Resolución de sistemas y regla de Cramer
Hasta ahora, para resolver un sistema de tres incógnitas triangulabas con Gauss. La regla de Cramer ofrece una fórmula directa: cada incógnita es un cociente de dos determinantes. No sustituye a Gauss —hay sistemas donde Gauss es más rápido— pero es imprescindible cuando el sistema lleva un parámetro, porque te permite despejar sin tener que seguir todos los pasos de la triangulación.
Sistema de Cramer: cuando $|A| \ne 0$
Un nutricionista diseña una dieta personalizada para un atleta combinando tres tipos de alimentos ($A, B$ y $C$). Las cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas por…
Un nutricionista diseña una dieta personalizada para un atleta combinando tres tipos de alimentos ($A, B$ y $C$). Las cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas por unidad de alimento vienen dadas por el siguiente sistema de ecuaciones, donde $x, y, z$ representan las unidades de cada alimento necesarias para alcanzar los objetivos diarios:
$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$
- a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$.
- b) Comprueba que el sistema es de Cramer calculando el determinante de $A$.
- c) Halla el valor de la incógnita $x$ aplicando exclusivamente la Regla de Cramer.
La regla de Cramer
Dos amigos, Lucía y Marcos, están comparando sus suscripciones a plataformas de streaming. Lucía paga por un plan de "Cine" y dos de "Series" un total de $16$ € al mes.…
Dos amigos, Lucía y Marcos, están comparando sus suscripciones a plataformas de streaming. Lucía paga por un plan de "Cine" y dos de "Series" un total de $16$ € al mes. Marcos, por su parte, tiene contratados dos planes de "Cine" y uno de "Series" por $17$ € mensuales.
- a) Expresa la situación mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
- b) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
- c) Resuelve el sistema utilizando la Regla de Cramer para hallar el precio mensual de cada plan.
Cramer con tres incógnitas
El procedimiento es idéntico con un sistema $3\times3$: cuatro determinantes de orden $3$ ($|A|$, $|A_x|$, $|A_y|$, $|A_z|$) en vez de cuatro de orden $2$. El trabajo crece, pero la lógica —sustituir una columna y dividir— no cambia.
En un torneo de E-sports, se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). Un equipo ha obtenido los siguientes…
En un torneo de E-sports, se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). Un equipo ha obtenido los siguientes resultados en tres jornadas:
-
Jornada 1: $1$ victoria, $1$ empate y $1$ objetivo secundario = $10$ puntos.
-
Jornada 2: $2$ victorias y $1$ empate = $13$ puntos.
-
Jornada 3: $1$ victoria y $2$ objetivos secundarios = $11$ puntos.
- a) Plantea el sistema de ecuaciones asociado.
- b) Resuélvelo mediante la Regla de Cramer para determinar cuántos puntos vale cada concepto.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Cramer: $\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$ Para…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Cramer:
$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$
Para ello, identifica primero la matriz de coeficientes $A$ y calcula su determinante. Posteriormente, obtén los determinantes de las matrices auxiliares $A_x$, $A_y$ y $A_z$ para hallar el valor de las incógnitas.
Cramer en problemas y ecuaciones matriciales
Cramer también sirve para resolver una sola incógnita sin calcular las demás: si solo te piden $z$, basta con $|A|$ y $|A_z|$. Esto es especialmente útil dentro de problemas más grandes, como al despejar una columna de una ecuación matricial.
Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: a) Determina…
Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:
- a) Determina los valores del parámetro real $m$ para los que la matriz $A$ es invertible.
- b) Para $m = 0$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X + B = 2B$, donde $X$ es una matriz de dimensiones adecuadas.
- c) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular la primera columna de la matriz $X$ y resuélvelo mediante la Regla de Cramer.