Teorema de Rouché-Frobenius

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales sin parámetros:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Calcula el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el rango de la matriz ampliada $A^*$. Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir la existencia y el número de soluciones del sistema.

En una sesión de estudio sobre álgebra, un compañero te muestra los resultados del análisis de los rangos de tres sistemas de ecuaciones distintos utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. Indica razonadamente el tipo de sistema (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible) en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que el número de incógnitas es $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ y $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ y $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 2$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determina para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado y para cuáles es Incompatible o Compatible Indeterminado.

Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales distintas (TikTok, Instagram y Twitch). Ha planteado un sistema de ecuaciones para repartir su presupuesto publicitario, pero se ha dado cuenta de que tiene más incógnitas que ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

Siendo $x, y, z$ la inversión en euros para cada red social. Sin resolver el sistema, explica razonadamente mediante el Teorema de Rouché-Frobenius por qué este sistema nunca podrá tener una solución única. ¿Podría ser incompatible?

Asocia cada una de las siguientes situaciones geométricas de tres planos en el espacio con la discusión del sistema correspondiente según el Teorema de Rouché-Frobenius (asume $n=3$):

1. Los tres planos se cortan en un único punto.

2. Dos planos son paralelos y el tercero los corta.

3. Los tres planos se cortan en una recta común.

Relaciona cada caso con una de estas opciones:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discute el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius en función de todos los valores posibles de $a$ y $b$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, indica el grado de libertad (número de parámetros de la solución) y describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones.

Dado el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determina los valores de los parámetros $m$ y $k$ para que el sistema sea compatible según el Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) ¿Existe algún valor de $m$ que haga que el sistema sea Compatible Indeterminado independientemente de $k$? Justifica tu respuesta analizando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.