Exercicis: Variable aleatòria. Funció de probabilitat, funció de distribució i paràmetres

Una app d'atzar genera nombres enters del $1$ al $4$, tots amb la mateixa probabilitat. Sigui $X$ el nombre generat.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de $X$ en forma de taula.
2. b) Calcula la mitjana $\mu$.
3. c) Calcula la desviació típica $\sigma$, arrodonint a les centèsimes.

Una variable aleatòria discreta $X$ pren els valors $1$, $2$, $3$ i $4$ amb aquesta funció de probabilitat incompleta:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calcula el valor de $k$.
2. b) Troba $P[X \ge 3]$.
3. c) Troba $P[X < 2]$.

Indica, raonadament, quines de les taules següents poden ser la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta:

• Taula 1: valors $1$, $2$, $3$ amb probabilitats $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Taula 2: valors $1$, $2$, $3$, $4$ amb probabilitats $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Taula 3: valors $1$, $2$, $3$, $4$ amb probabilitats $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

En cada cas, enuncia la condició (o condicions) que es compleixen o es violen.

Es llancen dues monedes i es compta el nombre de cares obtingudes, $X$.

1. a) Escriu l'espai mostral de l'experiment i dedueix la funció de probabilitat de $X$.
2. b) Calcula la mitjana $\mu$ i interpreta-la.
3. c) Calcula $P[X \ge 1]$.

La funció de distribució d'una variable aleatòria discreta $X$ ve donada per:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcula $P[X \le 2]$.
2. b) Calcula $P[X = 2]$.
3. c) Calcula $P[X > 1]$.

En un campionat escolar d'escacs ràpids a Madrid, la puntuació obtinguda per partida es modelitza mitjançant una variable aleatòria discreta $X$ amb mitjana $\mu_X = 4$ punts i desviació típica $\sigma_X = 1,2$ punts. Per a la fase classificatòria final, l'organització aplica un barem corrector definit per la transformació lineal $Y = 20 - 3X$.

El Marcos afirma en el seu lliurament d'exercicis: «La nova mitjana és $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ punts, i la nova desviació típica és $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ punts; per tant, les puntuacions estan menys disperses en haver-se invertit el signe de l'escala».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès pel Marcos en el càlcul de la desviació típica.
2. b) Corregeix els càlculs trobant els valors correctes de $\mu_Y$ i $\sigma_Y$.
3. c) Justifica amb les teves paraules per què una desviació típica mai pot prendre un valor negatiu, basant-te en la seva definició estadística com a mesura de dispersió.

A partir de dades simplificades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre l'equipament de les llars a Espanya, el nombre de turismes $X$ que posseeix una família es modelitza mitjançant la funció de probabilitat següent:

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ i $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, fes una estimació raonada: entre quins dos valors enters s'ha de situar obligatòriament la mitjana $\mu$ i a quin d'ells consideres que estarà més propera? Justifica-ho analitzant on es concentra la probabilitat més gran.
2. b) Calcula amb exactitud la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$, i contrasta el valor obtingut per a la mitjana amb la teva estimació prèvia.
3. c) Un portaveu veïnal afirma: «Com que el valor mitjà no és un nombre enter de cotxes, la mitjana manca de sentit físic per descriure una família real». Rebat la seva afirmació explicant amb precisió què representa l'esperança matemàtica a llarg termini.

En una bossa d'un joc de taula hi ha $20$ targetes de punts: $6$ targetes amb un $1$, $4$ targetes amb un $2$ i $10$ targetes amb un $3$. S'extreu una targeta a l'atzar i se n'anota la puntuació $X$.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de $X$ en forma de taula.
2. b) Calcula la mitjana $\mu$ i interpreta-la: quina puntuació mitjana per carta es pot esperar a llarg termini?
3. c) Calcula la desviació típica $\sigma$, arrodonint a les centèsimes.

La figura mostra la funció de distribució $F(x)$ d'una variable aleatòria discreta $X$ que pren els valors $0$, $1$, $2$ i $3$.

1. a) Dedueix de la gràfica la funció de probabilitat de $X$ (els valors $p_i = P[X = x_i]$) i escriu-la en forma de taula.
2. b) Calcula $P[1 \le X < 3]$ a partir de la funció de distribució.
3. c) Troba la mitjana de $X$.

Una ruleta d'una fira té $8$ sectors iguals amb els premis que es veuen a la figura: un sector de $10\ \text{€}$, dos de $5\ \text{€}$, tres de $2\ \text{€}$ i dos sense premi.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de la variable $X$ = «premi obtingut en una tirada».
2. b) Calcula el premi mitjà per tirada, $\mu$.
3. c) Jugar costa $3\ \text{€}$ la tirada. Defineix la variable $G$ = «guany net del jugador» (premi menys el que s'ha pagat), calcula'n l'esperança i decideix raonadament si és aconsellable jugar.

L'AFA d'un institut organitza una rifa solidària: ven $200$ paperetes a $2\ \text{€}$ cadascuna, amb un premi de $100\ \text{€}$, quatre premis de $25\ \text{€}$ i deu premis de $5\ \text{€}$.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de la variable $G$ = «guany net en comprar una papereta» (valor del premi menys els $2\ \text{€}$ que costa).
2. b) Calcula l'esperança de $G$.
3. c) Interpreta el signe del resultat: si l'esperança és negativa, on van a parar aquests diners? Contradiu això la finalitat solidària de la rifa?

Una variable aleatòria discreta $X$ pren els valors $1$, $2$, $3$ i $4$ amb probabilitats proporcionals al mateix valor: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calcula el valor de la constant $k$.
2. b) Troba la mitjana $\mu$.
3. c) Comprova que la variància val exactament $1$ i dedueix la desviació típica.

El temps d'espera $X$ (en minuts) de l'autobús escolar en una parada es distribueix uniformement entre $0$ i $10$ minuts, és a dir, la seva funció de densitat és constant: $f(x) = k$ per a $x \in [0, 10]$ i $f(x) = 0$ a fora.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabent que l'àrea sota la funció de densitat ha de ser $1$.
2. b) Troba la probabilitat d'esperar entre $2$ i $5$ minuts.
3. c) Troba la probabilitat d'esperar més de $8$ minuts i explica per què $P[X = 8] = 0$ tot i que esperar exactament $8$ minuts no sigui impossible.

Per finançar el viatge d'estudis de 2n de Batxillerat, l'alumnat dissenya una ruleta benèfica. La variable aleatòria $X$ representa el guany net en euros d'una persona després d'una tirada, i pren únicament els valors $-3$ € (si perd el que ha apostat), $+1$ € (premi menor) i $+k$ € (premi major, amb $k > 1$). S'ha fixat que la probabilitat de perdre és $P[X = -3] = 0,40$ i la de guanyar un euro és $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Determina la probabilitat $P[X = k]$ d'obtenir el premi major, justificant quina propietat de les distribucions de probabilitat utilitzes.
2. b) Planteja l'equació de l'esperança matemàtica i calcula el valor exacte de $k$ perquè el joc sigui equitable ($E[X] = 0$).
3. c) Si l'equip organitzador vol garantir una recaptació mitjana esperada per al viatge de $0,45$ € per cada tirada venuda (és a dir, que el guany net mitjà del jugador sigui $E[X] = -0,45$ €), quin valor enter s'ha d'assignar al premi $k$?

Una empresa de missatgeria urgent que opera a Sevilla analitza el nombre de visites fallides $X$ abans de poder lliurar un paquet en mà. El model de probabilitat estimat per a cada enviament és el següent:

$P[X = 0] = 0,60$; $P[X = 1] = 0,25$; $P[X = 2] = 0,10$; $P[X = 3] = 0,05$, sense que es produeixi mai un quart intent fallit.

1. a) Escriu la funció de distribució acumulada $F(x) = P[X \le x]$ per a qualsevol nombre real $x \in \mathbb{R}$, indicant amb claredat els trams i identificant el valor del salt que es produeix en cada valor possible de la variable.
2. b) Cada intent fallit suposa un cost operatiu de $3$ € per combustible i temps del repartidor, al qual se suma un cost fix de gestió de $2$ € per paquet lliurat. Expressa el cost total per paquet $C$ com una transformació lineal de $X$ ($C = aX + b$) i calcula el seu cost mitjà $E[C]$ i la seva desviació típica $\sigma_C$.
3. c) Si l'empresa reparteix $1.000$ paquets en una jornada, quant pressupost total preveu destinar a aquests costos? Explica quin principi probabilístic assegura que el cost mitjà real d'aquesta jornada s'aproximarà estretament a $E[C]$.

El temps (en minuts) que triga a arrencar un servidor després d'una reinicialització és una variable aleatòria contínua $X$ amb funció de densitat $f(x) = k \cdot x$ per a $x \in [0, 4]$ i $f(x) = 0$ a la resta, representada a la figura.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabent que l'àrea total sota la funció de densitat ha de ser $1$.
2. b) Troba la probabilitat que el servidor trigui menys de $2$ minuts a arrencar.
3. c) Calcula la mediana de $X$ (el valor $m$ tal que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) i la mitjana $\mu$. Quina de les dues és més gran? A què creus que es deu?

La Amina estudia la variable $X$ = «nombre d'avaries setmanals d'una fotocopiadora», amb aquesta distribució de probabilitat:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Ha calculat la mitjana, $\mu = 1,7$, i després ha escrit:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Revisa el seu càlcul de $\sum p_i \cdot x_i^2$ i comprova que és correcte.
2. b) Localitza l'error en la fórmula que ha aplicat per a la variància i corregeix-lo.
3. c) Calcula la desviació típica correcta.

En una parada de fira es juga amb dos daus cúbics: es guanyen $12\ \text{€}$ si surten dobles (els dos daus iguals), $6\ \text{€}$ si la suma és $7$, i res en qualsevol altre cas.

1. a) Calcula la probabilitat de cada premi i la de no guanyar res. (Tingues en compte que treure dobles i sumar $7$ són successos incompatibles; per què?)
2. b) Troba l'esperança del premi per partida i dedueix quin hauria de ser el preu de l'aposta perquè el joc fos equitatiu.
3. c) Si la parada cobra $4\ \text{€}$ per partida, a qui afavoreix el joc? Quant espera guanyar o perdre un jugador que juga $100$ partides?

Una variable aleatòria discreta $X$ pren els valors $0$, $1$, $2$ i $4$, i la seva funció de distribució compleix:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sabent que la mitjana de la distribució és $\mu = 2,2$, planteja l'equació que permet trobar $a$ i calcula'n el valor.
2. b) Escriu la funció de probabilitat completa de $X$.
3. c) Calcula la variància i la desviació típica de $X$, arrodonint a les centèsimes.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta amb mitjana $\mu$ i desviació típica $\sigma$, i sigui $Y = a \cdot X + b$ una nova variable obtinguda aplicant a $X$ una transformació lineal.

1. a) Demostra, a partir de la definició de mitjana, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Demostra que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Per què la constant $b$ no afecta la dispersió?
3. c) Aplicació: en un examen, les notes tenen una mitjana de $6,2$ i una desviació típica de $1,4$. El professor decideix transformar cada nota $X$ en $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcula la nova mitjana i la nova desviació típica.

Per analitzar la variabilitat de les puntuacions en una prova de selecció, es defineix una variable discreta $X$ que només pren quatre valors elevats: $200$, $204$, $208$ i $212$, amb probabilitats associades $0,15$, $0,35$, $0,30$ i $0,20$, respectivament. Per calcular la desviació típica $\sigma_X$ es debaten dos mètodes:

• Mètode A (Càlcul directe): Calcular $\mu_X = \sum x_i p_i$, després $\sum x_i^2 p_i$ (manegant quantitats superiors a $40.000$) i aplicar $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$.

• Mètode B (Canvi de variable lineal): Definir una variable reduïda $Y = \frac{X - 200}{4}$, calcular la mitjana $\mu_Y$ i la desviació típica $\sigma_Y$ d'aquesta variable simplificada (els valors de la qual són únicament $0, 1, 2, 3$), i a partir d'aquestes recuperar $\mu_X$ i $\sigma_X$.

1. a) Aplica el Mètode B: escriu la distribució de probabilitat de $Y$, calcula $\mu_Y$ i $\sigma_Y$, i determina a partir d'aquestes $\mu_X$ i $\sigma_X$ utilitzant les propietats de les transformacions lineals.
2. b) Aplica el Mètode A per verificar el resultat i compara tots dos procediments: quin risc d'error d'arrodiment o pèrdua de precisió numèrica presenta el Mètode A respecte al Mètode B quan es treballa amb calculadores de precisió limitada?
3. c) Justifica teòricament per què la resta $-200$ desplaça la mitjana però no altera en absolut la dispersió, mentre que la divisió entre $4$ escala tant la mitjana com la desviació típica.

La funció de distribució acumulada del nombre diari d'incidències tècniques $X$ en una línia de Rodalies ve donada per:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Reconstrueix la funció de probabilitat de $X$ (indicant el valor de $P[X = x_i]$ per a cada valor possible) a partir dels salts de $F(x)$, i comprova que compleix les dues condicions necessàries per ser vàlida.
2. b) Se sap que en una jornada determinada s'ha produït almenys una incidència ($X \ge 1$). Calcula la probabilitat condicionada que en aquesta jornada s'hagin registrat exactament $2$ incidències.
3. c) L'empresa de manteniment cobra una quota fixa diària de $100$ € que cobreix fins a una incidència (si hi ha $0$ o $1$ incidència no s'abona cap suplement); no obstant això, a partir de la segona incidència (és a dir, per a la segona i per a la tercera), cadascuna genera un cost suplementari de $150$ €. Modela la variable aleatòria $G$ (despesa diària en euros), determina la seva funció de probabilitat, calcula la despesa mitjana esperada $E[G]$ i raona per què $G$ no es pot expressar com una transformació lineal global de la forma $aX + b$ per a tots els valors de $X$.