangent presenta la funció en aquest punt? Descriu el comportament visual de la gràfica en les proximitats de l'origen.

En un laboratori de biotecnologia, la població d'una colònia de bacteris (en milions) ve modelada per la funció:

on $t$ és el temps en hores. Es demana:

1. Trobar la Taxa de Variació Instantània (TVI) de la població en $t = 1$ hora i en $t = 4$ hores.

2. Determinar en quin d'aquests dos instants la població està creixent amb més rapidesa.

3. Existeix algun instant en què la velocitat de creixement sigui nul·la? En cas afirmatiu, calcula aquest valor de $t$ i interpreta què li passa a la població en aquest moment.

Es considera la funció contínua $f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + 1$. Dos estudiants de 2n de Batxillerat debaten sobre l'existència de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 2$:

• Lucía (Mètode de les regles de derivació): Aplica la regla de la potència i la de la cadena, obtenint $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}$. En substituir $x = 2$, observa que s'anul·la el denominador ($\frac{1}{0}$), per la qual cosa conclou: «Com que no existeix un valor real per a $f'(2)$, la gràfica no té recta tangent a $x = 2$».

• David (Mètode de la definició formal): Afirma que les regles mecàniques són insuficients davant de singularitats i planteja el límit del quocient incremental:

1. a) Desenvolupa el Mètode d'en David calculant aquest límit quan $h \to 0^+$ i quan $h \to 0^-$. Quin comportament manifesten els pendents de les rectes secants en aproximar-se al punt $(2, 1)$?
2. b) Compara ambdós mètodes i valora críticament la conclusió de la Lucía. És cert que no existeix recta tangent, o existeix una tangent vertical? Escriu raonadament l'equació de la recta tangent i la de la recta normal en aquest punt.
3. c) Justifica en quin tipus de funcions o punts singulars és imprescindible acudir al mètode de la definició formal en lloc de limitar-se a aplicar les regles mecàniques de derivació.

En el projecte de traçat d'una línia ferroviària d'alta velocitat, els enginyers han de dissenyar una transició suau entre un tram recte i un tram en corba parabòlica per evitar acceleracions brusques en el comboi. El perfil del traçat es modelitza mitjançant la funció:

Per garantir la seguretat i el confort, el plec tècnic exigeix tres condicions:

1. Que l'enllaç a $x = 1$ sigui continu i derivable (transició sense trencaments).

2. Que en el tram corb, la taxa de variació mitjana entre $x = 1$ i $x = 3$ sigui nul·la: $\text{TVM}[1, 3] = 0$.

3. Que la recta tangent a la corba a $x = 3$ sigui perpendicular a la recta $y = \frac{1}{2}x$.

1. a) Modela formalment les tres exigències del plec: expressa la derivabilitat a $x = 1$ mitjançant la igualtat de derivades laterals fent servir la definició del quocient incremental, tradueix la condició de la TVM i formula la condició de tangència perpendicular a $x = 3$.
2. b) Resol el sistema plantejat i determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
3. c) Raona geomètricament per què, en una funció polinòmica de segon grau, la condició $\text{TVM}[1, 3] = 0$ unida a $f'(3) = -2$ obliga necessàriament que $f'(1^+) = 2$, fent que la derivabilitat en el punt d'unió quedi automàticament satisfeta sense necessitat de forçar-la de manera independent.