Intervalos (repaso)

En el diseño de componentes electrónicos, la tolerancia de voltaje de un sensor está definida por el conjunto de valores reales $x$ que cumplen la siguiente condición de desigualdad:

$-3 \leq x < 4,5$

Expresa este conjunto de valores utilizando la notación de intervalo e indica de qué tipo de intervalo se trata (abierto, cerrado o semibierto).

Un servidor de datos de una empresa tecnológica mantiene su temperatura óptima de funcionamiento en el intervalo dado por $I = (-10, 35]$. Representa este intervalo en la recta real y determina si los siguientes valores de temperatura pertenecen al conjunto:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Calcula la intersección y la unión de los siguientes conjuntos de números reales. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Dados los intervalos $I = (-\infty, 4]$ y $J = (-2, +\infty)$, realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación de intervalos y de forma gráfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Sean los conjuntos $S_1$ y $S_2$ definidos por las siguientes condiciones. Calcula de forma exacta el conjunto resultante de la operación $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementario de la unión):

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina su dominio de definición y exprésalo como una unión de intervalos. Posteriormente, indica si el valor $x = 3,0001$ pertenece a un entorno de centro $3$ y radio $\delta = 0,001$.

En el diseño de una pieza de precisión para un telescopio, el radio de curvatura $R$ debe pertenecer al dominio de la siguiente función para asegurar la estabilidad estructural. Halla dicho dominio y exprésalo como unión de intervalos abiertos:

Considera la función $g(x) = \log_2( |x^2 - 1| - 2 )$.

1. Determina el conjunto de valores reales para los que la función no está definida.

2. Expresa dicho conjunto como una unión de intervalos.

3. Clasifica cada intervalo obtenido como abierto, cerrado o semiabierto.

En el estudio de límites, es fundamental el concepto de entorno reducido. Si tenemos el entorno $E(3; 0,5)$, que representa todos los números reales cuya distancia al centro $3$ es menor que $0,5$:

1. a) Escribe este conjunto en forma de intervalo.
2. b) Escribe el entorno reducido $E^*(3; 0,5)$, es decir, el mismo conjunto pero excluyendo el punto central.

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación con valores absolutos anidados. Representa la solución sobre la recta real y especifica si se trata de un conjunto acotado, indicando, en caso afirmativo, su supremo e ínfimo:

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ para que la intersección de los conjuntos $A$ y $B$ sea un intervalo de longitud exactamente igual a $3$ unidades, siendo: