Propiedades de las funciones derivables. Teoremas de Rolle, del valor medio y de Cauchy
Hasta ahora has usado la derivada para calcular: pendientes, extremos, velocidades. Esta sección cambia el objetivo: tres teoremas que no sirven para calcular nada directamente, sino para demostrar que algo existe —un punto con tangente horizontal, un instante con la velocidad exacta de la media— sin tener que encontrarlo explícitamente. Es contenido nuevo de 2º y aparece todos los años en la EvAU.
Teorema de Rolle
Geométricamente: si la función empieza y termina a la misma altura, en algún punto intermedio tiene que "darse la vuelta", y ahí la tangente es horizontal.
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprueba si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halla el valor…
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprueba si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halla el valor del punto $c \in (2, 4)$ cuya existencia asegura el teorema.
Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar…
Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$. Una vez hallado $k$, calcula el valor de $c$ donde la derivada se anula.
Teorema del valor medio (Lagrange)
Aplica el Teorema del Valor Medio (de Lagrange) a la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. Halla el valor del punto $c$ cuya existencia garantiza el teorema…
Aplica el Teorema del Valor Medio (de Lagrange) a la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. Halla el valor del punto $c$ cuya existencia garantiza el teorema y explica gráficamente qué relación tiene la recta tangente en $c$ con la recta secante que pasa por los extremos del intervalo.
Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en metros) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el…
Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en metros) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar que en algún instante entre $t=1$ y $t=4$ segundos, su velocidad instantánea fue exactamente igual a su velocidad media en ese intervalo. Calcula dicho instante.
Un radar de tramo en una autovía española detecta que un vehículo entra en el túnel de Guadarrama (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las…
Un radar de tramo en una autovía española detecta que un vehículo entra en el túnel de Guadarrama (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las 14:01:30 h. La distancia entre ambos puntos de control es de 3,5 km.
Si el límite de velocidad en el túnel es de $120 \text{ km/h}$, utiliza el Teorema del Valor Medio de Lagrange para justificar si el conductor debería recibir una multa por exceso de velocidad, independientemente de que su velocidad en la entrada y en la salida fuera legal.
Teorema de Cauchy
Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla…
Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:
$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(3) - f(1)}{g(3) - g(1)}$$Aplica el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Encuentra el valor de $c$ que…
Aplica el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Encuentra el valor de $c$ que satisface la igualdad:
$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$Explica la interpretación geométrica de este resultado en términos de la curva paramétrica definida por ambas funciones.
Aplicaciones: existencia de raíces y demostración de desigualdades
Utiliza los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación: $$3x^5 + 10x^3 + 15x - 4 = 0$$ tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.
Utiliza los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación:
$$3x^5 + 10x^3 + 15x - 4 = 0$$tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.
Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$: $$\frac{b-a}{b} <…
Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$:
$$\frac{b-a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b-a}{a}$$Ayuda: Aplica el teorema a la función $f(x) = \ln(x)$ en el intervalo $[a, b]$.