Números reales (repaso)

Clasifica los siguientes números reales indicando a cuáles de los conjuntos numéricos pertenecen: naturales ($\mathbb{N}$), enteros ($\mathbb{Z}$), racionales ($\mathbb{Q}$) o irracionales ($\mathbb{I}$). Razona brevemente tu respuesta para los números decimales y las raíces:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias y raíces, dejando el resultado en forma de potencia de exponente fraccionario:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

Utilizando las propiedades de los logaritmos, desarrolla la siguiente expresión en términos de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

$$L = \log \left( \frac{100 \cdot x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$$

A continuación, si sabemos que $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ y $\log z = 0,8$, calcula el valor numérico de $L$.

Halla los valores de $x$ que cumplen las siguientes igualdades y desigualdades con valor absoluto. Expresa el resultado como un intervalo:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un laboratorio de biotecnología mantiene una muestra de enzimas en una cámara climática. Para que las enzimas no se desnaturalicen, la temperatura $T$ (en grados Celsius) debe satisfacer la siguiente condición:

$$|2T - 15| \le 25$$

Resuelve la inecuación y determina el rango de temperaturas (intervalo) en el que pueden trabajar los investigadores sin dañar la muestra.

Halla el conjunto de valores reales que satisfacen la siguiente inecuación con doble valor absoluto:

$$|x - 2| + |x + 3| < 7$$

Representa la solución en la recta real y exprésala mediante un único intervalo abierto.

Expresa los siguientes entornos en forma de intervalo abierto y represéntalos gráficamente:

• $a) \ E(2, 3)$ (Entorno de centro 2 y radio 3)

• $b) \ E(-1; 0,5)$

• $c) \ E^*(0, 4)$ (Entorno reducido de centro 0 y radio 4)

En el diseño de una pieza de alta precisión para un motor aeroespacial, el radio de un cilindro, denotado por $x$, debe cumplir que su diferencia con el radio nominal de $5\text{ cm}$ sea tan pequeña que el error en el área de su sección transversal, $A(x) = \pi x^2$, no supere los $0,01\text{ cm}^2$.

Utilizando la definición formal de entorno reducido $E^*(a, \delta)$, encuentra el valor máximo de la tolerancia $\delta$ que puede tener el radio $x$ para asegurar que el área se mantenga en el entorno $E(25\pi, 0,01)$. Expresa el resultado de $\delta$ en función de $\pi$ de forma exacta.

Demuestra, utilizando exclusivamente la definición métrica de límite ($\varepsilon - \delta$), que:

$$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x) = 3$$

Para ello, dado un $\varepsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\varepsilon$ (puedes suponer una acotación inicial para $\delta$, por ejemplo $\delta \leq 1$).

Un sensor de temperatura en un servidor de datos indica que la CPU está a $42,6^{\circ}C$. Si el valor real medido con un termómetro de precisión es de $42,45^{\circ}C$, calcula:

• $a)$ El error absoluto de la medición del sensor.

• $b)$ El error relativo cometido, expresado en porcentaje.

En astrofísica, la distancia entre dos cuerpos celestes se mide a menudo en unidades astronómicas (UA). Supongamos que se han realizado dos mediciones de la distancia a un exoplaneta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km y $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido si tomamos la primera medida como aproximación de la segunda.

b) Expresa el resultado del error relativo en porcentaje y comenta si la aproximación es aceptable para un entorno científico.