Exercicis: Aplicacions de la integral definida

Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la regla de Barrow:

Donada la funció integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utilitza el teorema fonamental del càlcul per trobar el valor de la seva derivada en el punt $x = 4$, és a dir, calcula $F'(4)$.

Un dissenyador gràfic està traçant el contorn d'un logotip que segueix la corba $f(x) = e^x$. Calcula l'àrea tancada sota aquesta corba, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = \ln(3)$.

Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ i l'eix d'abscisses ($OX$). Nota: Recorda trobar primer els punts de tall de la funció amb l'eix.

Sense fer el càlcul de la primitiva, justifica utilitzant les propietats de la integral definida per què el valor de la integral següent és igual a $0$:

Troba l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x) = 6 - x^2$ i $g(x) = 2$.

La velocitat d'un cotxe de radiocontrol (en $m/s$) ve donada per la funció $v(t) = 2t + 1$. Determina la distància total recorreguda pel cotxe entre els instants $t = 1$ s i $t = 4$ s calculant la integral definida de la velocitat.

Una empresa de components electrònics ha determinat que el cost marginal de produir $x$ unitats d'un sensor és $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros per unitat. Calcula l'increment total del cost en augmentar la producció de $10$ a $20$ sensors.

Per calcular l'àrea del recinte tancat limitat per la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[-2, 2]$, en Marcos ha escrit al seu examen el següent:

Conclou per tant que l'àrea compresa és zero.

1. a) Explica de manera raonada l'error conceptual comès per en Marcos. Per què la integral definida dóna zero malgrat que el recinte té una superfície geomètrica no nul·la?
2. b) Corregeix la seva resolució: determina els punts de tall de la funció amb l'eix d'abscisses, planteja correctament les integrals que permeten calcular l'àrea real i troba el seu valor exacte aplicant la regla de Barrow.

Es vol calcular l'àrea del recinte fitat delimitat per la paràbola $f(x) = 3x - x^2$ i l'eix d'abscisses ($y = 0$).

1. a) Abans de calcular cap integral, fes una estimació raonada de l'àrea fitant-la entre dos valors numèrics:

• Obtén una cota superior calculant l'àrea d'un rectangle que circumscrigui exactament la regió (la seva base és el segment entre els punts de tall amb l'eix $X$ i la seva alçària és l'ordenada del vèrtex de la paràbola).

• Obtén una cota inferior calculant l'àrea del triangle isòsceles inscrit que té per base aquest segment sobre l'eix $X$ i per vèrtex superior el vèrtex de la paràbola.

1. b) Calcula ara el valor exacte de l'àrea aplicant la regla de Barrow.
2. c) Comprova si el resultat exacte obtingut queda dins de l'interval fitat a l'apartat a) i justifica si la teva estimació ha estat raonable.

Calcula l'àrea del recinte pla delimitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 5x$ i $g(x) = x + 2$. Representa gràficament el recinte abans de fer el càlcul.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui la funció $F(x)$ definida mitjançant la integral següent:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $F(x)$ en el punt d'abscissa $x = \sqrt{3}$.

Un estudi de disseny està projectant el logotip per a una nova empresa de tecnologia. La base del logotip està delimitada per la funció $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix d'abscisses $OX$. Calcula l'àrea total de les dues regions tancades que forma la corba amb l'eix.

Determina el valor del paràmetre positiu $k > 0$ perquè l'àrea del recinte limitat per la paràbola $y = kx^2$ i la recta $y = 4$ sigui exactament de $16$ unitats quadrades.

Troba l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangent a aquesta corba en el punt $(3, f(3))$ i l'eix d'ordenades $OY$.

Calcula l'àrea de la regió del primer quadrant tancada per les gràfiques de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ i la recta $y = 4$.

Un vehicle autònom es desplaça en línia recta i la seva velocitat (en m/s) ve donada per la funció $v(t) = t^2 - 6t + 8$, on $t$ és el temps en segons. Calcula la distància total recorreguda pel vehicle entre l'instant $t = 0$ i $t = 5$. Nota: Tingues en compte que la distància és la integral del valor absolut de la velocitat.

Considera el recinte limitat per les corbes $y = e^x$, $y = e^{-x}$ i la recta vertical $x = \ln(2)$.

1. a) Dibuixa un esquema del recinte.

1. b) Calcula l'àrea d'aquest recinte.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Durant un temporal de pluja registrat per l'AEMET en una conca del sud-est peninsular, el cabal d'aigua que entra a un embassament durant les primeres $8$ hores de l'episodi ($0 \le t \le 8$) es modelitza mitjançant la funció:

on $t$ es mesura en hores i $c(t)$ en milers de metres cúbics per hora ($10^3\text{ m}^3/\text{h}$). Simultàniament, la presa manté un cabal constant de desguàs de $22$ milers de metres cúbics per hora per evitar desbordaments.

1. a) Escriu la funció $r(t) = c(t) - 22$, que representa el ritme net de variació del volum de l'embassament, i determina de manera raonada en quin instant $t \in [0, 8]$ el volum d'aigua emmagatzemada aconsegueix el seu màxim relatiu durant el temporal. Justifica la teva resposta utilitzant la derivada de la funció de volum acumulat.
2. b) Sabent que a l'inici del temporal ($t = 0$) l'embassament comptava amb una reserva de $500$ milers de metres cúbics d'aigua, calcula mitjançant una integral definida el volum total exacte emmagatzemat en l'instant de màxima acumulació trobat a l'apartat anterior.

Considera la paràbola $f(x) = 4x - x^2$ i el feix de rectes que passen per l'origen de coordenades, d'equació $y = mx$, on $m$ és un paràmetre real tal que $0 < m < 4$.

1. a) Determina, en funció de $m$, els punts de tall entre la recta i la paràbola, i raona quina de les dues gràfiques queda per sobre en l'interval obert comprès entre aquests punts.
2. b) Expressa mitjançant una integral definida l'àrea de la regió compresa entre ambdues corbes i demostra, aplicant la regla de Barrow, que aquesta àrea respon a l'expressió:

1. c) Planteja i resol el problema invers: determina raonadament quin valor exacte ha de prendre el pendent $m$ perquè l'àrea de la regió compresa sigui exactament igual a $4,5\text{ u}^2$.

Sigui la funció $f(x)$ definida per l'expressió següent que involucra una integral:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Es demana determinar raonadament:

1. a) Els intervals de creixement i decreixement de $F(x)$ en tot el seu domini.
2. b) L'abscissa dels punts on $F(x)$ assoleix els seus extrems relatius, classificant-los en màxims o mínims.
3. c) Presenta la funció $F(x)$ algun punt d'inflexió en l'interval $(0, +\infty)$? Justifica la resposta utilitzant la segona derivada.

Un equip d'enginyers està dissenyant l'arc d'entrada a un túnel tecnològic. La forma de l'arc superior ve donada per la funció $f(x) = 4 - x^2$ per a $x \in [-2, 2]$. Per a reforçar l'estructura, s'ha de traçar una línia recta $y = k$ (on $0 < k < 4$) de tal manera que l'àrea de la secció superior (per sobre de la línia de reforç) sigui exactament el doble de l'àrea de la secció inferior (entre la línia de reforç i el terra, situat en l'eix $OX$).

Calcula el valor exacte de la constant $k$ que compleix aquesta condició.

Considera la regió del pla $R$ limitada per la corba $y = \ln(x)$, la recta tangent a aquesta corba en el punt d'abscissa $x = e$, i l'eix d'abscisses $OX$.

1. a) Troba l'equació de la recta tangent esmentada.
2. b) Calcula l'àrea del recinte $R$.
3. c) Calcula el volum del sòlid de revolució generat en girar el recinte $R$ al voltant de l'eix $OX$.

Un dron de vigilància es desplaça en línia recta. La seva velocitat en metres per segon ve donada per la funció amb valor absolut:

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ per a $t \in [0, 6]$ segons.

1. a) Determina la distància total recorreguda pel dron durant els primers 6 segons.
2. b) Calcula el valor del temps $T \in (0, 6)$ tal que la distància recorreguda en l'interval $[0, T]$ sigui exactament la meitat de la distància total calculada en l'apartat anterior.

Es vol fabricar una peça metàl·lica la secció transversal de la qual està delimitada per les corbes $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ i l'eix d'ordenades $OY$.

1. a) Representa gràficament el recinte i determina'n els punts d'intersecció.

1. b) Calcula l'àrea d'aquesta secció.

1. c) Si la peça s'obté rotant aquest recinte al voltant de l'eix d'ordenades $OY$, planteja (sense necessitat de calcular) la integral o suma d'integrals que proporcionaria el volum de la peça.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el valor del límit següent aplicant el teorema fonamental del càlcul i la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Indica detalladament els passos seguits i les hipòtesis necessàries per a l'aplicació de cada teorema.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinte limitat per la gràfica de $f(x)$, la seva asímptota horitzontal i les rectes verticals $x = -1$ i $x = 1$.

1. a) Identifica l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció.
2. b) Calcula l'àrea d'aquest recinte.
3. c) Determina el volum del sòlid generat en girar aquest recinte al voltant de la seva pròpia asímptota horitzontal.

(Ajuda: Realitza un canvi de variable o translació per facilitar el càlcul del volum).

Una empresa de disseny gràfic crea un logotip amb la forma del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = \sin(x)$ i $g(x) = \cos(x)$ i per les rectes verticals $x = 0$ i $x = \pi$ (és a dir, en l'interval $x \in [0, \pi]$). A la figura es mostren les dues gràfiques i el logotip ombrejat.

1. a) Determina els punts de tall de totes dues funcions en aquest interval.

1. b) El logotip es divideix en dues regions mitjançant l'eix d'abscisses $OX$. Calcula l'àrea de la regió del logotip que queda per sobre de l'eix $OX$.

1. c) Justifica si el logotip complet (el recinte entre les dues gràfiques en $[0, \pi]$) és simètric respecte a alguna recta vertical $x = a$ amb $a \in [0, \pi]$.

Es vol calcular l'àrea del recinte pla fitat en el primer quadrant delimitat conjuntament per la corba $y = x^2$, la recta $y = 2 - x$ i l'eix d'abscisses ($y = 0$).

1. a) Dissenya i descriu dues estratègies analítiques diferents per calcular aquesta àrea:

• Mètode 1 (integració respecte a la variable $x$): determina els punts de tall i intervals necessaris, expressant l'àrea mitjançant la suma d'integrals respecte a $x$.

• Mètode 2 (integració respecte a la variable $y$): aïlla la variable $x$ en funció de $y$ en cada equació i expressa l'àrea total com una única integral definida respecte a la variable $y$.

1. b) Compara ambdós mètodes i justifica raonadament quin resulta més avantatjós pel que fa a economia de càlcul i menor probabilitat de cometre errors algebraics.
2. c) Aplica el mètode que consideris òptim (o combina la integració amb la geometria euclidiana elemental en el tram lineal) per obtenir el valor numèric exacte de l'àrea del recinte.

En un projecte d'enginyeria hidràulica per modernitzar una xarxa de regadiu a la conca de l'Ebre, es projecta un canal la secció transversal del qual té perfil parabòlic simètric respecte a l'eix vertical, modelitzat per la funció $y = ax^2$ (amb $a > 0$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres). La cota màxima de l'aigua ve fixada per una línia horitzontal a una profunditat $y = h$ (amb $h > 0$). El disseny ha de satisfer simultàniament dos requisits tècnics:

1. L'amplada del mirall superior d'aigua (distància entre les dues ribes a l'alçària $y = h$) ha de ser exactament de $6\text{ m}$.

2. L'àrea de la secció humida transversal (la superfície compresa entre la paràbola i la superfície lliure $y = h$) ha de ser de $12\text{ m}^2$ per assegurar el cabal de disseny.

1. a) A partir del primer requisit tècnic, obtén una relació matemàtica senzilla que expressi la profunditat $h$ en funció del paràmetre de curvatura $a$.
2. b) Planteja la integral definida que permet calcular l'àrea de la secció humida i obtén el seu valor en funció de $a$ i $h$ mitjançant la regla de Barrow.
3. c) Determina els valors numèrics exactes de la profunditat $h$ i del paràmetre $a$ que compleixen ambdues especificacions del projecte.
4. d) Raonament de disseny: Si per un increment extraordinari del cabal l'alçària de l'aigua es duplica assolint un nivell $H = 2h$, raona analíticament (recolzant-te en les propietats de la integral i sense necessitat de recalcular-la numèricament des de l'inici) si l'àrea de la secció humida es duplicarà, serà més gran que el doble o serà menor que el doble.