Exercicis: Nombres reals

Classifica els nombres reals següents indicant a quins dels conjunts numèrics pertanyen: naturals ($\mathbb{N}$), enters ($\mathbb{Z}$), racionals ($\mathbb{Q}$) o irracionals ($\mathbb{I}$). Raona breument la teva resposta per als nombres decimals i les arrels:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Representa en la recta real els intervals i semirectes següents, i expressa'ls utilitzant la notació de conjunts (usant desigualtats). Per a $I_3$, que ja apareix amb desigualtats, escriu-lo també en notació d'interval.

• $I_1 = (-3, 2]$

• $I_2 = [0, +\infty)$

• $I_3 = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 4\}$

Calcula la distància entre els parells de punts següents de la recta real utilitzant el concepte de valor absolut:

• $a)$ $x = 5$ i $y = -2$

• $b)$ $x = -8$ i $y = -3$

• $c)$ $x = \frac{1}{2}$ i $y = \frac{3}{4}$

Expressa els entorns següents en forma d'interval obert i representa'ls gràficament sobre la recta real:

1. a) $E(2; 3)$ (entorn de centre 2 i radi 3)

1. b) $E(-1; 0,5)$ (entorn de centre $-1$ i radi $0,5$)

1. c) $E^*(0; 4)$ (entorn reduït de centre 0 i radi 4)

Troba els valors de $x$ que compleixen les igualtats i desigualtats següents amb valor absolut. Expressa el resultat com un interval:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un sensor de temperatura en un servidor de dades indica que la CPU està a $42,6^{\circ}C$. Si el valor real mesurat amb un termòmetre de precisió és de $42,45^{\circ}C$, calcula:

• $a)$ L'error absolut de la mesura del sensor.

• $b)$ L'error relatiu comès, expressat en percentatge.

Simplifica les expressions següents utilitzant les propietats de les potències i arrels, deixant el resultat en forma de potència d'exponent fraccionari:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

En una botiga de components electrònics, el preu d'un model de dron de curses fluctua segons l'oferta del mercat. Se sap que el preu $p$, en euros, compleix la condició $|p - 150| \leq 20$.

1. a) Determina l'interval de preus possibles per a aquest dron.

1. b) Quin és el preu mínim i el preu màxim que podria pagar un usuari?

Mateo afirma a classe de 2n de Batxillerat el següent:

«Atès que $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, podem assegurar que $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3$ per a qualsevol valor de $x \in \mathbb{R}$. Per exemple, si avaluem en $x = 1$, tenim $\sqrt{1 - 6 + 9} = 1 - 3$, cosa que demostra que $\sqrt{4} = -2$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per Mateo (un de relatiu a la definició aritmètica de l'arrel quadrada a $\mathbb{R}$ i un altre sobre la simplificació algebraica de $\sqrt{A^2}$).
2. b) Corregeix la igualtat expressant el resultat correcte de $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ mitjançant valor absolut, i desenvolupa'l com una funció definida a trossos segons el signe del radicand.
3. c) Comprova la teva correcció avaluant l'expressió en $x = 1$ i en $x = 5$, verificant que no sorgeix cap contradicció.

A partir dels següents conjunts de nombres reals, fes el procés invers per construir les seves expressions analítiques:

1. a) Escriu el conjunt de nombres la distància dels quals al punt central $-1,5$ a la recta real és estrictament menor que $2,5$ utilitzant:

1. Una desigualtat amb valor absolut.

2. La notació d'entorn simètric $E(a, r)$.

3. Un interval acotat a $\mathbb{R}$.

1. b) Donada la unió de semirrectes $(-\infty; -2] \cup [8; +\infty)$, determina el seu centre de simetria i el seu radi d'exclusió. A partir d'aquests, escriu una única inequació amb valor absolut la solució de la qual sigui exactament aquest conjunt.
2. c) Donat el conjunt $(-3; 5) \setminus \{1\}$, expressa'l en la notació d'entorn reduït $E^*(a, r)$ i indica quin significat té excloure el centre de cara a la definició formal de límit en un punt.

En el procés de fabricació de microxips per a satèl·lits, la longitud d'una pista de coure ha de ser de $12,5$ micres. Per raons tèrmiques, s'admet un marge d'error (tolerància) de manera que la diferència entre la longitud real $x$ i la teòrica sigui, com a màxim, de $0,05$ micres.

a) Expressa aquesta condició mitjançant una desigualtat amb valor absolut.

b) Determina l'interval de valors acceptables per a la longitud de la pista utilitzant la notació d'intervals.

c) Representa gràficament aquest interval a la recta real.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un laboratori de biotecnologia manté una mostra d'enzims en una cambra climàtica. Perquè els enzims no es desnaturalitzin, la temperatura $T$ (en graus Celsius) ha de satisfer la condició següent:

Resol la inequació i determina el rang de temperatures (interval) en què poden treballar els investigadors sense danyar la mostra.

Per determinar el domini d'una funció futura, necessitem resoldre la inequació de segon grau següent:

a) Troba les arrels del polinomi associat.

b) Determina el conjunt solució en forma d'interval.

c) Justifica el resultat analitzant el signe del polinomi en cada tram de la recta real.

En astrofísica, la distància entre dos cossos celestes es mesura sovint en unitats astronòmiques (UA). Suposem que s'han realitzat dues mesures de la distància a un exoplaneta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km i $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès si prenem la primera mesura com a aproximació de la segona.

b) Expressa el resultat de l'error relatiu en percentatge i comenta si l'aproximació és acceptable per a un entorn científic.

Simplifica l'expressió següent amb radicals i potències, expressant el resultat final com una única potència de base $a$ i exponent racional:

Dada: Suposa que $a > 0$.

El disseny d'una peça metàl·lica triangular requereix que els seus costats mesurin $\sqrt{18}$ cm, $\sqrt{50}$ cm i $\sqrt{98}$ cm.

a) Simplifica cadascun dels radicals extreient factors.

b) Calcula el perímetre exacte de la peça expressant-lo com un únic radical.

c) Si el material utilitzat té un cost de $2,5$ € per cada centímetre de perímetre, calcula el cost total aproximant a dues xifres decimals.

Utilitzant les propietats dels logaritmes, desenvolupa l'expressió següent en termes de $\log x$, $\log y$ i $\log z$:

A continuació, si sabem que $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ i $\log z = 0,8$, calcula el valor numèric de $L$.

Dats els subconjunts següents de la recta real:

$A = \{ x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 3 \}$

$B = [ -1, 4 ]$

a) Expressa el conjunt $A$ mitjançant un interval.

b) Calcula i expressa mitjançant intervals el conjunt resultant de la intersecció $A \cap B$.

c) Calcula i expressa mitjançant intervals el conjunt resultant de la unió $A \cup B$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) monitora les condicions extremes en dos observatoris espanyols molt diferents. A l'estació d'alta muntanya del Puerto de Navacerrada (Madrid), el termòmetre registra una temperatura mínima de $-4,0\text{ }^\circ\text{C}$ amb una cota d'error absolut del sensor de $0,2\text{ }^\circ\text{C}$. Per la seva banda, l'estació de Sevilla-Aeropuerto registra en època estival una temperatura màxima de $40,0\text{ }^\circ\text{C}$ amb una cota d'error absolut de $0,8\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Modelitza l'interval de temperatures reals admissibles per a cada observatori mitjançant una inequació amb valor absolut i mitjançant la notació d'entorn simètric $E(a, r)$.
2. b) Calcula la cota d'error relatiu percentual per a cadascuna de les dues mesurades.
3. c) Interpreta els resultats: encara que el sensor de Navacerrada té una cota d'error absolut quatre vegades menor que el de Sevilla ($0,2\text{ }^\circ\text{C}$ enfront de $0,8\text{ }^\circ\text{C}$), quina de les dues mesurades és de millor qualitat relativa? Justifica per què l'error relatiu és el criteri objectiu per comparar precisions entre magnituds de diferent escala.

Es considera el nombre real $K = \log_3(80) - \sqrt{17} + \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$.

1. a) Estima: Sense recórrer a la calculadora:

1. Acota $\log_3(80)$ entre dos enters consecutius justificant la teva resposta mitjançant les potències de base $3$.

2. Acota $\sqrt{17}$ entre dos enters consecutius comparant amb quadrats perfectes.

3. Acota $\log_2\left(\frac{1}{10}\right)$ entre dos enters consecutius sabent que $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ i utilitzant potències de base $2$.

A partir d'aquestes tres acotacions, obtén un interval per al valor de $K$ i prediu de manera raonada si el seu signe ha de ser positiu o negatiu.

1. b) Comprova i afina: Sabent que $80$ és summament pròxim a $81$ i que $17$ és summament pròxim a $16$, aproxima mentalment el valor de la diferència $\log_3(80) - \sqrt{17}$. A continuació, tenint en compte que $2^3 = 8$ i $2^{3,5} = \sqrt{128} \approx 11,31 > 10$, comprova si el valor global de $K$ es troba més a prop de $-3$ o de $-4$. Justifica si aquesta comprovació confirma o desmenteix la predicció de la teva estimació inicial.

Determina raonadament el conjunt de valors de $x \in \mathbb{R}$ que satisfan la desigualtat simultània següent, expressant el resultat final en forma d'unió d'intervals:

Tingues en compte les restriccions del domini i analitza els diferents casos segons el signe del contingut del valor absolut.

En el disseny d'una peça d'alta precisió per a un motor aeroespacial, el radi d'un cilindre, denotat per $x$, ha de complir que la seva diferència amb el radi nominal de $5\text{ cm}$ sigui tan petita que l'error en l'àrea de la seva secció transversal, $A(x) = \pi x^2$, no superi els $0,01\text{ cm}^2$.

Utilitzant la definició formal d'entorn reduït $E^*(a, \delta)$, troba el valor màxim de la tolerància $\delta$ que pot tenir el radi $x$ per assegurar que l'àrea es mantingui en l'entorn $E(25\pi, 0,01)$. Expressa el resultat de $\delta$ en funció de $\pi$ de forma exacta.

Demostra, utilitzant exclusivament la definició mètrica de límit ($\varepsilon - \delta$), que:

Per a això, donat un $\varepsilon > 0$, troba una expressió per a $\delta$ en funció de $\varepsilon$ (pots suposar una acotació inicial per a $\delta$, per exemple $\delta \leq 1$).

Considera la successió definida pel terme general $a_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 2n}$.

1. a) Calcula el límit $L$ de la successió quan $n \to \infty$.
2. b) Determina, a partir de quin valor de l'índex $n_0 \in \mathbb{N}$, tots els termes de la successió es troben a una distància de $L$ menor que una mil·lèsima ($\varepsilon = 10^{-3}$).

Troba el conjunt de valors reals que satisfan la inequació següent amb doble valor absolut:

Representa la solució a la recta real i expressa-la mitjançant un únic interval obert.

Es defineix la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$. Determina el conjunt de valors del paràmetre real $k$ per als quals el domini de la funció és tota la recta real $\mathbb{R}$.

Per al valor més gran d'aquest conjunt, estudia si existeix alguna asímptota horitzontal o obliqua quan $x \to +\infty$.

Un inversor analitza el creixement d'un actiu financer el valor del qual en milers d'euros ve donat per la funció $V(t) = \frac{4t^2 + k}{t^2 + 1}$, on $t \geq 0$ és el temps en anys.

1. a) Si es sap que el valor inicial de l'actiu va ser de $1000$ euros, determina el valor de la constant $k$.
2. b) Quin serà el valor de l'actiu a "molt llarg termini"? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de límit a l'infinit.
3. c) En algun moment el valor de l'actiu superarà els $4000$ euros? Demostra-ho analíticament mitjançant una inequació.

Donada la funció $f(x) = \ln(|x^2 - 4| - 5)$, determina de forma exacta el seu domini de definició. Expressa el resultat com a unió d'intervals, prestant especial atenció als valors on l'argument del logaritme s'anul·la o és negatiu. Analitza la simetria d'aquest domini.

Per resoldre a $\mathbb{R}$ la inequació $|x + 2| + |x - 4| \le 8$, tres estudiants de 2n de Batxillerat proposen estratègies diferents:

• Álvaro proposa elevar al quadrat tots dos membres directament per eliminar les barres de valor absolut.

• Berta proposa estudiar el signe de cada binomi en els intervals determinats per les arrels $x = -2$ i $x = 4$, resolent la inequació sense valor absolut en cadascun dels tres trams.

• Clara proposa interpretar geomètricament l'expressió com la suma de les distàncies des d'un punt $x$ fins als punts $-2$ i $4$ sobre la recta real, raonant sobre les distàncies mínimes i el marge sobrant.

1. a) Analitza la proposta d'Álvaro: explica algebraicament quin terme creuat apareix en elevar al quadrat el membre esquerre i per què aquest mètode no simplifica el problema, sinó que el complica.
2. b) Aplica de manera completa i ordenada el mètode de Berta (estudi per trams), detallant les solucions parcials de cada cas i la solució global en forma d'interval.
3. c) Resol la inequació aplicant el mètode de Clara mitjançant un raonament purament geomètric: quina és la distància mínima entre $-2$ i $4$? Com es distribueix la distància restant de $8$ a esquerra i dreta?
4. d) Justifica quin dels dos mètodes vàlids (B o C) és més eficient en aquest exercici i planteja una petita modificació en la inequació que obligaria a abandonar el mètode geomètric de Clara i a recórrer obligatòriament al mètode per trams de Berta.

En el disseny d'un sensor òptic per al Gran Telescopio Canarias (GTC), la resposta lumínica ve modelitzada per la funció $f(x) = \dfrac{8}{x + 1}$, on $x > 0$ representa el gruix en mil·límetres d'un filtre de calibratge. El valor nominal de referència per al gruix és $a = 3\text{ mm}$, al qual li correspon una sortida nominal $L = f(3) = 2$.

L'equip d'enginyeria exigeix que la resposta lumínica no es desviï de $2$ en més d'$\varepsilon = 0,1$, és a dir, es requereix que $f(x) \in E(2; 0,1)$.

1. a) Problema invers: Resol la doble desigualtat $1,9 < \dfrac{8}{x + 1} < 2,1$ per determinar l'interval exacte $(x_1, x_2)$ en el qual s'ha de mantenir el gruix $x$.
2. b) Comprova que l'interval $(x_1, x_2)$ obtingut no està centrat exactament en el valor nominal $a = 3$. Calcula les distàncies $d_1 = |3 - x_1|$ i $d_2 = |x_2 - 3|$.
3. c) Determina el valor més gran del radi $\delta > 0$ d'un entorn simètric centrat en $3$, $E(3, \delta)$, de manera que es garanteixi rigorosament la implicació:

Per què has de triar obligatòriament $\delta = \min(d_1, d_2)$ i no el més gran dels dos radis?

1. d) Tradueix tota la condició anterior a la formulació formal amb valor absolut: $|x - 3| < \delta \implies |f(x) - 2| < 0,1$. Explica de forma raonada la connexió directa entre aquest resultat i la definició formal del límit $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$ mitjançant entorns $\varepsilon$-$\delta$.