Aplicaciones de la integral definida
Ya tienes las herramientas: sabes qué es una integral definida, sus propiedades, y la regla de Barrow para calcularla. Toca usarlas para resolver los problemas que de verdad aparecen en el examen: áreas entre curvas, magnitudes que se acumulan con el tiempo, y parámetros desconocidos que se deducen de un área.
Área bajo una curva con la regla de Barrow
El procedimiento siempre es el mismo: localiza los límites de integración (si no te los dan, búscalos con los puntos de corte), halla una primitiva y aplica Barrow. Si la región queda por debajo del eje, recuerda tomar el valor absoluto.
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$ <br>
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la…
Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la función con el eje.
Área entre dos curvas
Cuando el recinto está limitado por dos funciones $f$ y $g$ en lugar de por el eje $OX$, la idea es la misma pero restando: en cada $x$, la "altura" del recinto es la distancia entre las dos curvas.
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de…
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$. <br>
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$.
La integral como magnitud acumulada
Si una cantidad cambia con una cierta "velocidad" o "ritmo", el total acumulado entre dos instantes es la integral de ese ritmo. Es la misma idea que ya usaste con las primitivas, ahora con límites concretos.
La velocidad de un coche de radiocontrol (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el coche entre los instantes…
La velocidad de un coche de radiocontrol (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el coche entre los instantes $t = 1$ s y $t = 4$ s calculando la integral definida de la velocidad.
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el coste marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros por unidad. Calcula…
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el coste marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros por unidad. Calcula el incremento total del coste al aumentar la producción de $10$ a $20$ sensores.
Funciones definidas por una integral: rectas tangentes
Recuerda del apartado anterior que si $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, entonces $F'(x)=f(x)$ por el teorema fundamental. Esto te permite hallar la recta tangente a $F$ sin calcular ninguna primitiva: solo necesitas $F$ en un punto (una integral con límites numéricos) y $F'$ en ese punto (el valor de $f$ ahí).
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$,…
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$, es decir, calcula $F'(4)$.
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral: $F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de…
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral:
$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en el punto de abscisa $x = \sqrt{3}$.
Hallar un parámetro a partir de un área
Muchos problemas dan el valor del área y preguntan por una constante de la función o de los límites de integración. El método: plantea la integral con la incógnita dentro, aplica Barrow, e iguala el resultado al área dada.
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades…
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades cuadradas.