Posiciones relativas

Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Estudia la posición relativa de ambas comparando sus vectores directores. ¿Son paralelas o tienen direcciones distintas?

Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y $C$. ¿Se trata de la misma recta (coincidentes) o son rectas secantes en el punto $B$?

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas $r$ y $s$. En caso de que sean secantes, calcula las coordenadas del punto de corte:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posición relativa entre el rayo láser y la lámina. En caso de que se corten, calcula las coordenadas del punto de impacto.

Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta tu respuesta basándote en el vector director de la recta.

Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-4}{4}$. Determina si la viga es perpendicular al plano de fachada $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser los planos coincidentes? Justifica tu respuesta observando los términos independientes.

Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discute la posición relativa de los tres planos según los diferentes valores del parámetro real $a$. En los casos en los que los tres planos se corten en una recta (formando un haz de planos), obtén la ecuación paramétrica de dicha recta.