Exercicis: Simetries en l'espai

En un programari de disseny de videojocs, un objecte situat en el punt $P(4, -2, 6)$ s'ha de reflectir respecte d'un punt de control (centre de simetria) ubicat a $M(1, 3, 2)$. Calcula les coordenades del punt simètric $P'$ on apareixerà l'objecte reflectit.

Es sap que el punt $A'(0, 8, -4)$ és el simètric de $A(2, -2, 6)$ respecte d'un centre de simetria $C$. Determina les coordenades del dit centre $C$ utilitzant la relació de punt mitjà.

Calcula el punt simètric de $Q(3, -5, 7)$ respecte al pla coordenat $XY$.

Pista: Recorda que l'equació del pla $XY$ és $z = 0$.

Troba el punt simètric de $P(1, 2, 3)$ respecte de la recta $r$ que coincideix amb l'eix $OX$.

Un raig làser surt del punt $A(2, 3, 4)$ i es reflecteix en un mirall pla l'equació del qual és $\pi: y = 5$. Determina les coordenades del punt simètric $A'$ respecte del dit pla.

Atès el punt $P(1, 0, 1)$, troba el seu simètric respecte del pla $\pi: x + y + z = 5$ seguint aquests passos:

1. Troba la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa per $P$.

2. Calcula el punt d'intersecció $M$ entre la recta $r$ i el pla $\pi$ (peu de la perpendicular).

3. Utilitza $M$ com a punt mitjà per a trobar el simètric $P'$.

Calcula el punt simètric de $B(5, 5, 5)$ respecte a la recta $s$ donada per:

Nota: Aquesta és una recta vertical, paral·lela a l'eix $OZ$, que passa pel punt $(1, 2, 0)$.

La figura mostra la vista des de dalt (pla $XY$): la recta $s$, en ser vertical, es veu com un punt, i també es veu la projecció de $B$.

En un cristall amb estructura de paral·lelogram, es coneixen tres vèrtexs: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ i $C(4, 5, 6)$. Si el centre del paral·lelogram $M$ és el centre de simetria que connecta vèrtexs oposats, troba el quart vèrtex $D$ sabent que és el simètric de $B$ respecte del punt mitjà del segment $AC$.

Un dron submarí es troba en la posició $D(4, -2, -5)$ (el pla XY representa el nivell del mar). Primer, ascendeix verticalment una certa distància aplicant el vector de traslació $\vec{v} = (0, 0, 5)$. A continuació, emet un pols de sonar que es reflecteix especularment en el fons marí, el qual és completament pla i està definit per l'equació $z = -10$. Quines són les coordenades del punt simètric de la nova posició del dron respecte del fons marí?

La Lucía ha de calcular les coordenades del punt simètric de $P(1, 0, -2)$ respecte al pla $\pi: 2x - y + z + 5 = 0$. En el seu examen desenvolupa el següent:

1r Escriu la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que passa per $P$: $r: (x, y, z) = (1 + 2t, -t, -2 + t)$.

2n Substitueix les equacions paramètriques de $r$ en el pla $\pi$ per trobar la intersecció:

3r Substitueix el paràmetre $t$ en la recta i obté el punt $M\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$.

4t Conclou: «El punt simètric buscat és $P'\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, -\frac{17}{6}\right)$».

1. a) Assenyala l'error conceptual comès per la Lucía i explica, basant-te en la distància dels punts al pla $\pi$, per què el seu resultat és geomètricament impossible.
2. b) Corregeix el procediment i calcula les coordenades correctes del punt simètric $P'$.

Es considera el punt $P(4, 2, -1)$ i el pla $\pi: x + y - 2 = 0$.

1. a) Abans de fer càlculs analítics detallats, observa el vector normal del pla $\pi$ i respon de manera raonada: quina coordenada de $P$ romandrà invariant en el seu punt simètric $P'$? A més, tenint en compte que les coordenades inicials de $P$ verifiquen $x + y = 6 > 2$, estima raonadament si les coordenades $x$ i $y$ de $P'$ hauran de ser més grans o més petites que les de $P$.
2. b) Determina analíticament la projecció ortogonal $M$ de $P$ sobre $\pi$ i troba les coordenades del simètric $P'$ aplicant la relació del punt mitjà.
3. c) Comprova si els valors numèrics obtinguts per a $P'$ confirmen les estimacions geomètriques que has fet a l'apartat a).

Un arquitecte està dissenyant una estructura metàl·lica i necessita col·locar dos suports en punts que siguin simètrics respecte del centre d'una biga principal. Si un dels suports ha d'estar en el punt $P(3, -2, 4)$ i el centre de la biga es troba a $M(1, 2, 1)$, determina les coordenades on s'ha de situar el segon suport $P'$.

Calcula les coordenades del punt $Q$, que és el simètric del punt $P(1, 0, 5)$ respecte del pla d'equació $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explica breument els passos seguits (obtenció de la recta perpendicular, punt de tall i punt mitjà).

Donada la recta $r$ definida per les equacions paramètriques:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Troba el punt simètric de $A(3, 2, 1)$ respecte de la dita recta.

En un estudi de realitat virtual, un objecte situat a $V(2, 4, 6)$ es reflecteix sobre un mirall pla que coincideix amb el pla coordenat $OXY$ ($z=0$).

1. a) Determina el punt simètric $V'$.
2. b) Si el mirall es desplaça paral·lelament fins a la posició $\pi: z = 2$, quin seria el nou punt simètric $V''$?

Considera els punts $A(1, 1, 1)$ i $B(3, 5, 5)$. Troba l'equació del pla $\pi$ que actua com a "pla de simetria" entre tots dos punts (és a dir, el pla respecte del qual $A$ i $B$ són simètrics).

Es sap que el punt $P'(5, -3, 0)$ és el simètric de $P(1, 1, 0)$ respecte a una recta $r$. Si el vector director de la recta és $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina l'equació contínua de la recta $r$.

Un raig làser parteix del punt $A(1, 2, 3)$, rebota en un cristall pla la equació del qual és $\pi: x + y + z = 12$ i arriba al punt $B$. Si sabem que el punt on el làser toca el cristall és el punt d'incidència mínima (el punt mitjà de la trajectòria si $A$ i $B$ fossin simètrics), troba les coordenades de $B$ sabent que és el simètric de $A$ respecte del pla $\pi$.

Determina el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè els punts $P(1, 2, -1)$ i $Q(a, b, 3)$ siguin simètrics respecte del punt $C(0, 1, 1)$. Un cop trobats, comprova si el vector $\vec{PQ}$ és paral·lel al vector $\vec{u} = (1, 1, -4)$.

Se sap que el punt $P'(-1, 5, 2)$ és el simètric de $P(3, 1, -2)$ respecte a un pla de reflexió $\pi$ desconegut.

1. a) Dedueix raonadament l'equació general del pla $\pi$. Justifica cada pas explicant quines dues propietats geomètriques fonamentals relacionen el segment $PP'$ amb el pla de simetria.
2. b) Una recta de l'espai és globalment invariant per una simetria especular (és a dir, la seva recta simètrica coincideix amb ella mateixa, $r' = r$) si i només si compleix una de dues condicions geomètriques possibles respecte al pla $\pi$. Enuncia raonadament quines són aquestes dues condicions i determina si la recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}$ és invariant respecte al pla $\pi$ trobat a l'apartat anterior.

En el projecte de modernització del túnel de la M-30 a Madrid, s'utilitza un sistema tridimensional de coordenades (en metres) per col·locar sensors acústics simètrics. La paret lateral esquerra del tram queda modelitzada pel pla $\pi: 2x - y + 2z - 12 = 0$. A la paret oposada s'ha fixat un primer sensor en el punt $P(7, 1, 4)$.

1. a) Per motius de calibratge i balanç acústic, s'ha de col·locar un segon sensor a la posició $P'$, simètrica de $P$ respecte a la paret $\pi$. Determina raonadament les coordenades on s'ha d'ancorar $P'$.
2. b) Un cable de dades connecta el sensor $P$ amb una caixa de derivació situada a $C(-2, 1, 4)$. L'equip tècnic proposa ubicar la caixa simètrica corresponent en el punt $C^*(2, -1, 5)$. Sense necessitat de calcular tota la recta simètrica, comprova si $C^*$ és exactament el simètric de $C$ respecte a $\pi$. En cas negatiu, identifica quina comprovació geomètrica ràpida (la direcció perpendicular o la posició del punt mitjà) delata l'error i calcula la posició correcta $C'$.

Un dron de vigilància està situat en el punt $A(1, -2, 3)$. Per a evitar ser detectat per un radar, s'ha de desplaçar al punt $B(5, 4, 1)$ fent una escala tècnica en una plataforma plana representada pel pla $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determina les coordenades d'un punt $P$ en el dit pla de manera que la trajectòria total $AP + PB$ sigui mínima.

Indicació: Utilitza la simetria del punt $A$ respecte del pla $\pi$ per a resoldre aquest problema d'optimització geomètrica.

Es projecta un feix de llum làser que segueix la trajectòria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. El raig incideix sobre una superfície metàl·lica polida situada en el pla $XY$ (pla $z=0$). Calcula l'equació de la recta $s$ que conté el raig reflectit.

Nota: La recta reflectida és la simètrica de la recta incident respecte del pla d'incidència.

Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè el punt simètric de $P(1, k, 2)$ respecte de la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ pertanyi al pla $\pi: 3x - y + z - 10 = 0$.

Considera els punts $A(2, 0, 1)$ i $B(0, 2, -1)$. Es sap que el punt $B$ és el simètric de $A$ respecte d'una recta $r$ que passa per l'origen de coordenades. Troba les equacions implícites de la dita recta $r$.

Troba l'equació del pla $\pi'$ que és simètric al pla $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ respecte del pla de simetria $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Ajuda: Analitza la posició relativa de tots dos plans. Si són secants, la recta intersecció pertanyerà al pla buscat.

Siguin les rectes $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ i $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$. Calcula el punt simètric de $Q(0, 0, 10)$ respecte al pla que conté totes dues rectes. Si no existeix aquest pla, raona per què i calcula el simètric de $Q$ respecte a la recta $s$.

Donat el punt $A(1, 2, 3)$, calcula les coordenades dels seus simètrics respecte als tres plans coordenats ($XY$, $XZ$ i $YZ$). Determina si els quatre punts (l'original i els tres simètrics) són coplanaris i, en cas afirmatiu, troba l'equació del pla que els conté.

En un projecte d'arquitectura es vol construir una estructura simètrica respecte a un pilar central representat per la recta $r: x-1 = y = \dfrac{z+2}{2}$. Un dels vèrtexs de l'estructura és al punt $V(3, 1, 0)$.

1. a) Troba el vèrtex simètric $V'$ de $V$ respecte al pilar $r$.

1. b) Calcula el volum del tetràedre els vèrtexs del qual són $V$, $V'$, l'origen de coordenades $O(0,0,0)$ i el punt $A(1, 0, -2)$ de la recta $r$.

Per trobar la recta simètrica $s'$ d'una recta $s$ respecte a un pla $\pi$, se solen comparar dues estratègies:

• Mètode A: Trobar el punt d'intersecció $I = s \cap \pi$ (que pel fet d'estar en el pla és invariant, $I' = I$), calcular el simètric $A'$ d'un altre punt qualsevol $A \in s$ respecte a $\pi$, i traçar la recta que passa per $I$ i $A'$.

• Mètode B: Seleccionar dos punts diferents $A, B \in s$, calcular de manera independent els seus simètrics $A'$ i $B'$ respecte a $\pi$, i escriure la recta que uneix $A'$ i $B'$.

1. a) Analitza críticament tots dos camins: per a quina posició relativa de la recta $s$ respecte al pla $\pi$ el Mètode A resulta inviable? Com permet la geometria del problema simplificar el càlcul en aquest cas particular sense necessitat de reflectir dos punts complets com exigiria el Mètode B estàndard?
2. b) Donades la recta $s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$ i el pla $\pi: x + 2y + z + 5 = 0$, analitza la seva posició relativa, justifica quina és la via de resolució més eficient i obtén les equacions contínues de la recta simètrica $s'$.

En l'espai tridimensional es consideren els punts $P(2, 3, 1)$ i $P'(-2, 1, 5)$, que són simètrics respecte a un eix de simetria axial (una recta $e$).

1. a) A diferència del que passa en el pla $\mathbb{R}^2$, on dos punts simètrics determinen un únic eix de simetria, a $\mathbb{R}^3$ hi ha infinites rectes que poden actuar com a eix de simetria per a la parella $P$ i $P'$. Explica raonadament per què passa això i descriu quin lloc geomètric formen tots els possibles eixos de simetria axial associats a aquests punts.
2. b) S'afegeix la restricció que l'eix de simetria $e$ ha d'estar contingut en el pla $\pi: x + y + z - 5 = 0$. Justifica per què aquesta condició és geomètricament compatible amb les posicions de $P$ i $P'$, i obtén les equacions contínues de l'eix de simetria $e$.
3. c) Comprova analíticament la validesa de la recta $e$ obtinguda verificant dues condicions mètriques essencials: la pertinença del punt mitjà de $PP'$ a la recta $e$ i l'ortogonalitat entre el vector director de $e$ i el vector $\vec{PP'}$.