Integración por cambio de variable
La regla de la cadena dice que $\big(g(u(x))\big)' = g'(u(x))\cdot u'(x)$. Leída al revés: si el integrando tiene la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, su primitiva es $G(u(x))$, siendo $G$ una primitiva de $g$. Cambiar de variable es, sencillamente, ponerle nombre a esa $u(x)$ para no perderla de vista.
Cadena al revés: reconocer $g(u(x))\cdot u'(x)$
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente…
En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:
$$\int e^{x/2} \, dx$$El cambio explícito paso a paso
Cuando la estructura no se ve a simple vista, se nombra $u=u(x)$ por escrito, se despeja $dx$ y se sustituye todo —incluido el $dx$— en función de $u$.
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Cambios con raíces y funciones compuestas
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$