Exercicis: Resolució de sistemes i regla de Cramer

Dos amics, Lucía i Marcos, estan comparant les seves subscripcions a plataformes de streaming. La Lucía paga per un pla de "Cine" i dos de "Series" un total de $16$ € al mes. En Marcos, per la seva banda, té contractats dos plans de "Cine" i un de "Series" per $17$ € mensuals. La figura resumeix els plans que té cadascun.

1. a) Expressa la situació mitjançant un sistema de dues equacions amb dues incògnites (anomena $x$ el preu mensual del pla de Cine i $y$ el del pla de Series).

1. b) Calcula el determinant de la matriu de coeficients.

1. c) Resol el sistema utilitzant la Regla de Cramer per trobar el preu mensual de cada pla.

Un nutricionista dissenya una dieta personalitzada per a un atleta combinant tres tipus d'aliments ($A, B$ i $C$). Les quantitats de proteïnes, carbohidrats i greixos per unitat d'aliment venen donades pel sistema d'equacions següent, on $x, y, z$ representen les unitats de cada aliment necessàries per assolir els objectius diaris:

$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$

1. a) Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$.
2. b) Comprova que el sistema és de Cramer calculant el determinant de $A$.
3. c) Troba el valor de la incògnita $x$ aplicant exclusivament la regla de Cramer.

En un torneig d'E-sports, s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris complerts ($z$). Un equip ha obtingut els resultats següents en tres jornades:

• Jornada 1: $1$ victòria, $1$ empat i $1$ objectiu secundari = $10$ punts.

• Jornada 2: $2$ victòries i $1$ empat = $13$ punts.

• Jornada 3: $1$ victòria i $2$ objectius secundaris = $11$ punts.

1. a) Planteja el sistema d'equacions associat.
2. b) Resol-lo mitjançant la regla de Cramer per determinar quants punts val cada concepte.

Determina raonadament quin dels sistemes d'equacions següents és un sistema de Cramer i, per tant, té una única solució que es pot trobar mitjançant determinants:

1. a) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Justifica la teva resposta analitzant el nombre d'equacions, el nombre d'incògnites i el valor del determinant de la matriu de coeficients.

Donat el sistema d'equacions lineals:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$

Utilitza la regla de Cramer per calcular únicament el valor de la incògnita $z$. Indica clarament els dos determinants que has hagut de calcular per obtenir el resultat.

A la cafeteria d'un institut, un grup de professors ha fet dues comandes:

• Comanda 1: $3$ cafès i $2$ torrades per un total de $7,10$ €.

• Comanda 2: $2$ cafès i $4$ torrades per un total de $7,40$ €.

Anomena $x$ el preu d'un cafè i $y$ el preu d'una torrada (en euros).

1. a) Expressa el problema en forma matricial $A \cdot X = B$, indicant les matrius $A$, $X$ i $B$.

1. b) Calcula la matriu inversa $A^{-1}$.

1. c) Encara que el sistema es pot resoldre per inversió de matrius, aplica la regla de Cramer per obtenir el preu d'un cafè i el d'una torrada, i comprova que coincideixen amb els que dona $X = A^{-1} \cdot B$.

Considera el sistema d'equacions dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = k \end{cases}$

1. a) Troba el determinant de la matriu de coeficients en funció de $k$.
2. b) Determina per a quins valors de $k$ el sistema no es pot resoldre aplicant la regla de Cramer.
3. c) Per a $k = 2$, resol el sistema utilitzant aquesta regla.

Geomètricament, tres plans en l'espai es poden tallar en un únic punt. Aquest punt representa la solució única d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites.

Donat el sistema que representa la posició de tres plans:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$

Demostra, fent servir el determinant de la matriu de coeficients, que els tres plans es tallen en un únic punt i troba les seves coordenades $(x, y, z)$ mitjançant la regla de Cramer.

L'Hugo està resolent el següent sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites mitjançant la regla de Cramer:

$$\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2y + x = 7 \end{cases}$$

En el seu examen ha escrit el següent desenvolupament:

«Escric la matriu de coeficients $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. El seu determinant és $|A| = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 5 \ne 0$, per la qual cosa es tracta d'un sistema de Cramer.

Substitueixo la columna de termes independents per trobar la incògnita $x$:

$|A_x| = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = 7 - (-7) = 14$.

Per tant, aplicant la fórmula de Cramer: $x = \dfrac{|A|}{|A_x|} = \dfrac{5}{14}$».

1. a) Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per l'Hugo en la seva resolució.
2. b) Escriu la matriu de coeficients correcta $A$, calcula el seu determinant i justifica per què el sistema és compatible determinat segons el criteri de Cramer.
3. c) Aplica correctament la regla de Cramer per calcular la solució exacta i completa $(x, y)$ del sistema.

En una explotació agrícola d'hivernacles a El Ejido (Almeria), es preparen dissolucions d'adob combinant dos fertilitzants líquids, $A$ i $B$. El fertilitzant $A$ conté un $10\,\%$ de nitrogen i el fertilitzant $B$ conté un $30\,\%$. L'equip tècnic necessita obtenir exactament $100$ litres d'una barreja que contingui un $25\,\%$ de nitrogen en total. La situació es modelitza mitjançant el sistema:

$$\begin{cases} x + y = 100 \\ 0,10x + 0,30y = 25 \end{cases}$$

on $x$ representa el volum en litres del fertilitzant $A$ i $y$ el volum del fertilitzant $B$.

1. a) Estima raonadament: Sense resoldre el sistema, observa que la concentració final desitjada ($25\,\%$) està molt més propera a la del fertilitzant $B$ ($30\,\%$) que a la de l'$A$ ($10\,\%$). S'espera que el volum necessari de $B$ sigui més gran o més petit que el d'$A$? Superarà els $50$ litres? Justifica la teva resposta qualitativa abans d'operar.
2. b) Justifica que el sistema és un sistema de Cramer calculant el determinant de la matriu de coeficients.
3. c) Aplica la regla de Cramer per calcular els litres exactes de cada fertilitzant ($x$ i $y$) i contrasta si el resultat numèric coincideix amb la teva estimació prèvia.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant la regla de Cramer:

$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$

Per a fer-ho, identifica primer la matriu de coeficients $A$ i calcula el seu determinant. Posteriorment, obtén els determinants de les matrius auxiliars $A_x$, $A_y$ i $A_z$ per trobar el valor de les incògnites.

Una empresa de logística utilitza tres tipus de drons ($D_1$, $D_2$ i $D_3$) per repartir paquets en una ciutat. Es sap que:

• En una hora, 2 drons $D_1$, 1 dron $D_2$ i 3 drons $D_3$ poden repartir un total de 28 paquets.

• Si operen 1 dron $D_1$, 3 drons $D_2$ i 2 drons $D_3$, reparteixen 25 paquets.

• Amb 3 drons $D_1$, 2 drons $D_2$ i 1 dron $D_3$, la capacitat és de 27 paquets.

Planteja un sistema d'equacions on les incògnites siguin la capacitat de repartiment per hora de cada tipus de dron i resol-lo utilitzant la regla de Cramer.

Donat el sistema dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Demostra que per a $k = 2$ el sistema és un sistema de Cramer.
2. b) Resol el sistema per a aquest valor de $k = 2$ aplicant el mètode de Cramer.

Un centre de dades consumeix energia de tres fonts: solar ($x$), eòlica ($y$) i hidràulica ($z$). Els costos per MWh i la producció total han de satisfer l'equilibri financer següent:

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 5x + 10y + 15z = 950 \\ 2x - y + 3z = 110 \end{cases}$

Calcula la quantitat de MWh necessaris de cada font utilitzant la regla de Cramer. Justifica si el resultat obtingut és coherent amb el context (quantitats no negatives).

Determina la matriu inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ i utilitza-la per resoldre el sistema d'equacions $AX = B$, essent $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Relaciona aquest mètode amb la regla de Cramer comentant quin paper juga el determinant de la matriu en tots dos procediments.

Tres plans en l'espai venen donats per les equacions següents:

$\pi_1 \equiv x + y + z = 2$

$\pi_2 \equiv 2x - y + 3z = 9$

$\pi_3 \equiv 3x + 2y - z = -1$

Determina la posició relativa dels tres plans resolent el sistema mitjançant Cramer. Si el sistema té solució única, què representa geomètricament aquest punt respecte dels tres plans?

En un laboratori de química es volen fabricar 10 litres d'una solució amb una concentració específica barrejant tres productes $A, B$ i $C$ les concentracions d'alcohol dels quals són del $10\%$, $20\%$ i $40\%$ respectivament.

• Es desitja que la barreja final tingui una concentració del $25\%$.

• La quantitat de producte $C$ ha de ser igual a la suma de les quantitats de $A$ i $B$.

Planteja el sistema d'equacions i utilitza la regla de Cramer per trobar quants litres de cada producte són necessaris.

Considera el sistema d'equacions lineals homogeni següent:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \\ 2x - y + kz = 0 \end{cases}$

1. a) Determina el valor de $k$ perquè el sistema sigui compatible determinat.
2. b) Per a un valor de $k$ que faci que el sistema sigui de Cramer (per exemple, $k=1$), comprova mitjançant la regla de Cramer que l'única solució és la trivial $(0, 0, 0)$.
3. c) Explica gràficament què significa que l'única solució sigui la trivial en termes de plans que passen per l'origen.

Una empresa de telecomunicacions analitza el trànsit de dades entre tres nodes centrals ($N_1$, $N_2$ i $N_3$). Les latències mitjanes $x$, $y$ i $z$ (en mil·lisegons) satisfan el següent sistema:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 3x + y = 4 \\ 2x + z = 5 \end{cases}$$

Per configurar amb urgència el tallafoc de la xarxa, l'equip de suport tècnic únicament necessita conèixer el valor del retard $z$, sense requerir els valors d'$x$ ni d'$y$.

1. a) Comprova que es tracta d'un sistema de Cramer calculant el determinant de la matriu de coeficients $A$.
2. b) Tria el mètode: Compara l'estratègia de resoldre tot el sistema mitjançant el mètode de Gauss enfront d'emprar la regla de Cramer per a aquest propòsit concret. Explica per què la presència de coeficients nuls a les equacions i la necessitat de calcular una única incògnita fan que la regla de Cramer sigui aquí computacionalment més directa.
3. c) Aplica la regla de Cramer per calcular el valor exacte de $z$ avaluant únicament els determinants estrictament necessaris.

Un celler amb denominació d'origen La Rioja comercialitza tres tipus de vi: Criança ($x$), Reserva ($y$) i Gran Reserva ($z$). Durant una campanya de distribució nacional, les vendes a tres cadenes comercials donen les següents dades:

• La distribuïdora de Madrid adquireix $100$ ampolles de Criança, $50$ de Reserva i $20$ de Gran Reserva per un import total de $1940$ €.

• La distribuïdora de Barcelona compra $60$ ampolles de Criança, $80$ de Reserva i $40$ de Gran Reserva per un import total de $2480$ €.

• La distribuïdora de Bilbao compra $40$ ampolles de Criança, $40$ de Reserva i $60$ de Gran Reserva amb una factura de $2200$ €.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que descriu la facturació i simplifica cadascuna de les equacions dividint-la pel factor comú numèric corresponent.
2. b) Demostra que el sistema simplificat és un sistema de Cramer calculant el determinant de la matriu de coeficients. Què garanteix aquest resultat sobre els preus unitaris de les ampolles?
3. c) Resol el sistema mitjançant la regla de Cramer per determinar el preu per ampolla en euros de cada tipus de vi ($x$, $y$, $z$).

Considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

1. a) Discuteix el sistema segons els diferents valors de $k$ utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) En el cas que el sistema sigui compatible indeterminat, obtén la solució general expressada de forma paramètrica. Què representa geomètricament aquest conjunt de solucions en l'espai $\mathbb{R}^3$?
3. c) Resol el sistema per a $k = 0$ utilitzant la regla de Cramer.

Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Determina els valors del paràmetre real $m$ per als quals la matriu $A$ és invertible.
2. b) Per a $m = 0$, resol l'equació matricial $A \cdot X + B = 2B$, on $X$ és una matriu de dimensions adequades.
3. c) Planteja un sistema d'equacions que permeti calcular la primera columna de la matriu $X$ i resol-lo mitjançant la regla de Cramer.

Una empresa de logística aeroespacial dissenya tres tipus de contenidors de càrrega ($C_1, C_2, C_3$) per a una missió a Mart. Cada contenidor requereix una quantitat específica de tres materials crítics: alumini ($Al$), titani ($Ti$) i fibra de carboni ($Fc$). Les necessitats per unitat es detallen en la taula següent:

Material	$C_1$	$C_2$	$C_3$
Alumini ($kg$)	$2$	$1$	$3$
Titani ($kg$)	$1$	$2$	$1$
Fibra ($kg$)	$3$	$3$	$k$

1. a) Si es disposa d'un total de $150\,kg$ d'alumini i $120\,kg$ de titani, planteja un sistema d'equacions per determinar quants contenidors de cada tipus es poden fabricar si es consumeix tot l'estoc.
2. b) Discuteix l'existència de solucions en funció de l'estoc de fibra de carboni disponible ($S_{Fc}$) i de la constant estructural $k$.
3. c) Per a $k = 4$ i un estoc de $270\,kg$ de fibra, és possible fabricar una combinació de contenidors tal que el nombre d'unitats de $C_1$ sigui el doble que les de $C_2$? Justifica la teva resposta resolent pel mètode de Gauss o Cramer.

Sigui el sistema homogeni dependent del paràmetre $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina els valors de $a$ per als quals el sistema admet solucions diferents de la trivial.
2. b) Per als valors trobats a l'apartat anterior, descriu el conjunt de solucions (recta o pla que passa per l'origen).
3. c) Si $a = -2$, comprova que el rang de la matriu de coeficients és $2$. Escriu la solució general i identifica quants paràmetres lliures es necessiten.

Considera el sistema de 4 equacions amb 3 incògnites:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + 2z = 5 \\ x - y + 2z = a \end{cases}$$

1. a) Discuteix la compatibilitat del sistema en funció del valor de $a$.
2. b) Resol-lo en funció de $a$ utilitzant la Regla de Cramer sobre un subsistema adequat de $3 \times 3$.
3. c) Explica el significat geomètric d'aquest sistema de 4 equacions: Com estan situats els quatre plans a l'espai?

Un inversor reparteix $10.000$ euros entre tres productes financers: criptomonedes, accions tecnològiques i bons de l'Estat. Anomenem $x$, $y$ i $z$ els euros invertits en criptomonedes, accions i bons, respectivament.

• Al cap d'un any, les criptomonedes han pujat un $20\%$, les accions han baixat un $5\%$ i els bons han rendit un $3\%$. El benefici total ha estat de $540$ euros.

• L'inversor observa que, si hagués invertit en accions tecnològiques una quantitat igual a la suma del que ha invertit en criptomonedes i en bons (deixant $x$ i $z$ com estan), el seu benefici total hauria estat de $250$ euros (mantenint les mateixes rendibilitats).

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals per determinar quant va invertir en cada producte.

1. b) Resol el sistema utilitzant el mètode de la matriu inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

1. c) Què passaria si la rendibilitat dels bons fos del $5\%$ en lloc del $3\%$? Analitza si el sistema continuaria tenint una solució única.

Donat el sistema d'equacions:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + az = b \end{cases}$$

1. a) Troba la relació que hi ha d'haver entre $a$ i $b$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat.
2. b) Si $a = 1$ i $b = 3$, raona si és possible trobar una solució del sistema tal que la suma dels seus components sigui zero ($x + y + z = 0$). En cas afirmatiu, calcula-la fent servir Cramer.
3. c) Per a $a=1$ i $b=0$, determina el rang de la matriu ampliada i descriu la posició relativa dels tres plans.

Demostra les propietats teòriques següents sobre sistemes d'equacions:

1. a) Si $A$ és una matriu quadrada d'ordre 3 tal que $\det(A) = 5$, i considerem el sistema $AX = B$. Si canviem la columna de termes independents $B$ pel seu doble $2B$, quina relació hi ha entre la solució del sistema original i la del nou sistema? Justifica-ho mitjançant la regla de Cramer.
2. b) Si un sistema de 3 equacions i 3 incògnites té $(1, 0, 1)$ i $(0, 1, 2)$ com a solucions, prova raonadament que el sistema ha de ser compatible indeterminat i troba una tercera solució diferent de les anteriors.
3. c) És possible que un sistema d'equacions lineals tingui exactament dues solucions diferents? Raona la resposta basant-te en l'estructura de la solució general d'un sistema compatible indeterminat.

Problema invers: Es vol dissenyar un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites dependent d'un paràmetre real $m$, de la forma $A(m) \cdot X = B$, que compleixi simultàniament les següents especificacions:

1. El sistema ha de ser un sistema de Cramer per a tots els valors reals d'$m$ excepte per a $m = 2$ i $m = -2$.

2. Per a qualsevol valor d'$m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, el valor de la incògnita $z$ en la solució ha de ser idènticament nul ($z = 0$).

3. Per al valor particular $m = 1$, l'única solució del sistema ha de ser exactament $(x, y, z) = (1, -1, 0)$.

1. a) Dissenya raonadament una matriu de coeficients $A(m)$ i un vector de termes independents $B$ que satisfacin aquestes tres condicions. Justifica com has seleccionat els elements d'$A(m)$ perquè el seu determinant s'anul·li únicament en $m = \pm 2$.
2. b) Demostra, a partir de les propietats dels determinants, que la matriu auxiliar $A_z$ de la teva construcció compleix $|A_z| = 0$ amb independència del valor d'$m$, garantint que $z = 0$ sempre que el sistema sigui de Cramer.
3. c) Substitueix $m = 1$ en el teu sistema i calcula mitjançant determinants els valors de $|A|$ i $|A_x|$ per verificar que la regla de Cramer condueix efectivament a $x = 1$.

Durant una classe de Matemàtiques II, la Sara afirma amb rotunditat:

«Si en un sistema de tres equacions amb tres incògnites el determinant de la matriu de coeficients és zero ($|A| = 0$) i, al mateix temps, els tres determinants associats a les incògnites també s'anul·len ($|A_x| = 0$, $|A_y| = 0$ i $|A_z| = 0$), el sistema mai no pot ser incompatible; forçosament ha de ser compatible indeterminat».

1. a) Error d'altri i contraexemple: Demostra de manera raonada que l'afirmació de la Sara és FALSA. Per a fer-ho, construeix un contraexemple numèric senzill (un sistema $3 \times 3$ que representi tres plans paral·lels no coincidents) on es compleixi $|A| = |A_x| = |A_y| = |A_z| = 0$ i demostra, aplicant el Teorema de Rouché-Frobenius, que aquest sistema és incompatible.
2. b) Explica algebraicament per què el càlcul exclusiu de determinants d'ordre 3 resulta insuficient per determinar la compatibilitat d'un sistema quan el rang de la matriu de coeficients és 1.
3. c) Adaptació de Cramer a sistemes indeterminats: Si un sistema $3 \times 3$ és compatible indeterminat de rang 2, descriu el procediment per seleccionar un menor d'ordre 2 no nul i aplicar la regla de Cramer per expressar les solucions en funció d'un paràmetre. Il·lustra la teva explicació resolent pas a pas el següent sistema:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y - 2z = 2 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$$