Exercicis: Funcions de variable real. Tipus de funcions

En Sergio ha de determinar el domini de la funció composta $(f \circ g)(x)$, on $f(x) = x^2$ i $g(x) = \sqrt{2x - 6}$. En el seu examen escriu el següent:

«Calculo primer l'expressió analítica:

Com que el resultat és un polinomi de primer grau i els polinomis existeixen per a qualsevol nombre real, el domini de $(f \circ g)$ és $\mathbb{R}$.»

1. a) Assenyala quin és l'error conceptual que comet en Sergio en aplicar la definició de funció composta.
2. b) Explica per què el domini de la composició no pot ser $\mathbb{R}$ i calcula el domini correcte de $(f \circ g)$.
3. c) Si representessis en uns eixos cartesians la recta completa $y = 2x - 6$ i la gràfica real de $(f \circ g)(x)$, en què es diferenciarien visualment?

Un aparcament públic al centre de Màlaga aplica una tarifa de rotació que depèn del temps d'estada $t$ (en minuts) segons les condicions següents durant les primeres 3 hores ($0 \le t \le 180$):

• Durant els primers 20 minuts ($0 \le t \le 20$), es cobra una tarifa fixa d'entrada de $0,80$ €, independentment dels minuts exactes consumits en aquesta fracció.

• Des del minut 20 fins als 120 minuts ($20 < t \le 120$), es factura a raó de $0,03$ € per cada minut transcorregut a partir del minut 20, que se sumen als $0,80$ € inicials.

• A partir de les dues hores ($120 < t \le 180$), s'abona una tarifa plana fixa de $4,50$ €.

1. a) Escriu l'expressió de la funció preu $P(t)$ (en euros) com una funció definida a trossos per a $t \in [0, 180]$.
2. b) Comprova analíticament si la funció és contínua en els instants de canvi de tram ($t = 20$ i $t = 120$) calculant els límits laterals corresponents.
3. c) Interpreta econòmicament el resultat: experimenta l'usuari un salt brusc en el cobrament en algun d'aquests dos moments o el cost evoluciona de manera contínua?

Dissenya la fórmula algebraica d'una única funció $f(x)$ (que no estigui definida a trossos) que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu domini de definició exacte és el conjunt $\operatorname{Dom}(f) = [-6, -2) \cup (2, 6]$.

2. És una funció parella, és a dir, la seva gràfica presenta simetria respecte a l'eix d'ordenades ($f(-x) = f(x)$).

3. La seva fórmula està construïda mitjançant operacions (quocient o producte) combinant una arrel quadrada i una altra expressió algebraica.

Descriu pas a pas com dedueixes l'expressió del numerador i del denominador per generar exactament els claudàtors a $\pm 6$ i els parèntesis a $\pm 2$. Finalment, demostra analíticament que la funció que has construït és parella comprovant que $f(-x) = f(x)$.

Considera la funció $f(x) = \ln\left(\dfrac{8 - x}{x + 3}\right)$.

1. Estima i explora:

a) Abans de resoldre formalment cap inequació, avalua mentalment el signe del quocient per als valors de prova $x = -5$, $x = 0$ i $x = 10$. Per a quins d'ells està ben definida $f(x)$ i per a quins no?

b) A partir d'aquesta exploració, estima si el domini serà un interval obert i acotat $(a, b)$ o una semirecta no acotada cap a l'infinit. Quins valors intueixes que seran els seus extrems?

1. Calcula: Determina amb rigor analític el domini de $f(x)$ plantejant la inequació que exigeix el logaritme i estudiant el signe del numerador i del denominador.

2. Comprova i reflexiona: Compara el domini obtingut amb la teva estimació. A continuació, raona què li passa al valor de $f(x)$ quan $x$ s'aproxima a $8$ per l'esquerra ($x \to 8^-$) i quan s'aproxima a $-3$ per la dreta ($x \to -3^+$).

Determina el domini de definició més ampli possible per a la funció real de variable real següent, expressant el resultat mitjançant la unió d'intervals:

Per resoldre'l, hauràs de considerar simultàniament les restriccions imposades per l'arrel quadrada, el logaritme neperià i el denominador de la fracció.

Una empresa d'enginyeria aeroespacial està dissenyant la trajectòria d'ascens d'una sonda. L'altura $h$ en quilòmetres, mesurada des d'un nivell de referència (negativa per sota d'aquest), respecte al temps $t$ en minuts ve donada per una funció composta. Es sap que la funció externa és $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ i la funció interna és $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.

Calcula l'expressió analítica de la funció d'altura total $H(t) = (f \circ g)(t)$ i determina raonadament el seu domini i el seu recorregut en el context físic del problema, sabent que la sonda comença la seva missió en $t = 1$.

Sigui la funció $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demostra analíticament que la funció és injectiva en tot el seu domini. A continuació, obtén l'expressió de la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ i especifica clarament el domini i el recorregut d'aquesta inversa.

Donada la funció definida a trossos:

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que la funció passa pel punt $(-2, 0)$ i que és contínua en el punt d'abscissa $x = 1$. Un cop trobats, estudia la simetria de la funció en l'interval $[1, +\infty)$.

En l'estudi de senyals sonors, s'utilitza la funció $s(t) = \ln(t)$ per representar la intensitat d'un senyal primari. A causa d'una interferència, el senyal resultant es transforma segons la regla $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.

Representa gràficament la funció final $g(t)$ partint de la funció elemental $\ln(t)$ i explicant detalladament cadascuna de les transformacions geomètriques (translacions, simetries i valors absoluts) que tenen lloc.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es considera la família de funcions $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ on $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Demostra que per a qualsevol valor de $k$, la funció és parella.

2. Determina els punts de tall amb els eixos en funció de $k$.

3. Troba el valor de $k$ perquè la funció prengui el valor $y = 1/2$ quan $x = 3$.

4. Discuteix si existeix algun valor de $k$ per al qual la funció tingui asímptotes verticals.

Un algorisme d'intel·ligència artificial processa dades d'entrada $x$ mitjançant una funció d'activació logística modificada:

La figura mostra la gràfica de $A(x)$ per a $x$ entre $-10$ i $10$.

Volem trobar la funció inversa $A^{-1}(x)$ perquè el sistema pugui fer el procés invers (descodificació).

1. a) Troba l'expressió de la inversa $A^{-1}(x)$.

1. b) Determina per a quins valors de la sortida $y$ és possible fer la descodificació (rang de la funció original) i justifica la teva resposta.

Tota funció $f(x)$ es pot descompondre, en els punts $x$ en què existeixen $f(x)$ i $f(-x)$, de forma única com la suma d'una funció parella $g(x)$ i una funció senar $h(x)$, de tal manera que:

Donada la funció $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, troba les seves components parella i senar. Comprova analíticament que, efectivament, $g(x)$ és una funció parella i $h(x)$ és una funció senar. Quins són els dominis de cadascuna d'aquestes tres funcions?

Un nou servei de transmissió en directe de videojocs aplica una tarifa mensual basada en el consum de dades d'alta velocitat. Els primers $20$ GB estan inclosos en una quota fixa de $15$ €. A partir d'aquí, el preu per cada GB addicional augmenta de forma lineal segons la funció $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, on $x$ és el nombre total de GB consumits.

Tanmateix, si l'usuari supera els $100$ GB, l'empresa aplica una penalització per excés de tràfic i la funció passa a ser $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Escriu l'expressió analítica de la funció cost total $C(x)$ com una funció definida a trossos i comprova si el preu "salta" o és continu just en el moment de consumir $100$ GB.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Calcula el seu domini.

2. Identifica si existeix algun punt on la funció presenti una "discontinuïtat evitable" (un punt on el numerador i el denominador s'anul·lin simultàniament).

3. Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades.

Considera les funcions $f(x) = \sqrt{x + 2}$ i $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Troba l'expressió de la funció composta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina el domini de $(g \circ f)(x)$.

3. Coincideix aquest domini amb el de la funció $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica la teva resposta.

Un dron de vigilància fa un vol de prova seguint una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al temps en segons ve donada per la funció:

La gràfica de la trajectòria és la següent:

1. a) Des de quina altura s'enlaira el dron?

1. b) Quina és l'altura màxima que assoleix i en quin segon ocorre?

1. c) Si el dron ha d'aterrar quan la seva bateria arriba al $5\,\%$ (cosa que ocorre als $21$ segons), a quina altura es trobarà en aquest moment? Explica si el resultat té sentit físic.

Troba la funció inversa $f^{-1}(x)$ de la funció $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el domini i el recorregut de totes dues funcions i comprova gràficament la seva simetria respecte de la bisectriu del primer quadrant.

Estudia la simetria (parella, senar o asimètrica) de les funcions següents justificant els passos mitjançant el càlcul de $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Funció cosinus hiperbòlic)

Determina el domini de definició de les funcions de variable real següents basant-te en les restriccions de les operacions que les formen:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

A partir de la gràfica següent de la funció $f(x)$, identifica els valors dels límits laterals i la imatge de la funció en el punt de discontinuïtat $x = 1$. A la gràfica, el cercle buit indica un punt que no pertany a la gràfica i el cercle ple indica un punt que sí que hi pertany.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $f(1)$

Classifica les funcions següents segons el seu tipus (polinòmica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Calcula els límits directes següents per substitució, comprovant si el valor obtingut és finit:

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$

1. c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$

Una empresa de telefonia ofereix un pla de dades on els primers $10$ GB costen $15$ € fixos. A partir d'aquí, cada GB extra es cobra a $2$ €. La funció que representa el cost total $C(x)$ en funció dels GB consumits $x$ és:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia si la funció és contínua en el punt crític $x = 10$.

Donades les funcions $f(x) = x + 3$ i $g(x) = x^2 - 1$, realitza les operacions següents i determina el domini de la funció resultant:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Observa la gràfica següent i identifica visualment les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals:

Donada la funció amb valor absolut $f(x) = |x - 3|$, representa-la com una funció definida a trossos i calcula el seu valor per a $x = 0$ i $x = 5$.

Donades les funcions racionals $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ i $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$, es demana trobar el domini de la funció composta $(f \circ g)(x)$. Dos estudiants defensen estratègies diferents:

• Mètode d'en Marcos: Simplifica primer l'expressió analítica:

En observar la fracció final, conclou que l'únic valor problemàtic és el que anul·la el seu denominador: $-2x + 13 = 0 \implies x = 6,5$. Per tant, afirma que $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{6,5\}$.

• Mètode de la Laura: Aplica la definició teòrica del domini de la composició:

Exigeix primer que $x \in \operatorname{Dom}(g)$ ($x \ne 3$) i, a continuació, que $g(x) \ne 4$, resolent $\dfrac{2x + 1}{x - 3} \ne 4 \implies x \ne 6,5$. Conclou que $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{3; 6,5\}$.

1. Determina quin dels dos mètodes és matemàticament correcte. Explica amb precisió quin pas algebraic d'en Marcos va provocar la pèrdua d'una restricció del domini.

2. Si una calculadora avalués $(f \circ g)(3)$ seguint l'ordre natural de les operacions compostes (primer calcular $g(3)$ i després aplicar $f$ al resultat), què passaria? Coincideix això amb el que prediu la fórmula final d'en Marcos?

3. Formula una conclusió metodològica: per què simplificar l'expressió algebraica d'una funció abans de calcular el seu domini pot induir a errors greus?

Es considera una funció $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida a trossos mitjançant:

on $k$ és una constant real i $g(x)$ és una funció que has de determinar en cada cas.

1. Cas parell: Troba l'expressió algebraica que ha de tenir $g(x)$ perquè $f$ sigui una funció parella a tot $\mathbb{R}$. Un cop trobada, analitza si la continuïtat de $f$ a $x = 0$ depèn o no del valor que prengui el paràmetre $k$, justificant-ho mitjançant el càlcul dels límits laterals.

2. Cas senar i demostració:

a) Demostra algebraicament que qualsevol funció $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que sigui senar i estigui definida a l'origen compleix obligatòriament que $h(0) = 0$.

b) Troba l'expressió algebraica de $g(x)$ perquè $f$ satisfaci la condició de caràcter senar $f(-x) = -f(x)$ per a tot $x \ne 0$.

c) Recolzant-te en la demostració de l'apartat (a), dedueix quin valor ha de tenir necessàriament la constant $k$ perquè la funció $f$ sigui senar a tot $\mathbb{R}$ i, alhora, sigui contínua en el punt d'unió $x = 0$.

Repte del tema. Analitza la dinàmica tèrmica del teu municipi per optimitzar la despesa energètica de climatització a casa.

1. Dades i nombres reals: Accedeix al web d'AEMET i descarrega les temperatures de les últimes $24$ hores a la teva estació més propera. Expressa el rang diari mitjançant un interval acotat $[T_{\min}, T_{\max}] \subset \mathbb{R}$, arrodoneix a les dècimes i determina la cota de l'error absolut comès.

2. Probabilitat: Amb la sèrie dels últims $10$ dies, calcula la probabilitat freqüentista que la temperatura superi els $21,5\text{ }^\circ\text{C}$. Justifica per què no és aplicable la regla de Laplace en aquest context i reflexiona sobre l'assignació de probabilitats a fenòmens meteorològics.

3. Modelització i derivada: A GeoGebra o en un full de càlcul, representa el núvol de punts i realitza un ajust polinòmic $T(t)$. Troba analíticament la funció derivada $T'(t)$, determina les hores de màxima taxa d'escalfament i de refredament (extrems de la derivada) i compara la taxa de variació instantània $T'(10)$ amb la taxa de variació mitjana en l'interval $[8, 12]$.

4. Producte: Dissenya un informe executiu d'una pàgina amb les gràfiques i una recomanació horària justificada de ventilació.

Es valorarà:

• Ús rigorós de nombres reals, intervals i estimació d'errors.

• Comprensió crítica de la interpretació freqüentista enfront de la clàssica.

• Càlcul correcte de la funció derivada i interpretació del seu significat físic.