Exercicis: Integració per canvi de variable

Un equip d'enginyers de so està analitzant l'ona de pressió d'un nou sintetitzador. La funció que descriu l'acumulació d'energia ve donada per la integral d'una potència composta. Calcula la primitiva següent utilitzant el canvi de variable $t = 3x - 5$:

Per calcular l'àrea d'una secció d'un panell solar corbat, un arquitecte necessita resoldre una integral irracional. Obtén la primitiva de la funció següent fent el canvi de variable suggerit $t = 2x + 1$:

En el disseny d'una rampa per a un skatepark, s'utilitza una corba exponencial per suavitzar la transició. Troba la família de funcions primitives de l'expressió següent utilitzant la substitució $u = \frac{x}{2}$:

Un programador de videojocs està calculant la trajectòria oscil·latòria d'un projectil en una atmosfera amb resistència. Determina la primitiva de la funció trigonomètrica següent mitjançant el canvi $t = 4x$:

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ fent el canvi de variable $t = 5x + 2$. Recorda que aquest mètode et permetrà obtenir una integral de tipus logarítmic de forma més estructurada.

A vegades, el canvi de variable ens ajuda a simplificar expressions on una funció i la seva derivada apareixen multiplicades. Resol la integral següent triant el canvi $t = x^2 + 3$:

Calcula la primitiva de la funció següent utilitzant el canvi de variable $t = e^x$. Observa com la presència de la derivada de l'exponencial al numerador facilita la resolució:

Determina la primitiva de la funció $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mitjançant el canvi de variable $t = \ln(x)$. Aquest exercici és fonamental per identificar patrons on el diferencial $dt$ consumeix part de l'expressió original.

En Marcos ha de calcular la primitiva de la funció $f(x) = (4x - 1)^5$ i escriu al seu examen:

justificant que ha aplicat la regla de la potència sumant 1 a l'exponent i dividint entre el nou exponent.

1. a) Demostra, derivant el resultat que va obtenir en Marcos, per què la seva primitiva és errònia.
2. b) Explica quin element essencial de la regla de la cadena va oblidar compensar en el seu desenvolupament.
3. c) Obtén la primitiva correcta ajustant la constant que falta perquè aparegui la derivada de la base o, alternativament, aplicant el canvi de variable formal $u = 4x - 1$.

Per calcular la família de primitives de la funció racional $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• L'Elena sosté que la integral és «gairebé immediata» perquè el numerador és exactament la derivada del denominador, per la qual cosa aplica de manera directa la fórmula $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx = \ln|u(x)| + C$.

• En Sergio desconfia de resoldre-la a simple vista i prefereix aplicar formalment el mètode de substitució definint $u = x^2 + 4$, trobant $du$ i aïllant $dx$ per transformar la integral.

1. a) Desenvolupa detalladament la resolució seguint el procediment de l'Elena i també seguint el d'en Sergio.
2. b) Compara tots dos mètodes i justifica per què el de l'Elena estalvia temps en aquest cas específic sense risc d'error, indicant a més en quines circumstàncies algebraiques el procediment sistemàtic d'en Sergio resulta més segur.

En el disseny d'una rampa per a un skatepark, els enginyers han determinat que el perfil lateral segueix el pendent d'una funció la primitiva de la qual requereix resoldre la integral següent. Utilitza el canvi de variable $t^2 = x + 3$ per calcular la família de funcions primitives de:

Un laboratori biològic estudia la velocitat de creixement d'una població de bacteris. La funció de creixement ve donada per una expressió que requereix integrar el quocient següent. Calcula la primitiva utilitzant el canvi de variable $t = e^x$:

En l'estudi de circuits de corrent altern, apareix amb freqüència la necessitat d'integrar funcions trigonomètriques combinades. Troba la primitiva de la funció següent fent el canvi de variable $t = \cos x$:

Per analitzar la intensitat d'un senyal acústic en decibels, un tècnic de so ha de trobar la funció integral de la pressió sonora. Calcula la integral indefinida següent aplicant el canvi de variable $t = \ln x$:

Calcula la primitiva de la funció següent amb radicals de diferent índex. Per fer-ho, utilitza un canvi de variable del tipus $x = t^n$, on $n$ sigui el mínim comú múltiple dels índexs de les arrels:

Troba la família de primitives de la funció racional següent que conté una arrel quadrada al denominador. Es suggereix emprar el canvi de variable $t = \sqrt{x - 1}$ per simplificar l'expressió:

Un dron de vigilància es desplaça de manera que la seva velocitat en cada instant $t > 1$ ve donada per la funció $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si es sap que la posició és la integral de la velocitat, troba l'expressió de la distància recorreguda mitjançant el canvi $u = \ln t$:

Calcula la integral indefinida següent mitjançant el canvi de variable $t = \sin x$. Para atenció a com transformar el diferencial i les potències restants de $\cos x$ utilitzant la identitat fonamental de la trigonometria:

Durant un episodi d'altes temperatures registrat per l'AEMET a Còrdova, la potència addicional demandada a la xarxa elèctrica a causa de l'ús intensiu de sistemes de climatització evoluciona segons la taxa de variació instantània:

on $t$ és el temps mesurat en hores transcorregudes des de les 12:00 ($0 \le t \le 6$) i $p(t)$ ve expressada en megawatts per hora ($\text{MW/h}$).

1. a) Modela la funció d'energia acumulada consumida calculant la família de primitives $E(t) = \int p(t)\, dt$ mitjançant el canvi de variable $u = t^2 + 16$.
2. b) Sabent que a les 12:00 ($t = 0$) el comptador d'energia acumulada marcava $240\text{ MWh}$, determina de manera raonada el valor de la constant d'integració $C$ i escriu la funció particular $E(t)$.
3. c) A partir de la funció obtinguda, calcula quants megawatts-hora ($\text{MWh}$) addicionals ha consumit la comarca entre les 12:00 ($t = 0$) i les 15:00 ($t = 3$).

Un equip docent dissenya un examen amb un repte invers sobre primitives compostes de tipus potència. Desitgen que la solució a una integral indefinida sigui:

i que procedeixi d'integrar una funció racional de la forma:

on $a$ i $b$ són constants reals fixes.

1. a) Deriva la funció $F(x)$ aplicant la regla de la cadena i dedueix els valors numèrics exactes dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixi $\int f(x)\, dx = F(x)$.
2. b) Generalitza el raonament: quina relació de proporcionalitat ha de guardar obligatòriament el numerador $m \cdot x + n$ respecte a la derivada del polinomi del denominador perquè qualsevol integral del tipus $\int \frac{m \cdot x + n}{(x^2 + 4x + 7)^k}\, dx$ (amb $k > 1$) es pugui resoldre com una potència immediata de tipus $u'(x) \cdot [u(x)]^{-k}$ sense necessitat de recórrer a la descomposició en fraccions simples?

Calcula la integral indefinida de la funció següent, que representa la taxa de variació del volum d'aire als pulmons d'un esportista durant un entrenament d'alta intensitat:

Per resoldre-la, proposa un canvi de variable que elimini l'arrel quadrada del denominador.

Determina la família de primitives de la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.

En el disseny d'una rampa per a un skatepark, un enginyer necessita trobar la primitiva de la funció de pendent definida per:

Fes el canvi de variable adequat per transformar aquesta integral trigonomètrica en una integral racional i resol-la mitjançant la descomposició en fraccions simples.

Troba la primitiva de la funció $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que passa pel punt $(0, 0)$. Per fer-ho, utilitza el canvi de variable $t^2 = e^x + 1$ i recorda desfer el canvi quan hagis acabat el procés.

La velocitat d'un dron de reconeixement ve donada per l'expressió $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, on $t$ és el temps en segons ($t > 0$). Si es sap que en l'instant inicial de la mesura ($t=1$) el dron es trobava en la posició $s=0$, obtén la funció de posició $s(t)$ mitjançant el canvi de variable $u = \ln t$.

Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.

Suggeriment: Fes el canvi de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Hauràs d'aïllar $x$ i calcular el seu diferencial $dx$ amb atenció.

Un equip d'arquitectes està modelant la curvatura d'un nou túnel, la secció transversal del qual respon a la integral:

Calcula la primitiva general utilitzant la substitució $t = \sqrt{x+1}$.

Resol la integral següent que combina logaritmes anidats, típica dels reptes de final d'unitat de nivell avançat:

Indica pas a pas els dos canvis de variable successius que faries per simplificar l'expressió fins a convertir-la en una integral immediata.

Considera la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$, definida per a $x \ge 0$, la primitiva de la qual $F(x)$ verifica la condició inicial $F(0) = 0$.

1. a) Estima: Analitza raonadament com es comporta el quocient $\frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$ quan la variable $x$ pren valors extremadament grans ($x \to +\infty$). A partir d'aquest valor límit de l'integrand, dedueix quin tipus de creixement asimptòtic (lineal, logarítmic, potencial...) ha d'exhibir la primitiva $F(x)$ i estima raonadament quina hauria de ser el pendent asimptòtic de la seva gràfica per a valors grans de $x$.
2. b) Calcula: Obtén la primitiva formal $\int \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}\, dx$ utilitzant el canvi de variable $t = \sqrt{x}$ (és a dir, $x = t^2$, $dx = 2t\, dt$). A continuació, determina la funció concreta $F(x)$ imposant la condició $F(0) = 0$.
3. c) Comprova: Estudia el terme dominant de la funció $F(x)$ obtinguda a l'apartat anterior quan $x \to +\infty$ i raona si el resultat analític confirma o refuta l'estimació que has realitzat a l'apartat a).

Per resoldre la primitiva $I = \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}\, dx$, el departament de matemàtiques proposa contrastar dos canvis de variable diferents:

• Estratègia A (substituir el radicand): Definir $u = e^x + 1$, de manera que el radicand sigui $u$, i transformar la resta d'elements de l'integrand operant amb potències d'exponent fraccionari.

• Estratègia B (substituir l'arrel completa): Definir $t = \sqrt{e^x + 1}$ (o el que és equivalent, $t^2 = e^x + 1$), aïllar les potències de $e^x$ i diferenciar $2t\, dt = e^x\, dx$ per eliminar qualsevol arrel de l'integrand des del primer pas.

1. a) Desenvolupa completament l'Estratègia A, detallant com substitueixes $e^{2x}$ i $dx$, integrant en la variable $u$ i desfent el canvi fins a expressar la solució final en funció de $x$.
2. b) Desenvolupa completament l'Estratègia B, escrivint la integral resultant com un polinomi en la variable $t$, integrant i retornant a la variable original $x$.
3. c) Compara tots dos desenvolupaments: comprova si condueixen a expressions equivalents, explica quins avantatges operatius aporta erradicar d'arrel els exponents fraccionaris enfront del mètode estàndard i justifica quina de les dues estratègies resulta més robusta per evitar errors de càlcul en una prova d'avaluació.