Exercicis: Teorema fonamental del càlcul integral i regla de Barrow

Un panell solar tèrmic té un disseny la secció transversal superior del qual està delimitada per la funció $f(x) = 3x^2 + 2$, on $x$ es mesura en metres. Calcula el valor de la integral definida en l'interval $[0, 2]$ utilitzant la regla de Barrow.

Dada una funció $f(x)$ contínua en l'interval $[1, 8]$, es coneixen els valors de les integrals definides següents:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utilitza les propietats de la integral definida per a calcular el valor de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Un programador de videojocs està dissenyant la trajectòria d'un projectil. La velocitat de l'objecte en funció del temps $t$ ve donada per l'expressió $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Aplica el teorema fonamental del càlcul integral per a trobar l'expressió de l'acceleració instantània $a(t)$, sabent que l'acceleració és la derivada de la velocitat respecte del temps ($a(t) = v'(t)$).

Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = \sin(x)$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = \pi$. Esbossa el recinte abans d'aplicar la regla de Barrow.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba el valor de la derivada de la funció integral següent en el punt $x = 2$:

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Explica quin teorema matemàtic estàs utilitzant per a resoldre el problema sense necessitat de calcular la primitiva.

El consum elèctric d'un habitatge durant la primera hora del matí es modelitza mitjançant la funció $f(x) = e^x + x$, on $x$ és el temps en hores. Calcula el consum total acumulat, representat per la integral definida:

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Sense fer càlculs complexos d'integració, justifica raonadament per què el valor de la integral següent és igual a $0$, basant-te en les propietats de les funcions imparells i la simetria de l'interval:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

La figura mostra la gràfica de $f(x)=x^5+3x^3-x$ a l'interval $[-2,\,2]$, amb les regions compreses entre la corba i l'eix $X$ ombrejades.

Determina l'àrea de la regió tancada entre la corba $f(x) = x^2 - 4$ i l'eix $OX$ en l'interval $[0, 2]$. Recorda que si la funció és negativa en l'interval, l'àrea es correspon amb el valor absolut de la integral definida.

En un examen de 2n de Batxillerat, es demana calcular la derivada de la funció $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ en el punt $x = 1$. La Irene presenta la resolució següent:

«Pel Teorema Fonamental del Càlcul, la derivada d'una integral és la funció que hi ha a dins avaluada en el límit superior, per la qual cosa $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. Substituint en $x = 1$, s'obté $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que comet la Irene i explica quina regla o teorema ha omès aplicar.
2. b) Enuncia la versió del Teorema Fonamental del Càlcul que s'ha d'aplicar quan el límit superior d'integració és una funció derivable $g(x)$.
3. c) Corregeix l'exercici calculant el valor exacte i simplificat de $F'(1)$.

Es considera la funció $f(x) = 4 - x^2$ definida a l'interval $[0, 2]$. Es vol calcular el valor de la integral definida $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$.

1. a) Abans de calcular cap primitiva, acota raonadament el valor de la integral: justifica geomètricament per què $I$ ha de ser estrictament menor que l'àrea del rectangle de vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$ i $(0,4)$ (àrea 8) i estrictament major que l'àrea del triangle de vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$ i $(0,4)$ (àrea 4). A partir d'això, formula una estimació numèrica raonable per al valor d'$I$.
2. b) Aplica la Regla de Barrow per calcular el valor exacte de la integral $I$, detallant l'elecció de la primitiva emprada.
3. c) Comprova si el resultat exacte obtingut concorda amb la teva estimació prèvia i explica per què en aquest cas el valor de la integral coincideix exactament amb l'àrea geomètrica delimitada per la gràfica de $f$ i l'eix d'abscisses.

Dada la funció $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en l'interval $[0, 3]$ utilitzant la regla de Barrow:

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Explica breument per què és necessari dividir l'interval d'integració per a resoldre aquest exercici.

Calcula la funció derivada $F'(x)$ de la funció integral següent utilitzant el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena:

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indica el domini de definició de la funció $F(x)$ perquè la integral estigui ben definida.

Determina el valor del paràmetre real positiu $a$ sabent que l'àrea limitada per la corba $f(x) = 3x^2$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = a$ és exactament igual a 27 unitats d'àrea. Utilitza per a fer-ho la regla de Barrow.

Sigui la funció $G(x)$ definida per:

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $G(x)$ en el punt d'abscissa $x = 0$.

Nota: Recorda que per a trobar l'ordenada del punt de tangència has de calcular $G(0)$ i per al pendent has d'aplicar el teorema fonamental del càlcul.

La velocitat d'un prototip de vehicle elèctric durant els primers 4 segons d'una prova ve donada per la funció $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s).

1. a) Calcula l'espai total recorregut pel vehicle entre els instants $t = 1$ s i $t = 3$ s aplicant la regla de Barrow.
2. b) Justifica si el vehicle es deté en algun moment durant aquest interval.

Troba el valor mitjà de la funció $f(x) = \sqrt{x+1}$ en l'interval $[0, 3]$ i determina el punt $c \in (0, 3)$ l'existència del qual garanteix el teorema del valor mitjà del càlcul integral. Interpreta el resultat geomètricament.

Dada la funció integral $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Troba els intervals de creixement i decreixement de $H(x)$.
2. b) Determina les coordenades dels extrems relatius (màxims o mínims) de $H(x)$ i classifica'ls.

Calcula el valor de la integral definida de la funció definida a trossos següent en l'interval $[0, 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{si } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Comprova prèviament si la funció és contínua en $x = 1$ per a assegurar que és integrable.

Donada la funció $F(x) = \int_1^x (t^2 - 2t)\cdot e^t\,dt$, definida per a tot $x \in \mathbb{R}$, es demana estudiar els seus intervals de creixement i decreixement, així com classificar els seus extrems relatius.

Per abordar l'exercici, dos estudiants proposen camins diferents:

• En Javier proposa trobar primer una primitiva explícita de $(t^2 - 2t)e^t$ aplicant dues vegades el mètode d'integració per parts, utilitzar la Regla de Barrow per obtenir una expressió algebraica de $F(x)$ sense integrals i després derivar aquesta funció resultant.

• La Sofia proposa aplicar directament el Teorema Fonamental del Càlcul per obtenir $F'(x)$ sense calcular cap primitiva prèvia.

1. a) Avalua tots dos camins: són tots dos matemàticament vàlids? Justifica quin d'ells és notablement més eficient en aquest context.
2. b) Seguint el mètode més avantatjós, determina la funció derivada $F'(x)$ i identifica tots els seus punts crítics.
3. c) Analitza el signe de $F'(x)$ per determinar els intervals de creixement i decreixement de $F$, i classifica raonadament cada punt crític com a màxim o mínim relatiu.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra la intensitat de precipitació neta que proveeix un embassament durant una borrasca de 6 hores mitjançant la funció de cabal net $c(t) = 6t - t^2$ (expressada en hectòmetres cúbics per hora, $\text{hm}^3/\text{h}$), on $t \in [0, 6]$ és el temps en hores transcorregut des de l'inici del temporal. El volum net acumulat a l'embassament es modelitza com a $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$.

1. a) Interpreta el significat físic i matemàtic de $V'(t)$ a partir del Teorema Fonamental del Càlcul. En quin instant entra aigua a l'embassament amb més rapidesa?
2. b) A partir del signe de $V'(t)$, justifica en quin interval de temps el volum afegit d'aigua $V(t)$ és creixent i en quin instant aconsegueix el seu valor màxim a l'interval $[0, 6]$.
3. c) Utilitza la Regla de Barrow per calcular el volum total d'aigua (en $\text{hm}^3$) que la borrasca va aportar a l'embassament al cap de les 6 hores.

Sigui la funció $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida per a $t > 0$. Es defineix una nova funció integral $G(x)$ com a:

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) Aplicant el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena, obtén l'expressió de la derivada $G'(x)$.
2. b) Determina els intervals de creixement i decreixement de $G(x)$ en el seu domini.
3. c) Troba el valor de $x > 1$ per al qual la funció $G(x)$ assoleix un màxim relatiu.

Calcula el valor del límit següent utilitzant la regla de L'Hôpital i el teorema fonamental del càlcul:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Explica raonadament cada pas, justificant la derivació de la funció integral.

Un equip d'enginyers està dissenyant la trajectòria d'un dron de curses. La velocitat vertical del dron en l'interval de temps $[0, 4]$ segons ve donada per la funció $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.

1. a) Sense calcular la integral explícitament, justifica per què el dron sempre està pujant o mantenint-se a la mateixa alçària.
2. b) Calcula l'acceleració vertical del dron en l'instant $t = 1$ segon.
3. c) En quin instant l'acceleració vertical és màxima? Justifica la teva resposta estudiant la segona derivada de la posició.

Dada la funció $f(x) = x^2 - 4$, considera la funció integral $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Expressa $H(x)$ com una funció definida a trossos per a valors de $x \in [0, 5]$.
2. b) Estudia la derivabilitat de $H(x)$ en el punt $x = 2$. És aplicable directament el teorema fonamental del càlcul en aquest punt?
3. c) Utilitza la regla de Barrow per a calcular el valor exacte de $H(3)$.

Sigui $f(x)$ una funció contínua a $\mathbb{R}$ tal que $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Troba el valor de la constant $k$ perquè es compleixi la igualtat següent, sabent que l'àrea sota la corba de l'esquerra s'ha desplaçat i escalat:

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utilitza el mètode de canvi de variable en les integrals definides per relacionar-les amb la dada inicial.

El logotip d'una nova marca de roba urbana està delimitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ i $g(x) = ax$, amb $a > 0$, en el primer quadrant.

1. a) Determina el valor de $a$ perquè la recta $y = ax$ passi pel màxim relatiu de la funció $f(x)$ en l'interval $[0, 1]$.
2. b) Per al valor de $a$ trobat, calcula mitjançant la regla de Barrow l'àrea de la regió tancada entre totes dues gràfiques.

Sigui la funció definida per la integral $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Troba els punts crítics de $F(x)$ i classifica'ls utilitzant el criteri de la primera derivada.
2. b) Estudia la curvatura de $F(x)$ i determina si té punts d'inflexió.
3. c) Existeix algun valor de $x$ per al qual $F(x)$ sigui negatiu? Raona la resposta basant-te en el signe de l'integrand i els límits d'integració.

Considera la funció integral $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$ definida per a $x \geq 1$.

1. a) Demostra que $L(x)$ és una funció estrictament creixent en el seu domini.
2. b) Se sap que la gràfica de $L(x)$ té una recta tangent en el punt d'abscissa $x = 2$ l'equació de la qual és $y = mx + n$. Calcula el valor del pendent $m$.
3. c) Determina l'acceleració de creixement del pendent (segona derivada) en aquest mateix punt.

Una funció contínua $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ satisfà per a tot nombre real $x > 0$ la següent equació integral:

$$\int_1^{x^2} f(t)\,dt = 4x^3 - 4x$$

1. a) Aplicant el Teorema Fonamental del Càlcul i la regla de la cadena, deriva tots dos membres respecte a $x$ i obtén una relació algebraica entre $f(x^2)$ i la variable $x$.
2. b) A partir d'aquesta relació, dedueix l'expressió analítica explícita de $f(x)$ per a qualsevol $x > 0$ i calcula raonadament el valor de $f(4)$.
3. c) Aplica la Regla de Barrow sobre la teva expressió de $f$ per calcular $\int_1^4 f(t)\,dt$ i comprova que coincideix amb el valor predit per l'equació integral original avaluada en $x = 2$.
4. d) Justifica rigorosament, recolzant-te en el signe de $f(t)$ o en la monotonia de la funció integral, si existeix algun altre valor $c > 0$ amb $c \neq 1$ tal que $\int_1^c f(t)\,dt = 0$.

Es vol calcular el següent límit indeterminat:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt}{x^5}$$

Dos estudiants contemplen diferents estratègies de resolució:

• En David intenta calcular primer la primitiva indefinida $\int \frac{1}{1 + t^4}\,dt$ descomponent el denominador en factors quadràtics reals irreductibles per després aplicar la Regla de Barrow.

• L'Elena afirma que no cal obtenir una primitiva elemental i que el límit es pot calcular directament combinant la regla de L'Hôpital amb el Teorema Fonamental del Càlcul.

1. a) Explica per què el mètode d'en David és desaconsellable i inviable en el temps assignat a una prova escrita i justifica amb rigor si el mètode de l'Elena és aplicable comprovant les hipòtesis del Teorema Fonamental del Càlcul i de la regla de L'Hôpital.
2. b) Resol el límit $L$ aplicant la proposta de l'Elena.
3. c) Si considerem la funció $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt$, troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $F$ en el punt d'abscissa $x = 0$. Utilitzant el valor del límit obtingut a l'apartat b), determina de manera raonada la posició relativa de la corba $y = F(x)$ respecte d'aquesta recta tangent en un entorn pròxim a $x = 0$ (distingint entre $x > 0$ i $x < 0$).