Exercicis: Curvatura: Concavitat i convexitat. Punt d'inflexió

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, fes els passos següents per estudiar-ne la curvatura (s'anomena còncava ($\cap$) la zona en què $f''(x)<0$ i convexa ($\cup$) la zona en què $f''(x)>0$):

1. a) Calcula la segona derivada $f''(x)$.

1. b) Determina els intervals de concavitat ($\cap$) i de convexitat ($\cup$).

1. c) Troba les coordenades del punt d'inflexió.

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$ i identifica, de manera visual, en quins intervals la funció és convexa (curvatura cap amunt, $\cup$) i en quins és cóncava (curvatura cap avall, $\cap$). Indica aproximadament l'abscissa $x$ on creus que se situa el punt d'inflexió.

Un dissenyador de pistes de skate està modelant el perfil d'una rampa mitjançant la funció $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, on $x$ representa la distància horitzontal en metres. El dissenyador necessita saber on canvia la rampa de ser "tipus muntanya" (còncava) a "tipus vall" (convexa) per assegurar la transició. Calcula el punt d'inflexió d'aquesta trajectòria.

Donada la funció $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudia la seva curvatura. Presenta aquesta funció cap punt on la derivada segona s'anul·li però no sigui un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta analitzant el signe de $f''(x)$ a tots dos costats dels punts singulars de la segona derivada.

Relaciona cadascuna de les condicions següents sobre la segona derivada amb la forma de la gràfica de la funció $f(x)$ en un interval donat:

1. $f''(x) > 0$ per a tot $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ per a tot $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ i existeix un canvi de signe de $f''(x)$ en passar per $x = c$.

Utilitza els termes: Cóncava (curvatura cap avall, $\cap$), Convexa (curvatura cap amunt, $\cup$) i Punt d'inflexió.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tingui un punt d'inflexió en $x = 2$. Una vegada trobat $k$, indica si la funció és cóncava o convexa en el punt $x = 0$.

Determina els intervals de curvatura de la funció exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. Té aquesta funció cap punt d'inflexió? Raona la resposta basant-te en el valor de la segona derivada.

Sigui la funció $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Encara que és una funció racional, el seu estudi de curvatura en el domini de definició és senzill. A la figura apareixen la seva gràfica i les seves asímptotes.

1. Troba $f''(x)$.

2. Estudia'n el signe en els intervals corresponents (tenint en compte que $x=1$ no pertany al domini) i relaciona'l amb la curvatura que veus en cada branca de la gràfica.

3. Té punts d'inflexió? Justifica si el canvi de curvatura en l'asímptota vertical es considera punt d'inflexió.

En Marcos ha d'estudiar la curvatura de la funció polinòmica $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. En el seu examen escriu el següent raonament:

«Derivada primera: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Derivada segona: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Igualo a zero: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Per tant, la gràfica de la funció canvia de curvatura a $x = 1$ i presenta un punt d'inflexió a $(1, 5)$.»

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que ha comès en Marcos. És la condició $f''(x_0) = 0$ suficient per si sola per garantir l'existència d'un punt d'inflexió?
2. b) Corregeix l'exercici determinant els intervals reals de concavitat ($\cap$) i convexitat ($\cup$) de $f(x)$, i conclou justificadament si la gràfica té o no punts d'inflexió.

Dissenya l'expressió algebraica d'una funció cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que compleixi simultàniament les següents quatre condicions:

1. La seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, -5)$.

2. Presenta un punt d'inflexió en el punt de coordenades $(2, 3)$.

3. La recta tangent a la gràfica en aquest punt d'inflexió té pendent igual a $-4$.

4. La funció és còncava ($\cap$) a $(-\infty, 2)$ i convexa ($\cup$) a $(2, +\infty)$.

Calcula raonadament els coeficients $a, b, c$ i $d$, i comprova explícitament mitjançant el signe de $f''(x)$ que la condició de curvatura 4 es verifica de forma estricta amb els valors que has trobat.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, fes un estudi detallat de la seva curvatura (considera còncava $\cup$ on $f''(x)>0$ i convexa $\cap$ on $f''(x)<0$). Per a això:

1. a) Troba els intervals de concavitat i convexitat.

1. b) Determina les coordenades exactes dels seus punts d'inflexió, si n'hi ha.

Es sap que la funció polinòmica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ té un punt d'inflexió en el punt $P(1, 2)$ i que el pendent de la recta tangent en aquest punt és $m = -3$. Calcula els valors dels paràmetres $a, b$ i $c$.

Un equip d'enginyers està dissenyant una rampa de salt per a un parc d'esports extrems. El perfil de la secció central de la rampa segueix la funció $f(x) = (x-2)e^x$ per a $x \in [-1, 3]$.

Calcula el valor de l'abscissa $x$ on la rampa canvia de ser cóncava a ser convexa (punt d'inflexió). Justifica per què en aquest punt la rampa ateny el seu pendent màxim de baixada en aquest tram.

Donada la funció $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determina:

1. Els intervals on la funció és cóncava ($\cap$) i on és convexa ($\cup$).

2. Les coordenades dels punts d'inflexió.

3. L'equació de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el seu punt d'inflexió d'abscissa positiva.

La quantitat d'usuaris actius en una nova xarxa social durant els primers 6 mesos segueix aproximadament la funció $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en mesos i $N(t)$ és el nombre d'usuaris en milers.

1. Calcula el moment exacte (valor de $t$) en què el creixement d'usuaris comença a desaccelerar-se (punt d'inflexió).

2. Explica el significat de la curvatura de la funció abans i després d'aquest instant en termes de "ritme de creixement".

Sigui la funció definida a trossos:

Calcula els valors d'$a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable a $x = 0$ i la seva gràfica passi pel punt $(\pi, \pi)$. Un cop calculats, comprova si existeix un punt d'inflexió a l'origen.

Donada la funció $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$, es demana:

1. a) Determinar els intervals de concavitat i convexitat, estudiant el signe de $f''(x)$ (considera la funció convexa, $\cup$, on $f''(x) > 0$ i còncava, $\cap$, on $f''(x) < 0$).

1. b) Trobar els punts d'inflexió de la corba.

1. c) Què passa amb la curvatura de la funció quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$? Raona la resposta basant-te en el límit de la segona derivada.

Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ tingui un punt d'inflexió en $x = 0$ i passi pel punt $(1, -1)$. Una vegada trobats, estudia si la funció té més punts d'inflexió en el seu domini.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Estima abans de calcular: Observa que la funció és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (parell), estrictament positiva a tot $\mathbb{R}$, assoleix un màxim relatiu a $(0, 4)$ i té una asímptota horitzontal a $y = 0$ quan $x \to \pm\infty$. A partir únicament d'aquestes dades qualitatives, dedueix raonadament si la gràfica ha de tenir punts d'inflexió, quants n'esperaries trobar com a mínim, en quins quadrants s'ubicaran i quina curvatura hauria de presentar la gràfica a prop de l'origen en comparació amb zones molt allunyades d'aquest ($|x| \to \infty$).
2. b) Comprova analíticament: Calcula $f''(x)$, determina els intervals de concavitat ($\cap$) i convexitat ($\cup$), i troba les coordenades exactes dels punts d'inflexió. Comprova si els resultats analítics confirmen amb precisió les deduccions que has plantejat a la teva estimació prèvia.

Per analitzar la curvatura i classificar els possibles punts d'inflexió de la funció $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, calcules les seves dues primeres derivades i obtens $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ i $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Els candidats a punt d'inflexió són $x = 0$ i $x = 3$.

Dos companys de classe proposen vies de resolució diferents:

• Mètode 1 (Derivades successives): Calcular $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, etc., i avaluar en cada candidat fins a trobar una derivada d'ordre superior que no s'anul·li.

• Mètode 2 (Estudi del signe de $f''$): Analitzar directament el signe de $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ en els intervals determinats pels zeros de la segona derivada.

1. a) Aplica el Mètode 1 per classificar $x = 0$ i $x = 3$.
2. b) Aplica el Mètode 2 per determinar els intervals de concavitat i convexitat i classificar ambdós punts.
3. c) Compara críticament ambdós mètodes per a aquest cas: quin dels dos resulta més eficient i per què la presència del factor $x^2$ fa que el Mètode 2 sigui especialment avantatjós enfront del Mètode 1? Quina limitació conceptual presentaria el Mètode 1 si la funció no admetés derivades d'ordre superior en el punt analitzat?

Es considera la família de funcions de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals. Es sap que la gràfica de la funció passa pel punt $(0, 1)$ i que presenta un punt d'inflexió en el punt d'abscissa $x = 1$.

1. a) Determina els valors de $a$ i $b$.
2. b) Per als valors trobats, estudia els intervals de concavitat i convexitat de la funció i comprova si existeixen altres punts d'inflexió addicionals.

Un equip d'enginyers està dissenyant una rampa de transició per a un nou model de monopatí. L'altura de la rampa segueix la funció $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en l'interval $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè la rampa canviï la seva curvatura (tingui un punt d'inflexió) exactament a $x = 0$.
2. b) És possible trobar un valor de $k$ tal que la funció sigui sempre convexa ($\cup$) en tot el seu domini de definició? Justifica la teva resposta analíticament.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, on $a$ és una constant real no nul·la:

1. a) Demostra que si $a > 0$, la funció sempre té exactament tres punts d'inflexió alineats.
2. b) Si $a = -3$, estudia la curvatura de la funció detallant els seus intervals i punts d'inflexió, tenint en compte les discontinuïtats de la funció.

La gràfica següent correspon a la funció derivada primera, $f'(x)$, d'una funció contínua $f(x)$ definida a tot $\mathbb{R}$. A partir de la informació visual proporcionada i limitant-te al tram representat, $-2 < x < 2$:

1. a) Determina els intervals de concavitat i convexitat de la funció original $f(x)$.
2. b) Indica les abscisses dels punts d'inflexió de $f(x)$.
3. c) Si sabem que $f(0) = 0$, fes un esborrany de la gràfica de la funció original $f(x)$ basant-te en la seva curvatura.

Sigui la funció $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.

1. a) Troba l'expressió de $f''(x)$ simplificada al màxim.
2. b) Determina els punts de la corba on el pendent de la recta tangent aconsegueix els seus valors màxims o mínims relatius. Pista: Recorda que això ocorre on la curvatura canvia.
3. c) Estudia els intervals de curvatura de $f(x)$.

Es vol suavitzar la unió de dos trams de carretera. El primer tram ve donat per la funció $g(x) = x^2$ per a $x \le 1$, i el segon tram per una funció polinòmica de tercer grau $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ per a $x > 1$.

Perquè la transició sigui "perfectament suau", els enginyers exigeixen que en el punt de unió $x = 1$:

1. Les funcions coincideixin ($f$ sigui contínua).

2. Els pendents coincideixin ($f$ sigui derivable).

3. La curvatura sigui la mateixa (les segones derivades coincideixin).

Sabent que el segon tram ha de tenir un punt d'inflexió a $x = 2$, calcula els valors de $a, b, c$ i $d$.

Considera la funció $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Estudia el domini i les asímptotes de la funció.
2. b) Determina els intervals de creixement i decreixement, i els extrems relatius.
3. c) Analitza la curvatura i demostra que no existeix cap punt d'inflexió.
4. d) Cap a quin valor tendeix el pendent de la corba quan $x \to \infty$? Canvia això la curvatura a l'infinit?

Sigui la funció $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ definida per a $x > 0$.

1. a) Calcula $f'(x)$, $f''(x)$ i $f'''(x)$.
2. b) Determina els intervals de concavitat i convexitat.
3. c) Existeix cap punt de la gràfica on la recta tangent sigui horitzontal i, simultàniament, aquest punt sigui un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta.
4. d) Estudia el comportament de la curvatura quan $x$ s'aproxima a $0$ per la dreta. Podem dir que hi ha un punt d'inflexió en el límit?

Segons les projeccions del Pla Nacional Integrat d'Energia i Clima (PNIEC) a Espanya, la potència acumulada d'autoconsum solar fotovoltaic (en gigawatts, $\text{GW}$) entre els anys 2018 ($t = 0$) i 2026 ($t = 8$) es modelitza mitjançant la funció logística:

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\cdot e^{-0,5t}}$

on $t$ representa el temps transcorregut en anys des de finals de 2018.

1. a) Determina raonadament el límit de $P(t)$ quan $t \to +\infty$ i interpreta el valor obtingut en el context del model (capacitat de saturació de la potència instal·lable).
2. b) Calcula analíticament la segona derivada $P''(t)$ i troba l'instant exacte $t_0$ en el qual la funció presenta un punt d'inflexió. En quin any i mes aproximat es va produir aquesta fita?
3. c) Estudia el signe de $P''(t)$ abans i després de $t_0$. Interpreta quin significat tenen la convexitat i la concavitat en termes del ritme d'instal·lació anual ($P'(t)$): durant quin període el ritme d'instal·lació va ser accelerat i quan va començar a alentir-se, malgrat que la potència total continués augmentant?
4. d) Demostra algebraicament que en qualsevol model logístic general de la forma $P(t) = \frac{K}{1 + b\cdot e^{-kt}}$ (amb $K, b, k > 0$), el punt d'inflexió s'assoleix sempre en l'instant en què la magnitud arriba a la meitat del seu valor límit de saturació ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

En el disseny del perfil longitudinal d'una rampa d'acceleració per a una atracció d'un parc temàtic a Madrid, cal enllaçar suaument la cota de sortida amb la plataforma superior. La rampa s'ha de representar mitjançant una funció derivable $f(x)$ definida a l'interval $[0, 4]$ (on $x$ és la distància horitzontal en metres i $f(x)$ l'alçada en metres) que satisfaci:

1. Comença en el punt $(0, 0)$ amb pendent horitzontal ($f'(0) = 0$).

2. Acaba en el punt $(4, 2)$ també amb pendent horitzontal ($f'(4) = 0$).

3. Per evitar sotragades brusques als passatgers, la curvatura ha de variar de forma contínua, passant de convexa ($\cup$) a còncava ($\cap$), i existint exactament un punt d'inflexió a l'interior de l'interval $(0, 4)$.

1. a) Demostra formalment per què és impossible que un polinomi de segon grau compleixi simultàniament aquestes especificacions.
2. b) Determina els coeficients del polinomi de menor grau possible, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, que compleix les condicions de posició i pendent als extrems.
3. c) Per a la funció cúbica obtinguda, demostra que es verifica la condició de curvatura: determina els intervals de convexitat i concavitat, troba les coordenades del punt d'inflexió i justifica per què a l'abscissa d'aquest punt d'inflexió la rampa assoleix el seu pendent màxim, calculant-ne el valor exacte.