Tipos de funciones

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, realiza un estudio básico de su comportamiento siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
2. b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento utilizando la primera derivada $f'(x)$.
3. c) Determina las coordenadas $(x, y)$ de sus máximos y mínimos relativos.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tenga un punto de inflexión en $x = 1$ y la pendiente de la recta tangente en ese punto sea $1$. Una vez hallados los parámetros:

1. Estudia la monotonía de la función resultante.

2. Determina si tiene algún máximo o mínimo relativo.

3. Justifica si la función tiene asíntotas.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Para comprender su estructura antes de representarla, analiza sus elementos principales:

1. a) Determina su dominio de definición.
2. b) Calcula las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
3. c) Estudia la simetría de la función. ¿Es par, impar o no presenta simetría?

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, realiza un estudio completo para su representación gráfica siguiendo estos pasos:

1. Halla el dominio de definición y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

2. Estudia la existencia de simetrías en la función.

3. Determina las asíntotas verticales, horizontales y la posición de la curva respecto a ellas.

4. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y determina sus máximos y mínimos relativos.

5. Esboza la gráfica de la función basándote en los resultados anteriores.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Se pide:

1. Hallar las ecuaciones de sus asíntotas. En caso de existir una asíntota oblicua, determina la posición de la curva respecto a ella cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

2. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad, y comprobar si existen puntos de inflexión.

3. Utilizar la información del crecimiento y los extremos para dibujar un esquema preciso de la gráfica.

Las funciones con valores absolutos suelen presentar puntos donde la gráfica cambia bruscamente de dirección. Sea la función $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.
2. b) Indica el punto de la gráfica donde la función es continua pero no es derivable (punto anguloso).
3. c) Esboza su gráfica indicando el vértice.

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Estudia la derivabilidad de la función en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. ¿Qué ocurre geométricamente en esos puntos?

3. Halla los extremos relativos de la función y represéntala gráficamente.

El dominio de una función es fundamental para su representación. Halla el dominio de las siguientes funciones trascendentes:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explica brevemente por qué existen restricciones en cada caso.

Un biólogo estudia la evolución de una población de bacterias en un entorno controlado. La cantidad de bacterias (en miles) viene dada por la función $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

1. a) ¿Qué población hay al inicio del experimento ($t = 0$)?
2. b) ¿Cuál es el límite de la población cuando el tiempo crece indefinidamente? Interpreta el resultado en términos de asíntotas.
3. c) ¿La población aumenta o disminuye con el tiempo? Justifica tu respuesta usando la derivada $P'(t)$.

Sea la función $f(x) = (x - 2)e^x$. Realiza un estudio detallado de la misma para representarla gráficamente, incluyendo:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes.

2. Asíntotas horizontales y comportamiento en el infinito.

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos.

4. Puntos de inflexión y curvatura.

Estudia y representa la función logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. En tu análisis debes incluir:

1. Demostración de que la función es par. ¿Cómo afecta esto a su representación?

2. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Estudio de la curvatura y búsqueda de puntos de inflexión.

4. ¿Tiene la función asíntotas de algún tipo? Justifica tu respuesta.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función en $x = 0$.

2. Halla las asíntotas de la función en su dominio de definición.

3. Calcula los mínimos y máximos locales de cada tramo en su intervalo correspondiente.

4. Esboza la gráfica de la función.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Realiza un estudio completo de la función siguiendo estos pasos:

1. Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $x = -2$ y tenga un extremo relativo en $x = -1$.

2. Para los valores hallados, estudia la derivabilidad en $x = -2$ y $x = 0$.

3. Calcula las asíntotas de la función en todo su dominio.

4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos en el intervalo $(-\infty, 0)$.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^2$, estudia su curvatura realizando los siguientes pasos:

1. a) Calcula la segunda derivada $f''(x)$.
2. b) Encuentra los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).
3. c) Halla los puntos de inflexión de la función.

Considera la función $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función.

2. Determina los intervalos de monotonía y los extremos locales (máximos y mínimos).

3. Halla los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión.

4. Sabiendo que $e^{-2} \approx 0,135$ y $e^0 = 1$, esboza la gráfica de la función.

5. Calcula el área del triángulo formado por el origen de coordenadas y los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal.

Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes ocho condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Tiene una asíntota vertical en $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Tiene una asíntota oblicua $y = x$ cuando $x \to +\infty$.

• Tiene una asíntota horizontal $y = -2$ cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en el intervalo $(-\infty, -2)$ y $f'(x) > 0$ en $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un mínimo relativo en el punto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ en $(-\infty, 1)$ y $f''(x) < 0$ en $(1, +\infty)$.

• Corta al eje $OX$ únicamente en los puntos $x = -4$ y $x = 2$.