Teorema fundamental del cálculo integral y regla de Barrow
En el apartado anterior calculaste algunas integrales definidas a base de sumar rectángulos o de comparar con fórmulas geométricas. Para una función cualquiera eso es inviable. El teorema fundamental del cálculo conecta la integral (área) con la derivada (pendiente) y te da, por fin, un método rápido: la regla de Barrow.
La función definida por una integral
Fija el extremo inferior $a$ y deja que el superior varíe: para cada $x$, $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ es el área acumulada desde $a$ hasta $x$. $F$ es una nueva función, una por cada valor de $x$.
Dada una función $f(x)$ continua en el intervalo $[1, 8]$, se conocen los valores de las siguientes integrales definidas: $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$…
Dada una función $f(x)$ continua en el intervalo $[1, 8]$, se conocen los valores de las siguientes integrales definidas:
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$\int_1^5 f(x) \, dx = 7$
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$\int_5^8 f(x) \, dx = -3$
Utiliza las propiedades de la integral definida para calcular el valor de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.
El teorema fundamental del cálculo
Aquí está la pieza que conecta todo el bloque de análisis: la derivada de esa función "área acumulada" es, sencillamente, la función original.
Cuando el límite superior no es $x$ sino una función de $x$ (por ejemplo $x^2$), se aplica además la regla de la cadena.
Un programador de videojuegos está diseñando la trayectoria de un proyectil. La velocidad del objeto en función del tiempo $t$ viene dada por la expresión…
Un programador de videojuegos está diseñando la trayectoria de un proyectil. La velocidad del objeto en función del tiempo $t$ viene dada por la expresión $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.
Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Integral para hallar la expresión de la aceleración instantánea $a(t)$, sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo ($a(t) = v'(t)$).
Calcula la función derivada $F'(x)$ de la siguiente función integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena: $$F(x) = \int_{1}^{x^2}…
Calcula la función derivada $F'(x)$ de la siguiente función integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena:
$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$Indica el dominio de definición de la función $F(x)$ para que la integral esté bien definida.
La regla de Barrow
El teorema fundamental dice que una integral definida se puede calcular con cualquier primitiva: evalúas la primitiva en los dos extremos y restas. Ya no necesitas sumas de rectángulos.
Un panel solar térmico tiene un diseño cuya sección transversal superior está delimitada por la función $f(x) = 3x^2 + 2$, donde $x$ se mide en metros. Calcula el valor…
Un panel solar térmico tiene un diseño cuya sección transversal superior está delimitada por la función $f(x) = 3x^2 + 2$, donde $x$ se mide en metros. Calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 2]$ utilizando la Regla de Barrow.
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la Regla de Barrow: $$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$…
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la Regla de Barrow:
$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$Explica brevemente por qué es necesario dividir el intervalo de integración para resolver este ejercicio.
Sea la función $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida para $t > 0$. Se define una nueva función integral $G(x)$ como: $$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$ a) Aplicando el…
Sea la función $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida para $t > 0$. Se define una nueva función integral $G(x)$ como:
$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$- a) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, obtén la expresión de la derivada $G'(x)$.
- b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $G(x)$ en su dominio.
- c) Halla el valor de $x > 1$ para el cual la función $G(x)$ alcanza un máximo relativo.