Exercicis: Interpretacions de la probabilitat

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses, justificant la teva resposta:

1. a) «Porto $20$ tirades seguides sense treure un $5$ amb aquest dau correcte. Segons la llei dels grans nombres, en la pròxima tirada és molt probable que per fi surti un $5$.»
2. b) «Encara que en les últimes $20$ tirades no hagi sortit cap $5$, la probabilitat que surti en la següent continua essent $\frac{1}{6}$: l'atzar no té memòria.»

Es llança una xinxeta $400$ vegades i cau amb la punta cap amunt en $260$ ocasions.

1. a) Estima la probabilitat que la xinxeta caigui amb la punta cap amunt.
2. b) Explica per què en aquest experiment no es pot aplicar la regla de Laplace.
3. c) Quina interpretació de la probabilitat has utilitzat a l'apartat a)?

Durant un taller de probabilitat a classe de Matemàtiques, en Sergio llança una moneda equilibrada 8 vegades consecutives i obté la seqüència següent: C-C-C-C-C-C-C-C (vuit cares seguides). En Sergio afirma entusiasmat:

«En el novè llançament, la probabilitat que surti creu és moltíssim més gran que $0,5$, perquè la llei dels grans nombres exigeix que la freqüència de cares i creus s'equilibri a curt termini, així que la moneda ha de compensar la ratxa».

1. a) Identifica i anomena la fal·làcia o error de raonament en què incorre en Sergio.
2. b) Explica formalment per què la probabilitat d'obtenir creu en el novè llançament continua sent exactament $0,5$, basant-te en la definició d'esdeveniments independents.
3. c) Aclareix què afirma realment la llei dels grans nombres: les ratxes passades es «compensen» en els llançaments següents o es «dilueixen» a mesura que el nombre total de llançaments augmenta? Justifica la teva resposta amb un raonament clar.

A tres estudiants de 2n de Batxillerat se'ls assignen tres situacions diferents per determinar la probabilitat d'un esdeveniment:

• Situació 1 (Irene): Calcular la probabilitat que en extreure dues cartes a l'atzar d'una baralla espanyola de 40 cartes, totes dues siguin copes.

• Situació 2 (David): Determinar la probabilitat que una xinxeta, en ser llançada sobre una taula plana, quedi recolzada amb la punta cap amunt.

• Situació 3 (Marina): Estimar la probabilitat que una empresa automobilística espanyola faci fallida durant el pròxim any fiscal.

1. a) Per a cada situació, tria raonadament quina de les tres interpretacions de la probabilitat (clàssica de Laplace, freqüentista o subjectiva) és l'adequada.
2. b) Explica per què a la Situació 2 és un error greu aplicar la regla de Laplace argumentant que «només hi ha dues opcions possibles: punta amunt o punta avall, per tant la probabilitat és $1/2$». Quin procediment empíric hauria de seguir en David per obtenir una estimació fiable?
3. c) A la Situació 3, dos analistes financers assignen probabilitats diferents ($0,05$ i $0,12$). Significa necessàriament que un dels dos ha comès un error de càlcul? Quina condició matemàtica inexcusable ha de complir l'assignació de cada analista per ser coherent?

S'ha simulat amb l'ordinador el llançament repetit d'una moneda i s'ha anotat la freqüència relativa de CARA després de $10$, $100$, $1.000$ i $10.000$ llançaments, tal com es mostra a la gràfica.

1. a) Cap a quin valor sembla estabilitzar-se la freqüència relativa? Quina probabilitat estimaries per a CARA?
2. b) Quina llei justifica aquest comportament? Enuncia-la amb les teves paraules.
3. c) Explica per què l'estimació amb $10$ llançaments és poc fiable encara que l'experiment sigui correcte.

En una parada de fira es juga a «el disc de la sort»: es deixa caure un disc de $2\ \text{cm}$ de diàmetre sobre una quadrícula de quadrats de $5\ \text{cm}$ de costat, com es mostra a la figura, i es guanya si el disc cau sense tocar cap ratlla.

1. a) Calcula la probabilitat teòrica de guanyar. (Suggeriment: la posició del disc queda determinada pel seu centre; raona en quina regió de cada quadrat ha de caure el centre.)
2. b) Un jugador llança el disc $300$ vegades i guanya $114$. Calcula la freqüència relativa de guanyar i compara-la amb la probabilitat teòrica.
3. c) Contradiu el resultat experimental la probabilitat teòrica? Raona la teva resposta.

L'aplicació del temps anuncia: «demà, $70\ \%$ de probabilitat de pluja».

1. a) Explica què significa aquesta afirmació: es tracta d'una probabilitat clàssica (de Laplace), freqüentista o subjectiva? En quines dades creus que es basa?
2. b) Tres amics assignen probabilitats al partit de dissabte. El primer diu: «guanya el meu equip amb probabilitat $0,5$, empata amb $0,3$ i perd amb $0,3$». El segon diu: «guanya amb $0,6$, empata amb $0,3$ i perd amb $0,1$». Són coherents totes dues assignacions? Per què?
3. c) Pot ser «incorrecta» una probabilitat subjectiva encara que sigui coherent? Comenta-ho breument.

Es llança un dard a una diana circular formada per tres cercles concèntrics de radis $r$, $2r$ i $3r$. Suposant que el dard sempre impacta a la diana i que la probabilitat d'impactar en una regió és directament proporcional a la seva àrea, calcula la probabilitat que el dard impacti a la corona circular intermèdia (la regió compresa entre el cercle de radi $r$ i el de radi $2r$).

A les festes patronals d'un municipi es dissenya una parada de fira amb una diana quadrada de $60\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. A l'interior de la diana es pintarà una franja circular (un anell concèntric amb el centre del quadrat) compresa entre dos radis $r_1$ i $r_2$, amb $0 < r_1 < r_2 \le 30\text{ cm}$. S'assumeix que l'impacte de cada dard és completament aleatori i es modelitza mitjançant una distribució uniforme en tota la superfície del quadrat.

1. a) Si el radi interior està prefixat en $r_1 = 10\text{ cm}$, determina de forma inversa el valor exacte del radi exterior $r_2$ perquè la probabilitat geomètrica que un dard caigui a la franja amb premi sigui exactament igual a $0,20$.
2. b) Imagina que l'organització decideix canviar el disseny i pintar únicament un cercle central massís de radi $R$. Si l'organitzador afirma: «Per triplicar la probabilitat d'encertar al cercle, n'hi ha prou amb triplicar el seu radi $R$», raona algebraicament si la seva afirmació és verdadera o falsa i calcula per quin factor exacte caldria multiplicar el radi $R$ per triplicar la probabilitat.

En una avinguda de Sevilla, un semàfor de vianants funciona amb un cicle periòdic de 100 segons repartits en tres fases contínues: 60 segons en vermell, 5 segons en ambre intermitent (avís de fi de pas) i 35 segons en verd. Un vianant arriba al semàfor en un instant $t$ completament aleatori i uniforme dins del cicle.

1. a) Abans de calcular, fes una estimació raonada: creus que la probabilitat que el vianant hagi d'esperar més de 30 segons abans que el semàfor es posi en verd és més gran, més petita o igual al $50\,\%$? Justifica qualitativament la teva predicció basant-te en la durada de les fases.
2. b) Modela matemàticament el problema mitjançant probabilitat geomètrica sobre l'interval $[0, 100]$ i calcula la probabilitat exacta que el vianant hagi d'esperar més de 30 segons fins a l'inici de la fase verda.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació inicial. A continuació, refuta el comentari següent d'un transeunt: «Com que en arribar al semàfor només hi ha dos estats possibles per a mi (esperar o no esperar), la probabilitat d'esperar és $1/2$ per la regla de Laplace».

L'ajuntament d'una ciutat vol estimar la proporció de veïns que reciclen diàriament. Una enquesta a $2.000$ persones triades a l'atzar dona $1.340$ que afirmen reciclar diàriament.

1. a) Estima la probabilitat que un veí triat a l'atzar recicli diàriament i indica quina interpretació de la probabilitat estàs utilitzant.
2. b) Un altre institut repeteix l'enquesta amb només $50$ persones i n'obté $31$ que reciclen ($0,62$). Quina de les dues estimacions és més fiable? Quin resultat teòric ho justifica?
3. c) Redacta una conclusió correcta sobre la proporció de veïns que reciclen, esmentant el paper de la mida de la mostra.

Tres persones parlen de la probabilitat que l'autobús de les 8:00 arribi tard:

• Persona 1: «Dels últims $200$ dies lectius va arribar tard $24$, així que la probabilitat és $0,12$.»

• Persona 2: «L'autobús arriba puntual o tard: dos casos possibles, per tant la probabilitat d'arribar tard és $\frac{1}{2}$.»

• Persona 3: «Jo diria que hi ha un $40\ \%$ de probabilitat que arribi tard; és el que em sembla per la meva experiència.»

1. a) Identifica a quina interpretació de la probabilitat (freqüentista, clàssica o de Laplace, i subjectiva) correspon cada afirmació.
2. b) El raonament d'una de les persones és incorrecte. De quina es tracta i per què?
3. c) Quines dades recolliries per millorar cadascuna de les tres estimacions?

Després de simular $10.000$ llançaments d'una moneda amb l'ordinador, la freqüència relativa de CARA ha resultat ser $0,5003$. Dos alumnes comenten el resultat:

• Alumne A: «La moneda està trucada, perquè si fos justa la freqüència relativa seria exactament $0,5$.»

• Alumne B: «La probabilitat exacta de CARA en aquesta moneda és $0,5003$.»

1. a) Analitza l'error de cadascun dels dos raonaments.
2. b) Escriu una conclusió correcta sobre el que l'experiment permet afirmar quant a la moneda.

Dos camions de repartiment, $A$ i $B$, arriben a un moll de descàrrega de forma independent i aleatòria entre les 12:00 i les 13:00 hores. El camió $A$ necessita 15 minuts per descarregar, mentre que el camió $B$ en necessita 10. Si un camió arriba i el moll està ocupat, ha d'esperar. Utilitzant la probabilitat geomètrica (representant el temps d'arribada de $A$ en l'eix X i el de $B$ en l'eix Y), calcula la probabilitat que cap dels dos camions hagi d'esperar l'altre.

Una cooperativa agrícola de Múrcia analitza el risc primaveral de patir danys per dos fenòmens meteorològics incompatibles en un mateix dia: una gelada tardana ($H$) o una onada de calor prematura ($C$). Es disposa d'una sèrie històrica d'AEMET amb els registres dels darrers 200 dies de primavera equivalents, on hi va haver 16 dies amb gelada i 24 dies amb onada de calor.

Tres entitats presenten informes amb propostes diferents:

• Informe 1: Assigna $P(H) = 16/200 = 0,08$ i $P(C) = 24/200 = 0,12$, justificant que aquestes freqüències reflecteixen fidelment la llei dels grans nombres.

• Informe 2: Argumenta que, com que no hi ha hagut cap gelada en les tres darreres primaveres, la probabilitat de gelada per a la pròxima primavera ha de pujar almenys a $0,25$, ja que «la natura tendeix a compensar les anomalies a curt termini per mantenir la mitjana històrica».

• Informe 3: Ajusta les probabilitats segons projeccions climàtiques dinàmiques i proposa un grau de creença raonat: $P(H) = 0,05$, $P(C) = 0,35$ i probabilitat que el clima sigui temperat (sense gelada ni onada de calor) igual a $0,60$.

1. a) Classifica la interpretació de la probabilitat utilitzada en cadascun dels tres informes (Laplace, freqüentista, subjectiva o fal·laç).
2. b) Refuta amb arguments matemàtics l'afirmació de l'Informe 2: explica la diferència fonamental entre «compensació» (fal·làcia del jugador) i «dilució» (llei dels grans nombres) quan el nombre d'anys observats tendeix a infinit.
3. c) Comprova si l'assignació de l'Informe 3 és coherent amb els axiomes de Kolmogorov de la probabilitat. En cas afirmatiu, calcula a partir d'aquesta la probabilitat que es registri algun esdeveniment climàtic extrem ($H \cup C$) i justifica si és legítim utilitzar probabilitats subjectives en la presa de decisions quan les condicions històriques deixen de ser estacionàries.

Dues investigadores, l'Alba i la Beatriz, s'han citat al laboratori del Parc Tecnològic de Màlaga entre les 10:00 i les 11:00 del matí. Cadascuna arribarà de manera independent i a l'atzar en algun instant d'aquesta hora, amb distribució uniforme. L'Alba esperarà com a màxim 10 minuts la Beatriz, mentre que la Beatriz esperarà l'Alba un màxim de $k$ minuts (on $0 < k \le 60$). Transcorregut el seu respectiu temps d'espera, qui hagi arribat se n'anirà.

Un estudiant intenta resoldre el problema per al cas $k = 10\text{ minuts}$ i raona així:

«Cada investigadora pot arribar en qualsevol dels 60 minuts de l'hora, per tant hi ha $60 \cdot 60 = 3600$ parells de minuts possibles. Perquè es trobin, la diferència entre els seus minuts d'arribada ha de ser com a màxim de 10 minuts (és a dir, $-10, -9, \dots, 0, \dots, 9, 10$), cosa que dóna 21 diferències possibles. Per la regla de Laplace, la probabilitat de trobar-se és $21/3600 \approx 0,0058$».

1. a) Explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per l'estudiant: un sobre la naturalesa de l'espai mostral (discret vs. continu) i un altre sobre la no-equiprobabilitat de les diferències d'arribada.
2. b) Modela el problema mitjançant probabilitat geomètrica en el recinte $[0, 60] \times [0, 60]$ del pla cartesià, on $x$ i $y$ representen els minuts d'arribada de l'Alba i la Beatriz respectivament. Planteja les inequacions que delimiten la regió favorable i calcula la probabilitat exacta de trobada quan $k = 10\text{ minuts}$.
3. c) Problema invers: Si la direcció del centre exigeix que la probabilitat que ambdues investigadores coincideixin sigui exactament de $7/16 = 0,4375$, calcula el valor exacte de minuts $k$ que la Beatriz s'ha de comprometre a esperar l'Alba.