Exercicis: Intervals

En el disseny de components electrònics, la tolerància de voltatge d'un sensor està definida pel conjunt de valors reals $x$ que compleixen la condició de desigualtat següent:

$-3 \leq x < 4,5$

Expressa aquest conjunt de valors utilitzant la notació d'interval i indica de quin tipus d'interval es tracta (obert, tancat o semiobert).

Donada la representació gràfica següent sobre la recta real, escriu el conjunt ressaltat en notació d'interval i en notació de conjunt (fent servir desigualtats).

Un servidor de dades d'una empresa tecnològica manté la seva temperatura òptima de funcionament en l'interval donat per $I = (-10, 35]$. Representa aquest interval a la recta real i determina si els valors de temperatura següents pertanyen al conjunt:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Expressa mitjançant un únic interval el resultat de la unió de conjunts següent:

$A = (- \infty, 2) \cup [0, 6]$

Ajuda't d'una representació gràfica si ho consideres necessari.

Determina la intersecció dels intervals de nombres reals següents:

$I_1 = [-3, 4]$

$I_2 = (0, + \infty)$

Escriu el resultat final tant en forma d'interval com de desigualtat.

En l'estudi de límits, és fonamental el concepte d'entorn reduït. Si tenim l'entorn $E(3; 0,5)$, que representa tots els nombres reals la distància dels quals al centre $3$ és menor que $0,5$:

1. a) Escriu aquest conjunt en forma d'interval.
2. b) Escriu l'entorn reduït $E^*(3; 0,5)$, és a dir, el mateix conjunt però excloent el punt central.

Relaciona cada valor absolut amb el seu interval corresponent:

1. $|x| \leq 3$

2. $|x| < 5$

3. $|x - 2| \leq 1$

Intervals disponibles:

• $A = ( -5, 5)$

• $B = [ -3, 3]$

• $C = [ 1, 3]$

Escriu en forma d'interval el domini de definició d'una funció que només accepta valors positius de $x$ menors o iguals que $100$, però excloent el valor exacte $x = 25$ a causa d'una singularitat tècnica. Exposa el resultat com una resta de conjunts o com una unió de dos intervals.

En una prova d'avaluació, Lucía ha de trobar el complementari en $\mathbb{R}$ de l'interval de temperatures de conservació d'un fàrmac, donat pel conjunt $A = [-8, 2)$. Lucía escriu al seu examen:

i argumenta: «El complementari consisteix a girar els claudàtors i parèntesis: com que el $-8$ estava tancat, el poso obert; com que el $2$ estava obert, el mantinc obert; i a l'infinit poso claudàtor perquè inclou tots els nombres que vénen a continuació».

1. a) Identifica i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès Lucía en el resultat (a l'extrem $2$ i al símbol $+\infty$). A més, comenta si l'extrem $-8$ del seu resultat és correcte i si la regla de «girar» que utilitza és vàlida.

1. b) Escriu l'expressió correcta del complementari en forma d'unió d'intervals.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) activa l'avís per calor en una comarca de Sevilla quan la temperatura màxima $T$ (en $^\circ\text{C}$) es troba a l'interval $I_{\text{AEMET}} = [39, 44)$. Per la seva banda, la normativa laboral d'un sector fixa la suspensió de treballs pesants a l'aire lliure si la temperatura és d'almenys $41,5\,^\circ\text{C}$, cosa que correspon a la semirrecta $I_{\text{treball}} = [41,5, +\infty)$.

1. a) Determina l'interval de temperatures en què coincideixen simultàniament l'avís de l'AEMET i la suspensió laboral ($I_{\text{AEMET}} \cap I_{\text{treball}}$). Justifica si aquest interval és obert, tancat o semiobert.
2. b) Expressa mitjançant una semirrecta o unió d'intervals el rang tèrmic en què està activa almenys una de les dues mesures ($I_{\text{AEMET}} \cup I_{\text{treball}}$), i raona si aquest conjunt està acotat superiorment o inferiorment.
3. c) Determina el suprem i l'ínfim d'$I_{\text{AEMET}}$, indicant raonadament si coincideixen amb el seu màxim o el seu mínim.

Al laboratori de física, un sensor de precisió mesura el diàmetre d'una peça metàl·lica. El sistema de control accepta peces el diàmetre $x$ (en mm) de les quals compleix la condició de tolerància següent, expressada mitjançant un valor absolut:

Representa gràficament aquesta situació a la recta real i expressa el conjunt de valors admesos en forma d'interval i com un entorn $E(a; r)$.

Pots ajudar-te d'aquesta recta, on només s'ha marcat el centre de la tolerància, $12$. Completa-la al teu quadern: assenyala els extrems, ombreja els valors admesos i indica el radi.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula la intersecció i la unió dels conjunts de nombres reals següents. Expressa el resultat final utilitzant la notació d'intervals:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Per estudiar la continuïtat d'una funció en el punt $x = 3$, necessitem treballar en un entorn reduït d'aquest punt amb un radi de $0,1$ unitats.

1. a) Escriu la definició d'aquest conjunt utilitzant la notació $E^*(a, r)$.

1. b) Expressa'l mitjançant una desigualtat que inclogui un valor absolut.

1. c) Representa'l com la unió de dos intervals oberts.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina el seu domini de definició i expressa'l com una unió d'intervals. Posteriorment, indica si el valor $x = 3,0001$ pertany a un entorn de centre $3$ i radi $\delta = 0,001$.

Un dron de vigilància ha de mantenir una altitud de vol $h$ (en metres) de manera que la seva distància a l'altura de seguretat de $100$ metres sigui sempre inferior a $5$ metres, però per motius de turbulències, no pot volar exactament a $100$ metres.

Expressa la condició de l'altura $h$ mitjançant:

1. a) Un entorn reduït.
2. b) Una desigualtat amb valor absolut.
3. c) Una unió d'intervals.

En la definició formal de límit, quan diem que $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$, afirmem que per a tot $\varepsilon>0$ existeix un $\delta>0$ tal que, si $0<|x-2|<\delta$, aleshores $|f(x)-5|<\varepsilon$. Prenem $\varepsilon = 0,2$, que determina un entorn de $5$ a l'eix $Y$. La gràfica mostra la funció $f(x) = 2x + 1$ i el punt de la corba amb $x = 2$.

1. a) Determina l'interval corresponent a l'entorn $E(5; 0,2)$.

1. b) Si sabem que la funció és $f(x) = 2x + 1$, troba l'interval de valors de $x$ a l'eix $X$ les imatges dels quals cauen dins de l'interval obtingut a l'apartat anterior.

Dats els intervals $I = (-\infty, 4]$ i $J = (-2, +\infty)$, realitza les operacions següents i expressa el resultat en notació d'intervals i de forma gràfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Determina el conjunt de valors de $x$ que satisfan la desigualtat quadràtica següent, expressant el resultat com un interval o unió d'intervals:

És aquest conjunt un entorn d'algun nombre real? Justifica la teva resposta calculant el centre i el radi si fos possible.

Es vol dissenyar l'expressió algebraica d'una funció real $f(x)$ que modeli la resposta d'un sensor i combini una arrel quadrada, un logaritme i un denominador de la forma:

de manera que el seu domini exacte de definició sigui el conjunt $D = (3, 4) \cup (4, 9]$.

1. a) Dedueix de manera justificada quins valors numèrics han de prendre les constants reals $a$ i $k$.
2. b) Demostra pas a pas que la intersecció de les tres restriccions analítiques (radicand d'índex parell més gran o igual que zero, argument del logaritme estrictament positiu i denominador no nul) dóna exactament com a resultat el conjunt $D$.
3. c) Indica el suprem, l'ínfim, el màxim i el mínim del conjunt $D$ (o justifica quins d'ells no existeixen).

Considera la funció real $g(x) = \sqrt{x^2 - 9} + \frac{1}{\ln(7 - x)}$.

1. a) Estima: abans de resoldre inequacions formals, analitza per simple inspecció els valors enters $x = -4$, $x = 0$, $x = 3$, $x = 6$ i $x = 7$. Justifica quins d'ells no poden pertànyer al domini (assenyalant quina restricció incompleixen) i quins sí. A partir d'aquesta prova, conjectura si la semirrecta de valors molt negatius, $(-\infty, -3]$, formarà part del domini.
2. b) Comprova: determina formalment el domini de $g(x)$ plantejant i resolent la intersecció de les tres condicions analítiques (radicand $\ge 0$, argument del logaritme $> 0$ i denominador $\ne 0$). Expressa el resultat final en notació d'intervals.
3. c) Valora: compara el domini exacte obtingut amb la teva estimació inicial i explica per què l'extrem $3$ s'inclou amb claudàtor mentre que l'extrem $6$ queda exclòs amb parèntesi.

Determina el conjunt de valors reals $x$ que satisfan simultàniament la següent inequació racional i l'interval definit pel valor absolut. Expressa el resultat final en forma d'interval o unió d'intervals:

En el disseny d'una peça de precisió per a un telescopi, el radi de curvatura $R$ ha de pertànyer al domini de la següent funció per assegurar l'estabilitat estructural. Troba aquest domini i expressa'l com a unió d'intervals:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Es defineix un entorn del punt $a = 3$ mitjançant l'expressió $|x - 3| < \delta$. Determina el valor màxim de $\delta$ perquè tots els punts $x$ d'aquest entorn compleixin que els seus quadrats, $x^2$, es trobin a una distància menor de $0,5$ del valor $9$. És a dir, resol la implicació:

Troba el conjunt de solucions de la inequació següent amb valors absoluts niats. Representa la solució sobre la recta real i especifica si es tracta d'un conjunt acotat, indicant, en cas afirmatiu, el seu suprem i ínfim:

Determina el valor del paràmetre real $k > 0$ perquè la intersecció dels conjunts $A$ i $B$ sigui un interval de longitud exactament igual a $3$ unitats, essent:

Pista: expressa $A$ i $B$ com a intervals de la recta real i estudia, segons el valor de $k$, com queda $A \cap B$.

Un sensor de control tèrmic en una planta de processament de biomassa opera correctament sempre que la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) compleixi la condició $T \in [90, 150]$. Si la temperatura del procés evoluciona temporalment segons la funció $T(t) = t^2 - 20t + 175$, on $t$ és el temps en minuts ($t \geq 0$), determina els intervals de temps durant els quals el sensor detecta una temperatura fora del seu rang d'operació.

Siguin els conjunts $S_1$ i $S_2$ definits per les condicions següents. Calcula de forma exacta el conjunt resultant de l'operació $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementari de la unió):

Considera la funció $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina el conjunt de valors reals de $x$ per als quals la funció no està definida.

1. b) Expressa aquest conjunt com un interval o com una unió d'intervals.

1. c) Classifica cada interval obtingut com a obert, tancat o semiobert.

Per calcular el domini de la funció $h(x) = \sqrt{\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right)}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Estratègia 1 (intersecció sistemàtica): resoldre per separat la condició del logaritme, $\frac{3x - 12}{x + 2} > 0$, obtenint el conjunt $S_1$; resoldre després la condició del radicand, $\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right) \geq 0 \iff \frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, obtenint el conjunt $S_2$; i finalment calcular $S_1 \cap S_2$.

• Estratègia 2 (implicació lògica): argumentar que si una expressió compleix $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, aleshores necessàriament és més gran que zero, de manera que la condició del logaritme queda absorbida per la del radicand i n'hi ha prou amb resoldre directament $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$ vigilant que $x + 2 \neq 0$.

1. a) Avalua raonadament si l'Estratègia 2 és matemàticament rigorosa o si comporta el perill d'ometre solucions o punts conflictius.
2. b) Aplica l'estratègia que consideris més eficient per obtenir el domini de $h(x)$ en forma d'intervals.
3. c) Troba el complementari a $\mathbb{R}$ del domini obtingut i determina si aquest complementari és un conjunt acotat, indicant el seu suprem i ínfim si existeixen.

En una planta química de Tarragona, l'estabilitat d'una reacció depèn de la pressió $x$ (en bar) a través de l'índex analític:

El protocol de seguretat exigeix que la planta operi únicament dins del domini de definició matemàtica de $S(x)$ i, a més, fora de l'interval de ressonància mecànica $R = [3,5; 4,8]$.

1. a) Determina el conjunt admisible de pressions (el domini de $S(x)$) mitjançant la intersecció raonada de les condicions sobre l'arrel quadrada, l'argument del logaritme i el denominador. Expressa el resultat com a unió d'intervals.
2. b) Determina el conjunt operatiu segur $C = \text{Dom}(S) \setminus R$. Para una atenció especial al caràcter obert o tancat de cada extrem resultant i justifica per què cadascun d'ells queda inclòs o exclòs.
3. c) Demostra si el conjunt $C$ està acotat superiorment i inferiorment. Determina de manera justificada el seu suprem, el seu ínfim i raona si algun d'ells assoleix la categoria de màxim o mínim de $C$.