Exercicis: Teorema de Rouché-Frobenius

En una sessió d'estudi sobre àlgebra, un company et mostra els resultats de l'anàlisi dels rangs de tres sistemes d'equacions diferents utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Indica raonadament el tipus de sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) en cadascun dels casos següents, sabent que el nombre d'incògnites és $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ i $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ i $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ i $rg(A^*) = 2$.

Donat el sistema d'equacions lineals següent sense paràmetres:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Calcula el rang de la matriu de coeficients $A$ i el rang de la matriu ampliada $A^*$. Utilitza el teorema de Rouché-Frobenius per discutir l'existència i el nombre de solucions del sistema.

Discuteix el sistema d'equacions següent en funció del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determina per a quins valors de $k$ el sistema és Compatible Determinat i per a quins és Incompatible o Compatible Indeterminat.

Considera un sistema homogeni de tres equacions amb tres incògnites la matriu de coeficients de la qual és $A$. Si sabem que el determinant d'aquesta matriu és $|A| = 0$ i que existeix un menor d'ordre 2 diferent de zero, utilitza el teorema de Rouché-Frobenius per a:

1. a) Justificar per què el sistema mai no podrà ser incompatible.
2. b) Classificar el sistema segons el nombre de solucions.
3. c) Indicar quants paràmetres seran necessaris per expressar la seva solució general.

Un «influencer» està analitzant el creixement dels seus seguidors en tres xarxes socials diferents (TikTok, Instagram i Twitch). Ha plantejat un sistema d'equacions per repartir el seu pressupost publicitari, però s'ha adonat que té més incògnites que equacions:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

On $x, y, z$ és la inversió en euros per a cada xarxa social. Sense resoldre el sistema, explica raonadament mitjançant el teorema de Rouché-Frobenius per què aquest sistema mai no podrà tenir una solució única. Podria ser incompatible?

Associa cadascuna de les situacions geomètriques següents de tres plans en l'espai amb la discussió del sistema corresponent segons el teorema de Rouché-Frobenius (assumeix $n=3$):

1. Els tres plans es tallen en un únic punt.

2. Dos plans són paral·lels i el tercer els talla.

3. Els tres plans es tallen en una recta comuna.

Relaciona cada cas amb una d'aquestes opcions:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Estudia la compatibilitat del sistema d'equacions següent depenent del valor del paràmetre $a$, que afecta únicament el terme independent de la tercera equació:

$$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x = a \end{cases}$$

Existeix algun valor de $a$ per al qual el sistema sigui compatible indeterminat? Justifica la teva resposta calculant els rangs de $A$ i $A^*$.

Discute el caràcter del sistema format per les equacions de tres rectes en el pla, sabent que el sistema ve donat per:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$$

Calcula el rang de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada. Interpreta el resultat obtingut: es tallen les tres rectes en un punt, són la mateixa recta o hi ha alguna relació de paral·lelisme?

En Lucas està resolent el següent sistema de 3 equacions lineals amb 3 incògnites:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2z = 3 \end{cases}$$

Després de calcular el determinant de la matriu de coeficients i obtenir $|A| = 0$, afirma en el seu examen:

«Com que el determinant de la matriu de coeficients és zero, les tres equacions són contradictòries entre si i, pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és incompatible, i no té cap solució».

1. a) Localitza i explica de manera raonada l'error conceptual que comet en Lucas sobre la relació entre un determinant nul i la classificació del sistema.
2. b) Sense resoldre el sistema, calcula el rang de la matriu de coeficients $A$ i el de la matriu ampliada $A^*$, i enuncia la conclusió correcta que es deriva del teorema de Rouché-Frobenius.

Considera el següent sistema lineal de 4 equacions amb 3 incògnites:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x + y - z = 3 \\ -x + 7y - 4z = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$

1. a) Estima raonadament, abans de fer cap càlcul matricial:

• Quin és el rang màxim teòric que poden assolir la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$?

• Observant amb atenció únicament les dues primeres equacions, seria possible que el sistema fos compatible indeterminat amb 2 graus de llibertat (és a dir, amb infinites solucions dependents de dos paràmetres)? Justifica la teva estimació.

1. b) Comprova les teves estimacions calculant els rangs $rg(A)$ i $rg(A^*)$ mitjançant el mètode de Gauss i classifica el sistema de manera definitiva segons el teorema de Rouché-Frobenius.

Donat el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

Discuteix la seva compatibilitat segons els valors de $k$ utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. No cal resoldre'l.

Considera els tres plans representats en l'espai les equacions dels quals es donen a continuació:

$$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z = a + 1$$

Estudia la posició relativa dels tres plans en funció del paràmetre $a$ basant-te en el rang de la matriu de coeficients $A$ i de la matriu ampliada $A^*$.

Una empresa de components electrònics fabrica tres tipus de plaques base: Alpha, Beta i Gamma. Es sap que:

• El nombre total de plaques fabricades en un dia és de $150$ unitats.

• El cost de producció de cada placa Alpha és de $50$ €, el de Beta és de $60$ € i el de Gamma és de $80$ €. El cost total diari és de $10.000$ €.

• La suma de les plaques Alpha i Beta fabricades supera en $m$ unitats el nombre de plaques Gamma.

Planteja el sistema d'equacions i discuteix, utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius, per a quins valors del paràmetre $m$ el problema té una solució única.

Sigui el sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Discuteix el sistema en funció dels paràmetres reals $a$ i $b$. Determina sota quines condicions el sistema és compatible indeterminat i ofereix la interpretació geomètrica d'aquest cas.

Estudia la compatibilitat del sistema homogeni següent en funció del paràmetre $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ mx + 2y + mz = 0 \\ 2x + my + 4z = 0 \end{cases}$$

Indica per a quins valors de $m$ el sistema admet solucions diferents de la trivial $(0, 0, 0)$.

A un sistema de dues equacions amb tres incògnites que és compatible indeterminat se li afegeix una tercera equació.

$$\begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$$

Troba una equació de la forma $Ax + By + Cz = D$ tal que el sistema resultant sigui:

1. Incompatible.

2. Compatible determinat.

3. Compatible indeterminat.

Justifica la teva resposta analitzant els rangs de la matriu de coeficients i l'ampliada.

Donada la matriu de coeficients $A$ i la matriu de termes independents $B$ d'un sistema $AX = B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ m \end{pmatrix}$$

Utilitza el determinant de $A$ per discutir el sistema. Existeix cap valor de $m$ per al qual el rang de la matriu ampliada $A^*$ sigui $3$ mentre que el rang de $A$ sigui $2$?

Es considera el sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

1. Demostra que el sistema és compatible indeterminat calculant els rangs pel mètode de menors.

2. Si afegim una quarta equació $x + y + az = b$, discuteix com ha de ser la relació entre $a$ i $b$ perquè el sistema continuï tenint solucions.

Una delegació esportiva juvenil a la Comunitat de Madrid adquireix títols de transport públic per a un campionat. Els títols són: bitllet senzill ($x$), abonament de 10 viatges ($y$) i abonament mensual ($z$).

• El primer grup compra 2 bitllets senzills, 1 abonament de 10 viatges i 1 abonament mensual, amb un cost total de $34$ €.

• El segon grup adquireix 1 bitllet senzill, 2 abonaments de 10 viatges i 1 abonament mensual, pagant en total $42$ €.

• El tercer grup compra 5 bitllets senzills, 4 abonaments de 10 viatges i 3 abonaments mensuals, i a la factura figura un import total cobrat de $118$ €.

1. a) Modela la situació mitjançant un sistema d'equacions lineals $A \cdot X = B$.
2. b) Aplica el teorema de Rouché-Frobenius per determinar si el sistema és compatible o si hi ha un error en els imports facturats per l'empresa de transports.
3. c) Si hi ha hagut un error a la factura del tercer grup, determina raonadament quina quantitat exacta li haurien d'haver cobrat perquè el sistema fos compatible indeterminat. Interpreta quin significat pràctic tindria per a la delegació que el sistema resultés indeterminat.

Es planteja el següent sistema d'equacions dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + k z = 3 \\ x + k y + 3z = 2 \end{cases}$$

Per discutir la compatibilitat del sistema segons els valors de $k$, dos estudiants proposen dues estratègies diferents:

• La Carmen proposa utilitzar determinants: calcular $|A|$, trobar els valors de $k$ que l'anul·len i després estudiar els rangs orlant menors a la matriu ampliada $A^*$.

• En Daniel proposa aplicar directament transformacions elementals de Gauss sobre la matriu ampliada $(A|B)$ fins a deixar-la esglaonada en funció de $k$.

1. a) Compara críticament tots dos mètodes per a aquest sistema en particular. Quins riscos algebraics o operatius presenta el mètode de Gauss en fer pivots amb expressions que contenen el paràmetre $k$ enfront de la seguretat del càlcul de determinants?
2. b) Tria el mètode que consideris més convenient i discuteix detalladament la compatibilitat del sistema per a tots els valors reals de $k$ aplicant el teorema de Rouché-Frobenius.

Es considera el sistema d'equacions lineals següent dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discuteix el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius en funció de tots els valors possibles de $a$ i $b$. En els casos en què el sistema sigui compatible indeterminat, indica el grau de llibertat (nombre de paràmetres de la solució) i descriu la posició relativa dels tres plans que representen les equacions.

Donat el sistema de quatre equacions amb tres incògnites:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determina els valors dels paràmetres $m$ i $k$ perquè el sistema sigui compatible segons el teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Existeix cap valor de $m$ que faci que el sistema sigui compatible indeterminat independentment de $k$? Justifica la teva resposta analitzant els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada.

Un estudi d'enginyeria ambiental analitza el flux de contaminants en tres estacions de filtratge ($A$, $B$ i $C$). Les concentracions de partícules $x$, $y$ i $z$ en cada estació han de satisfer l'equilibri tècnic següent:

$$\begin{cases} e^k x + y + z = 1 \\ x + e^k y + z = e \\ x + y + e^k z = e^2 \end{cases}$$

Discuteix la compatibilitat del sistema en funció del paràmetre real $k$. En particular, analitza si existeix cap valor de $k$ per al qual el rang de la matriu de coeficients sigui 1 i explica què significaria geomètricament per a les estacions de filtratge.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 tal que el seu determinant és $|A| = m^2 - 4$. Considerem el sistema d'equacions lineals $A \cdot X = B$, on $B$ és un vector columna no nul.

Se sap a més que, per a $m = 2$ i per a $m = -2$, la matriu $A$ té rang 2, i que per a $m = 2$ el sistema és compatible.

1. a) Discuteix la compatibilitat del sistema segons els valors de $m$ diferents de $-2$ i classifica'l (determinat o indeterminat) per a $m \neq \pm 2$ i per a $m = 2$.

1. b) Si per a $m = -2$ el sistema és incompatible, què podem afirmar sobre el rang de la matriu ampliada $(A|B)$ en aquest cas?

1. c) Descriu una situació geomètrica (posicions relatives dels tres plans) que correspongui al cas $m = 2$.

Considera el sistema d'equacions homogeni:

$$\begin{cases} x + ky + z = 0 \\ kx - y + z = 0 \\ (k+1)x + (k-1)y + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demostra que el sistema és compatible per a qualsevol valor de $k$.
2. b) Utilitza el determinant de la matriu de coeficients per trobar els valors de $k$ que permeten l'existència de solucions diferents de la trivial $(0,0,0)$.
3. c) Per als valors trobats a l'apartat b), determina el rang de la matriu i el nombre de paràmetres necessaris per expressar la solució general.

En un sistema logístic de transport, es defineixen les rutes entre quatre ciutats mitjançant un sistema d'equacions on les variables representen les tones de càrrega. El sistema ve donat per:

$$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + (a+1)y + az = 2a + 1 \\ ax + y + z = a^2 \end{cases}$$

1. a) Discuteix el sistema per als diferents valors de $a$ utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Si el sistema és compatible indeterminat, és possible que la càrrega $x$ sigui sempre el doble que la càrrega $y$? Justifica la teva resposta.

Determina per a quins valors dels paràmetres $p$ i $q$ el sistema següent té:

1. Una única solució.

2. Infinites solucions.

3. Cap solució.

$$\begin{cases} x + 2y - z = q \\ px + (p+1)y + z = p \\ px + py + pz = p \end{cases}$$

Per al cas en què sigui compatible indeterminat, interpreta si els tres plans es tallen en una recta o si hi ha dos plans coincidents.

Sigui el sistema d'equacions:

$$\begin{cases} x + y + mz = m \\ mx + (m-1)y + z = m \\ x + my + z = m \end{cases}$$

1. a) Calcula el valor de $m$ que fa que el rang de la matriu de coeficients sigui igual a 2.
2. b) Per a aquest valor de $m$ trobat, estudia si el sistema és compatible o incompatible.
3. c) En cas de ser compatible, podem afirmar que existeix una solució on $z = 0$? Raona la resposta basant-te en l'estructura del sistema.

Dissenya un sistema de 3 equacions lineals amb 3 incògnites ($x, y, z$) que depengui d'un paràmetre real $\lambda$ i compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. Per a $\lambda = 1$, el sistema és incompatible ($rg(A) = 2$ i $rg(A^*) = 3$).

2. Per a $\lambda = -2$, el sistema és compatible indeterminat amb 1 grau de llibertat (la seva solució general depèn d'un únic paràmetre real).

3. Per a qualsevol $\lambda \notin \{1, -2\}$, el sistema és compatible determinat.

Has de:

1. a) Escriure explícitament les tres equacions que componen el teu sistema amb els seus coeficients i termes independents en funció de $\lambda$.
2. b) Justificar formalment, aplicant el teorema de Rouché-Frobenius (mitjançant el càlcul de determinants i rangs), que el teu sistema satisfà amb exactitud les tres condicions imposades.

En una prova d'avaluació, es formula la següent qüestió teòrica:

«Sigui $S$ un sistema compatible determinat format per 3 equacions lineals amb 3 incògnites. Si s'afegeix una quarta equació lineal no nul·la, analitza raonadament si el nou sistema ampliat $S'$ pot ser: (i) Compatible Determinat, (ii) Compatible Indeterminat, o (iii) Incompatible».

En Javier respon el següent:

«Com que el sistema resultant té 4 equacions i 3 incògnites ($m > n$), és impossible que sigui determinat perquè sobren equacions. Per tant, només pot ser compatible indeterminat (si la nova equació és combinació lineal de les anteriors) o incompatible (si contradiu les tres primeres)».

1. a) Identifica els errors conceptuals comesos per en Javier i refuta'ls argumentant a partir del teorema de Rouché-Frobenius i de les cotes teòriques del rang per a matrius d'ordre $4 \times 3$ i $4 \times 4$.
2. b) Determina quines de les tres opcions ((i), (ii) i (iii)) són matemàticament possibles i quines impossibles. Per a cada opció possible, construeix un exemple numèric concret; per a l'opcióGroup impossible, demostra rigorosament la seva impossibilitat basant-te en les propietats del rang.