Funciones de variable real (repaso)

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $15$ € fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $2$ €. La función que representa el coste total $C(x)$ en función de los GB consumidos $x$ es:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia si la función es continua en el punto crítico $x = 10$.

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.

Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una cuota fija de $15$ €. A partir de ahí, el precio por cada GB adicional aumenta de forma lineal según la función $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, donde $x$ es el número total de GB consumidos.

Sin embargo, si el usuario supera los $100$ GB, la empresa aplica una penalización por exceso de tráfico y la función pasa a ser $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Escribe la expresión analítica de la función coste total $C(x)$ como una función definida a trozos y comprueba si el precio "salta" o es continuo justo en el momento de consumir $100$ GB.

Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina el dominio de $(g \circ f)(x)$.

3. ¿Coincide este dominio con el de la función $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica tu respuesta.

Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Función coseno hiperbólico)

Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función es par.

2. Determina los puntos de corte con los ejes en función de $k$.

3. Encuentra el valor de $k$ para que la función tome el valor $y = 1/2$ cuando $x = 3$.

4. Discute si existe algún valor de $k$ para el cual la función tenga asíntotas verticales.

Toda función $f(x)$ puede descomponerse de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar $h(x)$, de tal manera que:

Dada la función $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, halla sus componentes par e impar. Comprueba analíticamente que, efectivamente, $g(x)$ es una función par y $h(x)$ es una función impar. ¿Cuáles son los dominios de cada una de estas tres funciones?