Curvatura. Concavidad, convexidad y punto de inflexión

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realiza los siguientes pasos para estudiar su curvatura:

1. Calcula la segunda derivada $f''(x)$.

2. Determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$).

3. Halla las coordenadas del punto de inflexión.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudia su curvatura. ¿Presenta esta función algún punto donde la derivada segunda se anule pero no sea un punto de inflexión? Justifica tu respuesta analizando el signo de $f''(x)$ a ambos lados de los puntos singulares de la segunda derivada.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenga un punto de inflexión en $x = 2$. Una vez hallado $k$, indica si la función es cóncava o convexa en el punto $x = 0$.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realiza un estudio detallado de su curvatura. Para ello:

1. Halla los intervalos de concavidad y convexidad.

2. Determina las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión, si existen.

La cantidad de usuarios activos en una nueva red social durante los primeros 6 meses sigue aproximadamente la función $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses y $N(t)$ es el número de usuarios en miles.

1. Calcula el momento exacto (valor de $t$) en el que el crecimiento de usuarios empieza a desacelerarse (punto de inflexión).

2. Explica el significado de la curvatura de la función antes y después de ese instante en términos de "ritmo de crecimiento".

Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de salto para un parque de deportes extremos. El perfil de la sección central de la rampa sigue la función $f(x) = (x-2)e^x$ para $x \in [0, 3]$.

Calcula el valor de la abscisa $x$ donde la rampa cambia de ser cóncava a ser convexa (punto de inflexión). Justifica por qué en ese punto la rampa alcanza su máxima pendiente de bajada en ese tramo.

Se considera la familia de funciones de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales. Se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 1)$ y que presenta un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = 1$.

1. a) Determina los valores de $a$ y $b$.
2. b) Para los valores hallados, estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función y comprueba si existen otros puntos de inflexión adicionales.

Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de transición para un nuevo modelo de monopatín. La altura de la rampa sigue la función $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en el intervalo $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la rampa cambie su curvatura (tenga un punto de inflexión) exactamente en $x = 0$.
2. b) ¿Es posible encontrar un valor de $k$ tal que la función sea siempre convexa ($\cup$) en todo su dominio de definición? Justifica tu respuesta analíticamente.