Exercicis: Propietats de les funcions derivables. Teoremes de Rolle, del valor mitjà i de Cauchy

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprova si es compleixen les hipòtesis del Teorema de Rolle en l'interval $[2, 4]$. En cas afirmatiu, troba el valor del punt $c \in (2, 4)$ l'existència del qual assegura el teorema.

Considera la funció $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció compleixi la condició $f(1) = f(5)$ i es pugui aplicar el Teorema de Rolle en l'interval $[1, 5]$. Un cop trobat $k$, calcula el valor de $c$ on la derivada s'anul·la.

Considera la funció $f(x) = x^2 - x$ en l'interval $[0, 2]$. A la figura apareixen la seva gràfica i la recta secant que passa pels punts $A$ i $B$ de la gràfica d'abscisses $0$ i $2$.

1. a) Comprova que es compleixen les hipòtesis del Teorema del Valor Mitjà (de Lagrange) a $[0, 2]$ i calcula el pendent de la recta secant $AB$.

1. b) Troba el valor del punt $c \in (0, 2)$ l'existència del qual garanteix el teorema.

1. c) Explica gràficament quina relació té la recta tangent a la gràfica en el punt d'abscissa $c$ amb la recta secant $AB$.

Un corredor de marató entrena en una pista recta. La seva posició (en metres) respecte al punt de sortida ve donada per la funció $s(t) = t^2 + 2t$, on $t$ és el temps en segons. Utilitza el Teorema del Valor Mitjà per demostrar que en algun instant entre $t=1$ i $t=4$ segons, la seva velocitat instantània va ser exactament igual a la seva velocitat mitjana en aquest interval. Calcula aquest instant.

Explica raonadament per què no es pot aplicar el Teorema de Rolle a la funció $f(x) = 1 - |x-1|$ en l'interval $[0, 2]$, tot i que $f(0) = f(2) = 0$. Quina hipòtesi falla en aquest cas?

Dades les funcions $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = 2x - 3$, comprova si es compleixen les condicions del Teorema de Cauchy en l'interval $[1, 3]$. En cas afirmatiu, troba el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Es sap que una funció $f(x)$ és contínua en l'interval tancat $[1, 5]$ i derivable en l'obert $(1, 5)$. Si els valors de la funció en els extrems són $f(1) = 10$ i $f(5) = 30$, podem assegurar que existeix algun punt $c$ en l'interval on el pendent de la recta tangent sigui igual a $5$? Justifica la teva resposta utilitzant el Teorema del Valor Mitjà.

Donada la funció $f(x) = \sin(x)$, resol:

1. a) Verifica que es compleixen les hipòtesis del Teorema de Rolle a l'interval $[0, \pi]$.

1. b) Troba el valor de $c$ que satisfà la tesi del teorema.

1. c) Representa $c$ esquemàticament sobre la gràfica de la funció (pots copiar la figura) o en una circumferència goniomètrica. Si uses la gràfica, marca el punt d'abscissa $c$ i dibuixa la recta tangent en aquest punt.

Mateo ha de resoldre en un examen l'exercici següent: «Comprova si la funció $f(x) = 1 - |x|$ verifica les hipòtesis del Teorema de Rolle en l'interval $[-2, 2]$ i troba el punt $c$ que prediu el teorema». En el seu full d'examen, Mateo escriu:

«1. La funció és contínua a $[-2, 2]$ per ser composició de funcions contínues.

1. Els valors en els extrems coincideixen: $f(-2) = 1 - |-2| = -1$ i $f(2) = 1 - |2| = -1$.

2. Com que es compleixen les hipòtesis, el Teorema de Rolle assegura que existeix $c \in (-2, 2)$ amb $f'(c) = 0$. Atès que la derivada val $f'(x) = 1$ per a $x < 0$ i $f'(x) = -1$ per a $x > 0$, el punt buscat és $c = 0$».

Identifica els dos errors conceptuals greus comesos per Mateo (un en verificar les hipòtesis del teorema i un altre en determinar el valor de la derivada en $c = 0$), explica detalladament per què invaliden la seva conclusió i determina si existeix o no algun punt en aquest interval on la derivada s'anul·li.

Troba raonadament els coeficients $a, b \in \mathbb{R}$ d'una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx$ que satisfaci simultàniament les condicions següents:

1. Compleix totes les hipòtesis del Teorema de Rolle en l'interval tancat $[0, 6]$.

2. Assoleix un valor extrem relatiu en el punt interior l'existència del qual garanteix el teorema, sent aquest valor $f(c) = -18$.

Un cop deduïts els valors d'$a$ i $b$, enuncia amb precisió les hipòtesis del Teorema de Rolle i comprova formalment que la funció obtinguda les verifica a $[0, 6]$, calculant de manera explícita el punt $c \in (0, 6)$ resultant.

Donada la funció definida a trossos:

Estudia si es compleixen les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l'interval $[1, e+2]$ i, en cas afirmatiu, troba el valor o valors de $c \in (1, e+2)$ l'existència dels quals assegura el teorema.

Un radar de tram en una autovia espanyola detecta que un vehicle entra al túnel de Guadarrama (punt $A$) a les 14:00:00 h i en surt (punt $B$) a les 14:01:30 h. La distància entre tots dos punts de control és de 3,5 km.

Si el límit de velocitat al túnel és de $120 \text{ km/h}$, utilitza el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange per justificar si el conductor hauria de rebre una multa per excés de velocitat, independentment de si la seva velocitat a l'entrada i a la sortida era legal.

Considera la funció polinòmica $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció compleixi les hipòtesis del Teorema de Rolle en l'interval $[-2, 1]$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, calcula els punts $c$ que verifiquen la tesi del teorema.

Sigui la funció $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.

1. a) Comprova que $f(x)$ verifica les hipòtesis del Teorema del Valor Mitjà a l'interval $[0, 1]$.
2. b) Existeix algun punt en aquest interval on el pendent de la recta tangent sigui igual a $1$? Justifica la teva resposta utilitzant el teorema.

Aplica el Teorema de Cauchy a les funcions $f(x) = \sin(x)$ i $g(x) = \cos(x)$ en l'interval $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, és a dir, amb $a = 0$ i $b = \frac{\pi}{2}$. Troba el valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisfà la igualtat:

Explica la interpretació geomètrica d'aquest resultat en termes de la corba paramètrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, amb $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. A la figura apareixen aquesta corba, els seus extrems $A = (g(a), f(a))$ i $B = (g(b), f(b))$, la recta secant $AB$ i els increments $g(b)-g(a)$ i $f(b)-f(a)$.

Utilitza els teoremes de Bolzano i de Rolle per demostrar que l'equació:

té exactament una solució real en l'interval $[0, 1]$.

Es considera la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Troba un punt a la gràfica de la funció on la recta tangent sigui paral·lela a la corda que uneix els punts de la corba amb abscisses $x=0$ i $x=4$. Quin teorema garanteix que aquest punt existeix? Enuncia les seves hipòtesis i comprova que es compleixen.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 3}$, es pot aplicar el teorema de Rolle en l'interval $[1, 5]$ sabent que $f(1) = f(5) = 0$?

Raona la teva resposta analitzant la continuïtat i derivabilitat de la funció en aquest interval. En cas negatiu, explica si això contradiu el teorema.

La Dirección General de Tráfico (DGT) té instal·lat un radar de tram a l'autovia AP-6 per vigilar un trajecte de $15\text{ km}$ on la velocitat màxima legal està fixada en $100\text{ km/h}$. Un turisme entra al tram a les $11:00:00$ registrant una velocitat puntual d'entrada de $90\text{ km/h}$, i surt del tram a les $11:08:15$ registrant una velocitat puntual de sortida de $95\text{ km/h}$.

1. a) Suposant que la funció de posició del vehicle $s(t)$ en funció del temps és contínua i derivable, calcula la velocitat mitjana del trajecte en $\text{km/h}$.
2. b) Enuncia el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange i utilitza'l per justificar si la DGT pot sancionar legalment el conductor per excés de velocitat, raonant si és necessari o no disposar d'una fotografia instantània intermèdia del vehicle circulant per sobre de $100\text{ km/h}$.

Considera la funció $f(x) = \sqrt{x}$ definida en l'interval $[1, 9]$.

1. a) Abans d'efectuar cap càlcul, fes una estimació raonada: sabent que la funció arrel quadrada és còncava cap avall en tot el seu domini (és a dir, la seva derivada primera és estrictament decreixent i els seus pendents tangents es van reduint), el punt $c \in (1, 9)$ en què la recta tangent és paral·lela a la secant que uneix els extrems estarà situat a l'esquerra del punt mitjà aritmètic ($x = 5$), en el mateix punt mitjà o a la seva dreta? Justifica qualitativament la teva predicció.
2. b) Enuncia el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange, comprova que se'n verifiquen les hipòtesis a $[1, 9]$ i calcula el valor exacte de $c$.
3. c) Comprova si el valor numèric obtingut confirma la teva estimació inicial i interpreta geomètricament el resultat.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcula els valors dels paràmetres $a, b, k \in \mathbb{R}$ perquè la funció $f(x)$ compleixi les hipòtesis del Teorema de Rolle a l'interval $[0, e]$. Un cop trobats els paràmetres, determina el valor del punt $c \in (0, e)$ l'existència del qual garanteix el teorema.

Demostra, utilitzant conjuntament el Teorema de Bolzano i el Teorema de Rolle, que l'equació:

té una única solució real per a qualsevol valor de la constant $k \in \mathbb{R}$. Explica raonadament per què l'existència de més d'una arrel entraria en contradicció amb l'enunciat del Teorema de Rolle.

El sistema de registre GPS d'un tren de mercaderies mostra que ha passat pel punt quilomètric 150 d'una línia a les 10:00:00 h i pel punt quilomètric 162 a les 10:06:40 h. El límit de velocitat d'aquesta línia és de $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilitzant el Teorema del Valor Mitjà (Lagrange), justifica si el tren ha superat en algun moment el límit de velocitat de la línia.
2. b) Si la funció que descriu la posició del tren en aquest tram és $s(t) = 150 + 2t - 0,03t^2$ (on $s$ està en km i $t$ en minuts des que passa pel primer punt quilomètric), troba l'instant exacte en què la velocitat instantània coincideix amb la velocitat mitjana del trajecte.

Dades les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = x^2 + 1$, aplica el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Mitjà Generalitzat) en l'interval $[0, 2]$.

Troba el valor de $c \in (0, 2)$, corresponent al punt $P$ de la figura, que satisfà la tesi del teorema:

Considera una funció $f(x)$ derivable en tot $\mathbb{R}$. Es sap que l'equació $f'(x) = 0$ té exactament dues solucions reals, $x_1 = -2$ i $x_2 = 3$.

Demostra que la funció $f(x)$ no pot tenir més de tres arrels reals distintes. És possible que la funció només tingui una arrel real? Justifica la teva resposta basant-te en les interpretacions geomètriques dels teoremes de derivabilitat.

Utilitza el Teorema del Valor Mitjà per demostrar la desigualtat següent per a qualsevol parell de nombres reals $a$ i $b$ tals que $0 < a < b$:

Ajuda: Aplica el teorema a la funció $f(x) = \ln(x)$ en l'interval $[a, b]$.

Es considera la funció $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determina per a quins valors del paràmetre $m$ la funció compleix les hipòtesis del Teorema de Rolle en un interval de la forma $[0, a]$ amb $a > 0$.
2. b) Per a $m = 0$, troba el major interval possible $[p, q]$ on es pugui aplicar el teorema i calcula el punt $c$ l'existència del qual s'assegura.

Dos corredors, l'Alba i en Bruno, inicien una cursa de 100 metres tanques al mateix temps i arriben a la meta en un empat tècnic (mateix temps $T$). Les seves funcions de posició són $s_A(t)$ i $s_B(t)$, ambdues contínues en $[0, T]$ i derivables en $(0, T)$.

Demostra, utilitzant el Teorema de Rolle sobre la funció diferència $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que hi va haver almenys un instant durant la cursa en què tots dos corredors portaven exactament la mateixa velocitat instantània.

Es vol demostrar amb rigor que l'equació $2x^3 + 3x - 4 = 0$ té exactament una solució real en l'interval obert $(0, 2)$. Per abordar aquest problema, dos estudiants proposen camins diferents:

• Estratègia A (Bolzano i Monotonia): Demostrar l'existència d'almenys una arrel a $(0, 2)$ mitjançant el Teorema de Bolzano i, a continuació, demostrar que la funció associada és estrictament creixent en tot $\mathbb{R}$ analitzant el signe de $f'(x)$ per deduir-ne la unicitat.

• Estratègia B (Bolzano i Teorema de Rolle): Demostrar l'existència d'almenys una arrel amb Bolzano i, a continuació, suposar per reducció a l'absurd que existeixen dues arrels diferents $x_1 < x_2$ a $(0, 2)$, aplicant el Teorema de Rolle a $[x_1, x_2]$ per assolir una contradicció amb l'equació $f'(x) = 0$.

Es demana:

1. a) Compara críticament totes dues estratègies: argumenta per què totes dues són vàlides i explica quina de les dues resulta metodològicament més directa quan la derivada primera no té arrels reals.
2. b) Tria una de les dues estratègies i redacta la demostració completa i rigorosa de l'existència i unicitat de l'arrel, verificant explícitament totes les hipòtesis requerides dels teoremes que utilitzis.

Donades les funcions $f(x) = \cos(x)$ i $g(x) = \operatorname{sen}(x)$ definides en l'interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$:

1. a) Comprova formalment si se satisfan totes les hipòtesis del Teorema del Valor Mitjà Generalitzat (Teorema de Cauchy) en aquest interval, justificant amb rigor la condició sobre l'anul·lació de la derivada del denominador $g'(x)$ en l'interval obert.
2. b) Troba el valor exacte del punt $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ l'existència del qual assegura el teorema.
3. c) Aplica per separat el Teorema del Valor Mitjà de Lagrange a $f(x)$ i a $g(x)$ en el mateix interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, determina analíticament els punts intermedis corresponents $c_1$ i $c_2$, i demostra que cap d'ells coincideix amb el valor $c$ obtingut mitjançant el Teorema de Cauchy. Justifica conceptualment per què el Teorema de Cauchy no equival a aplicar Lagrange de manera independent a cada funció.