Exercicis: Tipus de funcions

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, realitza un estudi bàsic del seu comportament seguint aquests passos:

1. a) Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades.
2. b) Troba els intervals de creixement i decreixement utilitzant la primera derivada $f'(x)$.
3. c) Determina les coordenades $(x, y)$ dels seus màxims i mínims relatius.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Per comprendre'n l'estructura abans de representar-la, analitza'n els elements principals. La figura mostra part de la seva gràfica; les marques dels eixos estan separades 1 unitat.

1. a) Determina'n el domini de definició.

1. b) Calcula les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.

1. c) Estudia la simetria de la funció. És parell, senar o no presenta simetria?

Les funcions amb valors absoluts solen presentar punts on la gràfica canvia bruscament de direcció. Sigui la funció $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos.

1. b) Indica el punt de la gràfica on la funció és contínua però no és derivable (punt angulós).

1. c) Esbossa la seva gràfica indicant el vèrtex.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El domini d'una funció és fonamental per a la seva representació. Troba el domini de les funcions transcendents següents:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explica breument per què hi ha restriccions en cada cas.

Un biòleg estudia l'evolució d'una població de bacteris en un entorn controlat. La quantitat de bacteris (en milers) ve donada per la funció $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, on $t$ és el temps en hores des de l'inici de l'experiment ($t \geq 0$). La figura mostra la gràfica de $P(t)$.

1. a) Quina població hi ha a l'inici de l'experiment ($t = 0$)?

1. b) Quin és el límit de la població quan el temps creix indefinidament? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes.

1. c) La població augmenta o disminueix amb el temps? Justifica la teva resposta utilitzant la derivada $P'(t)$.

Donada la funció $f(x) = x^4 - 2x^2$, estudia la seva curvatura realitzant els passos següents:

1. a) Calcula la segona derivada $f''(x)$.
2. b) Troba els intervals de concavitat ($\cup$) i convexitat ($\cap$).
3. c) Troba els punts d'inflexió de la funció.

Determina la paritat de les funcions següents justificant matemàticament si són parells ($f(x) = f(-x)$), senars ($f(-x) = -f(x)$) o cap de les anteriors:

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$ (les rectes discontínues són les asímptotes de la funció; usa les marques dels eixos, una per unitat) i extreu la informació sol·licitada:

1. a) Indica els valors de $x$ on es troben les asímptotes verticals.

1. b) Estima els intervals on la funció és creixent.

1. c) Identifica el valor del $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ observant el comportament de la gràfica.

En Marcos ha de calcular els extrems relatius de la funció amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 9|$. Al seu examen escriu el següent:

«Com que el valor absolut no canvia el grau del polinomi, derivo directament el seu argument per obtenir el pendent: $f'(x) = 2x$. Igualo a zero i obtinc $2x = 0 \implies x = 0$. Substituint, $f(0) = |-9| = 9$. Com que $f''(0) = 2 > 0$, concloc que la funció té un únic extrem relatiu: un mínim al punt $(0, 9)$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals greus comesos per en Marcos en ignorar la definició del valor absolut i la derivabilitat de la funció.
2. b) Escriu $f(x)$ correctament com una funció definida a trossos segons el signe del seu argument.
3. c) Troba tots els extrems relatius reals de $f(x)$, classificant-los raonadament en màxims o mínims i distingint quins corresponen a punts suaus ($f'(x) = 0$) i quins a punts angulosos o pics on la funció no és derivable.

Per estudiar les asímptotes i la posició relativa de la corba de la funció racional $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode A (Alba): Realitzar la divisió polinòmica entre numerador i denominador per descompondre la funció en la forma $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Mètode B (Bruno): Aplicar els límits clàssics $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Compara ambdós mètodes i justifica per què el de l'Alba resulta més eficient en aquest cas per determinar simultàniament l'equació de l'asímptota obliqua i la posició de la gràfica respecte d'aquesta a $+\infty$ i $-\infty$ sense necessitat de calcular límits addicionals.
2. b) Aplica el mètode de l'Alba per trobar la recta asímptota i raona analíticament si la corba se situa per sobre o per sota d'aquesta asímptota en cadascun dels dos infinits.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, fes un estudi complet per a la seva representació gràfica seguint aquests passos:

1. a) Troba el domini de definició i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

1. b) Estudia l'existència de simetries en la funció.

1. c) Determina les asímptotes verticals, horitzontals i la posició de la corba respecte a elles.

1. d) Calcula els intervals de creixement i decreixement, i determina els seus màxims i mínims relatius.

1. e) Esbossa la gràfica de la funció basant-te en els resultats anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Es demana:

1. Trobar les equacions de les seves asímptotes. En cas que existeixi una asímptota obliqua, determina la posició de la corba respecte d'aquesta quan $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.

2. Trobar els intervals de concavitat i convexitat, i comprovar si existeixen punts d'inflexió.

3. Utilitzar la informació del creixement i els extrems per dibuixar un esquema precís de la gràfica.

Un estudi biològic sobre una població d'insectes en un entorn controlat segueix la funció $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, on $P$ és la població en milers i $t$ és el temps en mesos des de l'inici de l'experiment ($t \geq 0$).

1. Determina en quin moment la població arriba al seu valor màxim i quin és aquest valor.

2. Cap a quin valor tendeix la població si l'experiment es perllongués indefinidament? Justifica la teva resposta mitjançant el càlcul de límits.

3. Estudia la curvatura de la funció per identificar en quin moment la disminució de la població comença a desaccelerar-se (punt d'inflexió).

Donada la funció amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos.

1. b) Estudia la derivabilitat de la funció en els punts $x = 1$ i $x = 3$. Què passa geomètricament en aquests punts?

1. c) Troba els extrems relatius de la funció i representa-la gràficament.

Sigui la funció $f(x) = (x - 2)e^x$. Realitza un estudi detallat d'aquesta per representar-la gràficament, incloent-hi:

1. Domini i punts de tall amb els eixos.

2. Asímptotes horitzontals i comportament a l'infinit.

3. Intervals de monotonia i extrems relatius.

4. Punts d'inflexió i curvatura.

Estudia i representa la funció logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. En la teva anàlisi has d'incloure:

1. Demostració que la funció és parell. Com afecta això a la seva representació?

2. Determinació dels intervals de creixement i decreixement.

3. Estudi de la curvatura i cerca de punts d'inflexió.

4. Té la funció asímptotes de algun tipus? Justifica la teva resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estudia la continuïtat i derivabilitat de la funció a $x = 0$.

2. Troba les asímptotes de la funció en el seu domini de definició.

3. Calcula els mínims i màxims locals de cada tram en el seu interval corresponent.

4. Esboça la gràfica de la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tingui un punt d'inflexió a $x = 1$ i el pendent de la recta tangent en aquest punt sigui $1$. Un cop trobats els paràmetres:

1. a) Estudia la monotonia de la funció resultant.

1. b) Determina si té algun màxim o mínim relatiu.

1. c) Justifica si la funció té asímptotes.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$, respon a les qüestions següents combinant deducció lògica i càlcul formal:

1. Fase d'estimació (sense derivar ni calcular límits formals encara):

a) A partir del domini de la funció logarítmica i sabent que $\ln(x) \to -\infty$ quan $x \to 0^+$, estima el comportament de la corba a prop de l'eix $Y$. Hi haurà asímptota vertical? Cap a on es dispararà la branca?

b) Els apunts destaquen que el logaritme «creix molt més lentament que qualsevol polinomi». Basant-te en això, estima a quin valor s'aproximarà $f(x)$ quan $x \to +\infty$ i dedueix si existirà asímptota horitzontal.

c) Sabent que $f(1) = 0$, que $f(x) < 0$ per a $x \in (0, 1)$, i que per a $x > 1$ la funció és positiva però s'ha d'aproximar a l'asímptota horitzontal quan $x \to +\infty$, dedueix si obligatòriament ha d'existir almenys un màxim relatiu i estima en quin interval de $x$ s'hauria de trobar.

1. Fase de comprovació:

d) Confirma analíticament les teves estimacions calculant $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calcula la derivada $f'(x)$, determina les coordenades exactes $(x, y)$ del seu extrem relatiu i comprova si la teva deducció prèvia sobre l'existència i posició del màxim era correcta.

Durant un episodi hivernal d'inversió tèrmica a Madrid, la concentració de diòxid de nitrogen ($NO_2$) a l'aire, mesurada en micrograms per metre cúbic ($\mu\text{g/m}^3$), es monitora durant una jornada completa ($t \in [0, 24]$ hores). El departament de qualitat de l'aire modelitza l'evolució mitjançant una funció a trossos que enllaça la fase d'acumulació matinal pel trànsit amb la dispersió vespertina:

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Comprova si el model garanteix la continuïtat en el canvi de tram ($t = 12$). A continuació, estudia la derivabilitat en aquest punt i raona si la gràfica presenta un punt angulós o una transició suau. Interpreta el significat físic d'aquest fet.
2. b) Localitza en quin moment del dia s'assoleix la màxima concentració de contaminant i calcula'n el valor exacte.
3. c) Si el model de dispersió exponencial continués indefinidament ($t \to +\infty$), tindria asímptota horitzontal? Justifica analíticament per què el terme exponencial col·lapsa cap a zero i quin seria el nivell residual teòric de contaminació segons aquesta asímptota.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Fes un estudi complet de la funció seguint aquests passos:

1. Troba els valors d'$a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua a $x = -2$ i tingui un extrem relatiu a $x = -1$.

2. Per als valors trobats, estudia la derivabilitat a $x = -2$ i $x = 0$.

3. Calcula les asímptotes de la funció en tot el seu domini.

4. Determina els intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i mínims relatius a l'interval $(-\infty, 0)$.

Sigui la funció racional definida per:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que la recta $y = x + 2$ és una asímptota obliqua de la funció i que la seva gràfica passa pel punt $(0, 0)$. Un cop calculats els paràmetres:

1. Troba el domini i les asímptotes verticals, estudiant la posició de la corba respecte d'aquestes.

2. Troba els punts de tall amb els eixos.

3. Estudia l'existència de punts d'inflexió. És possible que aquesta funció no tingui cap punt d'inflexió en el seu domini? Raona la resposta.

Un satèl·lit de comunicacions descriu una trajectòria la intensitat de senyal rebuda de la qual a la Terra ve donada per la funció:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

on $t$ representa el temps en hores des de l'inici del seguiment ($t \ge 0$).

1. Determina el domini de la funció i identifica els instants en què el senyal s'interromp per complet.

2. Troba les asímptotes verticals i explica el seu significat en aquest context.

3. Calcula els intervals de creixement i decreixement de la intensitat del senyal.

4. Determina en quin moment el senyal arriba al seu valor màxim relatiu i fes un esborrany de la gràfica de la trajectòria de la intensitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció:

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut.

2. Estudia la continuïtat i derivabilitat de la funció en tot el seu domini, prestant una atenció especial al punt $x = 0$.

3. Troba les asímptotes de la gràfica de $f$.

4. Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius.

5. Fes un esborrany de la gràfica de la funció indicant clarament els punts on la derivada no existeix si n'hi hagués.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcula els punts de tall amb els eixos i les asímptotes de la funció.

2. Determina els intervals de monotonia i els extrems locals (màxims i mínims).

3. Troba els intervals de curvatura i els punts d'inflexió.

4. Sabent que $e^{-2} \approx 0,135$ i $e^0 = 1$, fes un esborrany de la gràfica de la funció.

5. Calcula l'àrea del triangle format per l'origen de coordenades i els punts de la gràfica on la tangent és horitzontal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa gràficament la funció de «tipus mixt»:

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

Per a això, analitza detalladament:

1. a) El domini de definició i el comportament de la funció prop de $x = 0$, calculant els límits laterals $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ i $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) Les asímptotes verticals i obliqües.

1. c) L'existència d'extrems relatius utilitzant la primera derivada.

1. d) La concavitat i convexitat a través de l'estudi del signe de $f''(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol dissenyar el perfil d'una rampa per a un skatepark. El perfil lateral segueix la corba de la funció:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

per a $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Es demana:

1. Demostra que la funció és senar. Què implica això per a la seva representació gràfica?

2. Defineix el valor de $f(0)$ de manera que la funció sigui contínua a $x=0$. Per fer-ho, calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$ (pots fer servir la regla de l'Hôpital).

3. És la funció derivable a $x=0$ amb la definició anterior? Justifica la resposta.

4. Determina els punts de la rampa on el pendent és nul.

5. Estudia si existeixen asímptotes horitzontals quan el domini s'estén a tota la recta real.

Dibuixa l'esbós de la gràfica d'una funció contínua $f(x)$ que compleixi simultàniament les vuit condicions següents:

• El seu domini és $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Té una asímptota vertical a $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Té una asímptota obliqua $y = x$ quan $x \to +\infty$.

• Té una asímptota horitzontal $y = -2$ quan $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en l'interval $(-\infty, -2)$ i $f'(x) > 0$ en $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un mínim relatiu en el punt $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ en $(-3, 1)$ i $f''(x) < 0$ en $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Talla l'eix $OX$ únicament en els punts $x = 0$ i $x = 2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol dissenyar l'expressió analítica d'una funció racional irreductible $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaci simultàniament les quatre condicions geomètriques i analítiques següents:

1. El seu domini és tot $\mathbb{R}$ (no té cap asímptota vertical).

2. És simètrica respecte a l'origen de coordenades (funció senar).

3. La recta $y = 0$ és la seva asímptota horitzontal tant a $+\infty$ com a $-\infty$.

4. Assoleix un extrem relatiu al punt $(2, 4)$.

1. a) Justifica teòricament per què una funció polinòmica mai no podria complir alhora les condicions 1, 3 i 4. Per a això, recorda com es comporta un polinomi a l'infinit: si no és constant, el seu límit quan $x\to\pm\infty$ és $+\infty$ o $-\infty$ (ho determina el terme de grau més gran); i si és constant, la condició 3 obliga que sigui el polinomi nul.

1. b) Analitza raonadament quins graus mínims han de tenir els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$, i quina paritat han de tenir els exponents de cadascun, per garantir que es compleixin les condicions 1, 2 i 3.

1. c) Dedueix l'expressió algebraica exacta de la funció més simple que verifiqui totes les condicions donades.

1. d) Demostra mitjançant la derivada primera si el punt $(2, 4)$ és un màxim o un mínim relatiu i determina, per pura simetria i sense fer nous càlculs de derivades, les coordenades i la naturalesa de l'altre extrem relatiu de la funció.

Per analitzar els extrems relatius i el comportament asimptòtic de la funció $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-x}$, dos estudiants de 2n de Batxillerat plantegen mètodes diferents:

• Camí A (Descomposició analítica a trossos): Estudiar el signe de l'argument $x^2 - 4$, reescriure $f(x)$ com una funció a trossos eliminant les barres de valor absolut, calcular la derivada de cada tram per separat i analitzar els punts d'empalmament mitjançant límits laterals de les derivades.

• Camí B (Transformació geomètrica sobre funció auxiliar): Estudiar completament la funció derivable auxiliar $g(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{-x}$ (talls amb els eixos, extrems igualant una única derivada a zero i asímptotes) i, posteriorment, obtenir la gràfica i propietats de $f(x) = |g(x)|$ mitjançant una reflexió respecte a l'eix $X$ de les zones on $g(x) < 0$.

1. a) Compara críticament ambdós camins. Justifica per què el Camí B resulta conceptualment més potent per identificar els punts angulosos (pics) i deduir la nova posició i classificació dels extrems sense derivar funcions a trossos.
2. b) Seguint el Camí B, calcula la derivada de la funció auxiliar $g(x)$ i troba les abscisses exactes dels seus extrems relatius.
3. c) A partir del comportament de $g(x)$, determina raonadament per a la funció original $f(x)$:

• Les coordenades de tots els seus extrems relatius, indicant expressament quins són punts suaus ($f'(x) = 0$) i quins són pics on no existeix la derivada.

• Les asímptotes horitzontals a $+\infty$ i a $-\infty$, justificant per què la funció col·lapsa cap a zero únicament en un dels dos sentits d'infinit.

Repte del tema. Com respira el consum energètic del nostre país? La teva missió és modelitzar i analitzar analíticament la corba de demanda elèctrica diària d'una jornada real.

1. Presa de dades: Entra al web oficial de Red Eléctrica de España (REE) i recopila la demanda peninsular real (en GW) hora a hora d'ahir, per a $t \in [0, 24]$.

2. Modelització i classificació: Introdueix els parells ordenats a GeoGebra i proposa una funció $f(t)$ que aproximi el comportament global (un polinomi de grau 3 o 4, o una funció racional). Classifica el tipus de funció triat i justifica la teva decisió.

3. Estudi analític: Extreu analíticament tota la informació de $f(t)$: determina domini, asímptotes (si existeixen), intervals de monotonia i extrems mitjançant $f'(t)=0$, així com curvatura i punts d'inflexió amb $f''(t)=0$.

4. Informe de conclusions: Elabora un breu informe (una pàgina) amb la gràfica superposada a les dades, contrastant els teus màxims i mínims analítics amb els pics reals de consum (hores punta i vall).

Es valorarà:

• Rigor en l'estudi analític de la funció (derivades, monotonia, curvatura i asímptotes).

• Justificació adequada del tipus de funció i ajust a GeoGebra.

• Coherència en la interpretació de l'informe en contrastar el model amb les dades reals.