Exercicis: Posicions relatives

Un satèl·lit d'observació segueix una trajectòria lineal a l'espai definida per la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Es vol comprovar si el satèl·lit passarà exactament per un punt de control situat a $P(5, 0, 6)$. Determina si el punt $P$ pertany a la trajectòria del satèl·lit.

En el disseny d'un edifici intel·ligent, s'han definit dues superfícies planes corresponents al sostre i al terra d'una planta tècnica. Les equacions dels plans són $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ i $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analitza la posició relativa de tots dos plans per confirmar si són paral·lels.

Un raig làser es propaga seguint la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ i incideix sobre una làmina de cristall plana l'equació de la qual és $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posició relativa entre el raig làser i la làmina. En cas que es tallin, calcula les coordenades del punt d'impacte.

Donades les rectes $r$ i $s$ expressades per les seves equacions paramètriques:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Estudia la posició relativa de totes dues comparant els seus vectors directors. Són paral·leles o tenen direccions diferents?

Comprova si la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $x + y = 2$ i $x - y = 0$, és paral·lela al pla de coordenades $XY$ (el pla $z = 0$). Argumenta la teva resposta basant-te en el vector director de la recta.

Un arquitecte utilitza un programari de disseny per situar una biga estructural representada per la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina si la biga és perpendicular al pla de façana $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifica la teva resposta.

Donats els punts $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ i $C(3, 2, 1)$, determina la posició relativa de la recta que passa per $A$ i $B$ respecte a la recta que passa per $B$ i $C$. Es tracta de la mateixa recta (coincidents) o són rectes secants en el punt $B$?

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè els plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ i $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ siguin paral·lels. Per a aquest valor de $k$, podrien ser coincidents els plans? Justifica la teva resposta observant els termes independents.

Estudia la posició relativa de les rectes $r$ i $s$ següents. En cas que siguin secants, calcula les coordenades del punt de tall:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Considera el pla $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ i la recta $r$ que passa pels punts $A(1, 0, -1)$ i $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ perquè la recta sigui paral·lela al pla. Per a aquest valor de $a$, està la recta continguda en el pla? Justifica la teva resposta.

Dos drons de vigilància aèria segueixen trajectòries rectilínies definides per les rectes $r$ i $s$. El centre de control necessita saber si existeix cap risc de col·lisió (si les trajectòries es tallen). Les equacions de les trajectòries són:

$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$

$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina la posició relativa de totes dues trajectòries.

Discuteix, en funció del paràmetre real $m$, la posició relativa dels tres plans següents:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Troba l'equació implícita del pla que conté la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ i és paral·lel a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Quina és la posició relativa de les rectes $r$ i $s$?

Un feix de plans té com a aresta la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Troba quin dels plans del feix passa pel punt $P(1, 1, 1)$. Una vegada obtingut, determina la posició relativa d'aquest pla amb l'eix $OY$.

Es projecta un raig làser des del punt $A(2, 3, 5)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (1, -1, -2)$. El raig impacta contra una paret metàl·lica representada pel pla $\pi: x + 2y + z = 12$.

1. a) Determina les coordenades del punt d'impacte.
2. b) Estudia la posició relativa de la trajectòria del làser amb la recta $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.

Donades les rectes $r$ i $s$, demostra que es creuen i troba l'equació del pla que conté $s$ i és paral·lel a $r$:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

En un projecte de disseny industrial, es defineixen tres superfícies mitjançant els plans següents a l'espai:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuteix la posició relativa dels tres plans segons els diferents valors del paràmetre real $a$. En els casos en què els tres plans es tallin en una recta (formant un feix de plans), obtén l'equació paramètrica d'aquesta recta.

Es considera una trajectòria d'un dron representada per la recta $r$ que passa pel punt $A(1, 2, -1)$ i té com a vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. D'altra banda, un panell solar està contingut en el pla $\pi$ definit pels punts $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ i $R(2, 1, 0)$.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la trajectòria del dron sigui paral·lela al panell solar. Per a aquest valor de $k$, existeix alguna recta $s$ continguda en el pla $\pi$ que sigui perpendicular a $r$? Justifica la resposta basant-te en la posició relativa dels elements.

Donades les rectes $r$ i $s$ definides per:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$

1. a) Estudia la posició relativa de $r$ i $s$ en funció del paràmetre $m$.
2. b) Per al valor de $m$ que fa que les rectes es tallin, troba l'equació del pla $\pi$ que les conté.
3. c) Si $m=0$, les rectes es creuen. Troba l'equació de la recta $t$ que passa per l'origen de coordenades i talla $r$ i $s$ simultàniament.

Un arquitecte dissenya una estructura on tres bigues de suport han de convergir en un punt. Les cares dels pilars principals se situen sobre els plans:

$\pi_1: x + 2y - z = 3$

$\pi_2: 2x - y + z = 1$

$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$

Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè:

1. a) Els tres plans es tallin en una única recta (la biga de suport comuna).
2. b) Els tres plans no tinguin cap punt comú i es tallin dos a dos (formant un prisma infinit). Explica quina relació han de complir els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada en aquest cas.

Sigui la recta $r$ definida per la intersecció dels plans $\sigma_1: x + y = 2$ i $\sigma_2: x - z = 1$. Considerem també el pla $\pi: 2x + y - z = k$.

1. a) Determina el valor de $k$ perquè la recta $r$ estigui continguda en el pla $\pi$.
2. b) Per a un valor de $k$ diferent del trobat en l'apartat anterior, la recta $r$ i el pla $\pi$ són paral·lels. En aquesta situació, calcula l'equació d'una nova recta $s$ que sigui la projecció ortogonal de $r$ sobre el pla $\pi$.
3. c) Estudia la posició relativa d'aquesta nova recta $s$ amb l'eix $OY$.

Es donen les rectes $r$ i $s$ d'equacions:

$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$

1. a) Demostra analíticament que les rectes $r$ i $s$ es creuen.
2. b) Troba l'equació de la perpendicular comuna a totes dues rectes.
3. c) Determina la posició relativa d'aquesta perpendicular comuna amb el pla coordenat $XZ$.

Considerem una família de plans que depenen d'un paràmetre $\alpha \in \mathbb{R}$:

$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$

I la recta $r$ que passa pels punts $M(1, 1, 1)$ i $N(2, 3, 0)$.

1. a) Estudia la posició relativa de la recta $r$ i el pla $\pi_\alpha$ segons els valors de $\alpha$.
2. b) Existeix algun valor de $\alpha$ per al qual el pla $\pi_\alpha$ contingui la recta $r$?
3. c) Per a $\alpha = 0$, troba el punt simètric de $M$ respecte al pla $\pi_0$ i comprova si la recta que uneix $M$ amb el seu simètric és secant, paral·lela o coincident amb la recta $r$.

En un sistema de coordenades estel·lar, es detecten dos senyals de ràdio lineals:

$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$

$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$

1. a) Troba el valor de $m$ perquè les trajectòries dels senyals siguin secants.
2. b) Per al valor de $m$ trobat, calcula el punt d'impacte $I$.
3. c) Considera un satèl·lit situat en el pla $\pi: x + y + z = 10$. Determina la posició relativa de la recta $L_1$ respecte a aquest pla i calcula, si existeix, la distància mínima entre el senyal $L_1$ i el satèl·lit (representat pel pla).