Simetrías en el espacio

En un software de diseño de videojuegos, un objeto situado en el punto $P(4, -2, 6)$ debe ser reflejado respecto a un punto de control (centro de simetría) ubicado en $M(1, 3, 2)$. Calcula las coordenadas del punto simétrico $P'$ donde aparecerá el objeto reflejado.

Se sabe que el punto $A'(0, 8, -4)$ es el simétrico de $A(2, -2, 6)$ respecto a un centro de simetría $C$. Determina las coordenadas de dicho centro $C$ utilizando la relación de punto medio.

Calcula el punto simétrico de $Q(3, -5, 7)$ respecto al plano coordenado $XY$.

Pista: Recuerda que la ecuación del plano $XY$ es $z = 0$.

Dado el punto $P(1, 0, 1)$, halla su simétrico respecto al plano $\pi: x + y + z = 5$ siguiendo estos pasos:

1. Halla la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$.

2. Calcula el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ (pie de la perpendicular).

3. Utiliza $M$ como punto medio para hallar el simétrico $P'$.

Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es el simétrico del punto $P(1, 0, 5)$ respecto al plano de ecuación $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explica brevemente los pasos seguidos (obtención de la recta perpendicular, punto de corte y punto medio).

Halla el punto simétrico de $P(1, 2, 3)$ respecto a la recta $r$ que coincide con el eje $OX$.

Pista: Los puntos del eje $OX$ tienen la forma $(\lambda, 0, 0)$.

Calcula el punto simétrico de $B(5, 5, 5)$ respecto a la recta $s$ dada por:

Nota: Esta es una recta vertical paralela al eje OZ que pasa por el punto $(1, 2, 0)$.

Dada la recta $r$ definida por las ecuaciones paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Halla el punto simétrico de $A(3, 2, 1)$ respecto a dicha recta.

Se proyecta un haz de luz láser que sigue la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. El rayo incide sobre una superficie metálica pulida situada en el plano $XY$ (plano $z=0$). Calcula la ecuación de la recta $s$ que contiene al rayo reflejado.

Nota: La recta reflejada es la simétrica de la recta incidente respecto al plano de incidencia.

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(3, 5, 5)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que actúa como "plano de simetría" entre ambos puntos (es decir, el plano respecto al cual $A$ y $B$ son simétricos).

Pista: Este plano es el plano mediador del segmento $AB$.