Exercicis: Paral·lelisme i perpendicularitat entre rectes i plans en l'espai

Determina la posició relativa de la recta $r$ i el pla $\pi$ comprovant la relació entre els seus vectors característics. La recta ve donada per l'equació contínua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ i el pla per l'equació general $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Escriu un vector director $\vec{v}_r$ de la recta i un vector normal $\vec{n}$ del pla.

1. b) El vector director de la recta és paral·lel al vector normal del pla? Justifica la teva resposta.

1. c) Justifica quina implicació geomètrica té aquest fet per a la posició relativa de $r$ i $\pi$.

Un braç robòtic en una fàbrica de muntatge es mou seguint una trajectòria rectilínia $s$. La trajectòria passa pel punt de control $A(2, -1, 5)$ i ha de ser perpendicular al panell de suport, que està representat pel pla $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Obtén les equacions paramètriques de la recta $s$ que segueix el braç robòtic.

Comprova si el pla $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ i el pla $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ són paral·lels. Per a fer-ho, analitza si els seus vectors normals són proporcionals. En cas de ser paral·lels, raona si són el mateix pla (coincidents) o si no tenen cap punt en comú.

Atès el punt $Q(3, -1, 4)$ i el pla $\alpha: 2x + y = 0$, troba l'equació de la recta $r$ que passa per $Q$ i és perpendicular al pla $\alpha$. Tingues una cura especial en identificar les coordenades del vector normal del pla, prestant atenció a l'absència de la variable $z$.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sigui paral·lela al pla $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recorda que perquè una recta i un pla siguin paral·lels, el producte escalar dels seus vectors característics ha de ser igual a zero.

En un projecte d'energia solar, s'instal·la un panell pla representat pel pla $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un màstil de suport està definit per la recta $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. Durant el migdia, els raigs de sol incideixen perpendicularment al panell. Calcula l'equació de la recta $s$ que representa la projecció ortogonal del màstil $r$ sobre el panell solar $\pi$ (la seva "ombra" sota incidència perpendicular). Determina també el punt on el màstil travessa el panell.

Es considera la recta $r$ que passa pels punts $A(1, 0, 2)$ i $B(2, 1, 0)$. Troba les coordenades d'un punt $P$ situat en el pla $\pi \equiv x + y + z = 10$, de manera que el segment que uneix el punt $P$ amb la seva projecció ortogonal sobre la recta $r$ sigui perpendicular al pla $\pi$.

Sigui la família de plans $\pi_a \equiv ax + y + z = a$. Determina el valor de $a$ perquè la projecció ortogonal de la recta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sobre el pla $\pi_a$ sigui una recta paral·lela al pla coordenat $YZ$. Un cop trobat $a$, escriu l'equació d'aquesta recta projecció en forma paramètrica.

Un arquitecte dissenya una estructura piramidal amb vèrtex a $V(2, 2, 6)$ i la base de la qual està continguda en el pla $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Troba el peu de l'altura de la piràmide (projecció ortogonal de $V$ sobre $\pi$) i determina el volum del tetraedre format per l'origen de coordenades i els punts d'intersecció del pla $\pi$ amb els tres eixos cartesians.

L'Álvaro ha de classificar la posició relativa entre la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{1}$ i el pla $\pi: 2x - y + z + 4 = 0$. En la seva resolució escriu el següent:

«El vector director de la recta és $\vec{v} = (2, -1, 1)$ i el vector normal del pla és $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Com que $\vec{v} = \vec{n}$, tots dos vectors són proporcionals, la qual cosa demostra que la recta i el pla són paral·lels».

1. a) Explica quin és l'error conceptual de l'Álvaro. Descriu la posició geomètrica que mantenen realment una recta i un pla quan els seus vectors director i normal són proporcionals, basant-te en el significat del vector normal a una superfície plana.
2. b) Corregeix l'exercici: determina la veritable posició relativa entre $r$ i $\pi$ i troba les coordenades del seu punt de tall si existeix.

Se sap que la projecció ortogonal del punt exterior $P(3, -1, 2)$ sobre un pla desconegut $\pi$ és el punt $Q(1, 1, 0)$.

1. a) Justifica geomètricament per què el vector $\vec{QP}$ constitueix un vector normal al pla $\pi$ i escriu l'equació general d'aquest pla.
2. b) Escriu l'equació contínua d'una recta $r$ que passi pel punt $P$ i sigui estrictament paral·lela al pla $\pi$. Quantes rectes diferents compleixen aquestes dues condicions simultàniament? Justifica la teva resposta descrivint quina figura geomètrica formen totes aquestes rectes a l'espai.

Un arquitecte està dissenyant una rampa que es modela com un pla $\pi$ d'equació general $x + y + z - 6 = 0$. Per a instal·lar un sensor d'il·luminació, necessita conèixer la projecció ortogonal del punt $P(1, 2, 5)$ sobre el dit pla. Calcula les coordenades del punt $Q$ que representa la dita projecció (anomenat el peu de la perpendicular).

Troba la projecció ortogonal del punt $A(2, 0, -1)$ sobre la recta $r$ donada per la seva equació contínua:

Ajuda: Recorda que pots construir un pla auxiliar perpendicular a la recta que passi pel punt $A$.

Es projecta la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 0, 0)$ i $B(1, 1, 1)$, sobre el pla $\pi: x = 0$.

1. Troba la projecció ortogonal dels punts $A$ i $B$ sobre el pla.

2. Escriu l'equació de la recta projectada $r'$ que passa per aquests nous punts.

Un enginyer està dissenyant el trajecte d'un cable de fibra òptica que ha de ser paral·lel a un panell de protecció. El panell està representat pel pla $\pi: 2x - 3y + az = 5$ i la trajectòria del cable per la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$.

1. a) Determina el valor del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ perquè la trajectòria del cable sigui paral·lela al panell.
2. b) Per al valor de $a$ trobat, comprova si el cable està contingut en el panell o si existeix una distància constant entre ells.

Calcula l'equació del pla $\alpha$ que passa pel punt $P(1, 0, -2)$ i és perpendicular a la recta $s$ definida per la intersecció dels plans:

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina també el punt de tall entre la recta $s$ i el pla $\alpha$ trobat (projecció ortogonal de $P$ sobre $s$).

Donada la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ i el pla $\pi: 3x + y - z = 4$, troba l'equació del pla $\beta$ que compleix simultàniament:

1. Conté la recta $r$.

2. És perpendicular al pla $\pi$.

Considera els plans $\pi_1: x - 2y + z = 0$ i $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Determina l'equació de la recta $r$ que surgeix de la intersecció de tots dos plans.
2. b) Troba l'equació d'un pla $\pi_3$ que passi pel punt $Q(0, 0, 1)$ i sigui perpendicular a la recta $r$.

Es vol situar una antena en un punt $M$ d'un vessant pla representat pel pla $\pi: x + 2y + 2z = 9$. L'antena ha d'estar el més a prop possible d'una estació base situada en el punt $P(5, 4, 10)$.

1. a) Calcula les coordenades del punt $M$ (projecció ortogonal de $P$ sobre $\pi$).
2. b) Si l'antena s'ha de connectar a l'estació mitjançant un cable rectilini, determina les equacions paramètriques de la recta que segueix aquest cable.

Determina la posició relativa del pla $\pi: mx + y - z = 1$ i la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en funció del paràmetre real $m$. Especifica per a quins valors són perpendiculars i per a quins la recta és paral·lela al pla.

Dues rectes en l'espai, $a$ i $b$, es creuen sense tallar-se. Si la recta $a$ és paral·lela a un pla horitzontal $\pi$ i la recta $b$ és perpendicular a aquest mateix pla $\pi$:

1. a) Quin angle formen les direccions de les rectes $a$ i $b$?
2. b) És possible trobar un pla que contingui a la vegada les dues rectes? Per què?
3. c) Podem afirmar que les dues rectes són perpendiculars encara que no tinguin cap punt en comú?

Observa el racó d'una habitació on es troben dues parets i el terra. Aquest conjunt forma un angle tríedre al vèrtex de la cantonada inferior.

1. a) Quant mesuren els tres angles rectilinis que defineixen les cares d'aquest tríedre?
2. b) Quant suma la mesura dels tres angles díedres que es formen entre les parets i el terra?
3. c) Si una mosca vola seguint una trajectòria paral·lela a la línia del sòcol d'una paret, és aquesta trajectòria paral·lela també al pla de l'altra paret? Explica per què.

Donades la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-1}$ i el pla $\pi: x + y + z - 4 = 0$:

1. a) Comprova que la recta $r$ no és perpendicular al pla $\pi$ i troba el seu punt d'intersecció $I$.
2. b) Per determinar la projecció ortogonal de $r$ sobre $\pi$, dos estudiants valoren dos mètodes diferents:

• Mètode A (projecció de punts): com que $I$ ja pertany al pla, n'hi ha prou de projectar ortogonalment un altre punt qualsevol $P \in r$ ($P \neq I$) per obtenir $P'$, i la recta projectada serà la que passa per $I$ i $P'$.

• Mètode B (pla projectant): trobar l'equació del pla $\pi'$ que conté $r$ i és perpendicular a $\pi$, i expressar la projecció com la recta intersecció $\pi' \cap \pi$.

Aplica un dels dos mètodes per calcular la recta projectada. Després, raona quin mètode resulta computacionalment més àgil en aquest cas i quin dels dos continuaria sent aplicable si la recta $r$ fos estrictament paral·lela al pla $\pi$.

Considera la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ i el punt exterior $P(1, 2, 7)$.

1. a) Estima: El punt $A(1, 2, 1)$ pertany a la recta $r$. Observa que $P$ se situa exactament sobre la vertical d'$A$, però a més alçària ($z = 7$). Sabent que el vector director $\vec{v} = (1, 1, 2)$ avança al mateix temps cap a valors positius de $x$, $y$ i $z$, raona qualitativament abans de fer càlculs:

• Si la cota $z$ del peu de la perpendicular $P'$ (projecció ortogonal de $P$ sobre $r$) estarà compresa estrictament entre $1$ i $7$.

• Si les coordenades $x$ i $y$ d'aquest punt $P'$ seran més grans o més petites que les d'$A$.

1. b) Comprova: Obtén algebraicament les coordenades de $P'$ mitjançant la intersecció de $r$ amb el pla perpendicular a aquesta recta que passa per $P$. Comprova si els valors obtinguts confirmen les teves deduccions geomètriques prèvies.

Calcula les coordenades del punt $Q$, que és la projecció ortogonal del punt $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida per la següent equació contínua:

Troba el punt $P'$ que representa la projecció ortogonal del punt $P(1, 0, -3)$ sobre el pla $\pi$ d'equació:

Un focus de llum situat en un punt molt llunyà projecta raigs paral·lels a la direcció del vector $\vec{v} = (0, 0, -1)$. Si un cable d'acer segueix la trajectòria de la recta $r$, troba l'equació de l'ombra que projecta sobre una teulada plana representada per $\pi$:

Obtén l'equació implícita del pla projectant de la recta $r$ sobre el pla $\pi$. Recorda que el pla projectant és el pla perpendicular a $\pi$ que conté la recta $r$.

Un raig làser parteix del punt $P(1, -2, 3)$ i es dirigeix cap a un mirall pla representat per l'equació $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. El raig es reflecteix en el mirall seguint les lleis de la reflexió òptica (el raig incident, la normal al pla en el punt d'incidència i el raig reflectit estan en el mateix pla, i els angles d'incidència i reflexió són iguals).

Determina:

1. a) Les coordenades del punt d'incidència $Q$, sabent que el raig incident és perpendicular al pla $\pi$.
2. b) L'equació de la recta que conté el raig reflectit si, en lloc de ser perpendicular, el raig partís de $P$ i incidís en el pla en el punt $A(1, 0, 3)$.
3. c) Justifica raonadament la relació de paral·lelisme o perpendicularitat entre el raig incident de l'apartat a) i el vector normal del pla.

En el disseny d'una estructura metàl·lica per a un festival de música, s'han de col·locar dues bigues representades per les rectes:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ i $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Un enginyer necessita instal·lar una tercera biga de reforç, $t$, que compleixi simultàniament:

1. Que sigui perpendicular a les bigues $r$ i $s$.

2. Que passi pel punt d'intersecció de la recta $r$ amb el pla $XY$.

Obtén l'equació de la recta $t$ en forma contínua i determina si existeix algun punt on aquesta nova biga $t$ talli la biga $s$.

Donades les rectes $r$ i $s$ definides per:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ i $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè les rectes $r$ i $s$ siguin perpendiculars.
2. b) Per al valor de $a$ obtingut, són les rectes secants o es creuen?
3. c) Troba l'equació del pla que és paral·lel a $s$ i conté la recta $r$.

Considera el pla $\pi: x + y + z = 2$ i la família de rectes $r_m$ donades per:

$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$

1. a) Troba el valor de $m$ perquè la recta $r_m$ sigui paral·lela al pla $\pi$.
2. b) Per a aquest valor de $m$, estudia si la recta està continguda en el pla.
3. c) Calcula l'equació d'un pla $\pi'$ que sigui perpendicular a $\pi$ i que contingui la recta $r_m$ quan $m = 0$.

Troba l'equació de la recta $t$ que talla perpendicularment les rectes $r$ i $s$, sent:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ i $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Aquest exercici requereix que determinis la direcció de la «perpendicular comuna» i els plans auxiliars que permeten localitzar els punts de tall en cada recta.

Donats els punts $A(1, 2, 3)$ i $B(3, 2, 1)$, es demana:

1. a) Determinar l'equació del pla $\pi$ que és perpendicular al segment $AB$ i passa pel seu punt mitjà (pla mediador).
2. b) Donada la recta $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$, estudia la seva posició relativa amb el pla $\pi$ trobat.
3. c) Troba un punt $C$ en la recta $r$ de manera que el triangle $ABC$ sigui isòsceles amb el costat desigual $AB$.

Una antena de telecomunicacions es situa en el punt $A(5, 4, 3)$. Es vol llançar un cable d'acer que sigui perpendicular a una paret lateral representada pel pla $\pi: x + y = 10$.

1. a) Obtén l'equació de la recta $r$ que conté el cable.
2. b) El cable s'ha d'ancorar en un rail metàl·lic situat a la paret, l'equació del qual és la recta $s: \begin{cases} x + y = 10 \\ x - z = 2 \end{cases}$. Comprova si el cable (recta $r$) i el rail (recta $s$) es tallen o es creuen.
3. c) Calcula la distància mínima entre el cable i el rail si aquests no s'arribessin a tallar.

En una sala d'exposicions amb forma d'ortoedre de dimensions $10 \times 6 \times 4$ metres, s'instal·la un cable tensat que uneix un vèrtex del terra amb el punt mitjà de l'aresta superior oposada. Un segon cable uneix el centre del sostre amb el punt mitjà de l'aresta vertical oposada a aquest vèrtex.

1. a) Determina si hi ha algun punt on els cables es toquin (rectes secants) o si, per contra, es creuen en l'espai sense tocar-se.
2. b) Hi ha algun pla que sigui paral·lel a tots dos cables simultàniament? Justifica la resposta basant-te en les direccions dels cables.

En una obra d'estabilització geològica d'una trinxera ferroviària (ADIF), els topògrafs modelitzen el talús rocós mitjançant el pla $\pi: 2x - 2y + z - 6 = 0$ (en metres). Una màquina perforadora d'ancoratges avança segons la recta directriu $r: \frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-8}{-2}$.

1. a) Demostra que la perforació no incideix perpendicularment sobre el talús i troba les coordenades del punt d'impacte $P_0$ a la roca.
2. b) Per instal·lar una filera de testimonis d'auscultació a la roca, cal traçar la projecció ortogonal de la recta $r$ sobre el talús $\pi$. Obtén raonadament l'equació general del pla projectant de $r$ sobre $\pi$ i escriu les equacions de la trajectòria projectada en forma d'intersecció de dos plans. Explica el significat físic d'aquesta recta projectada en relació amb l'ombra que projectaria la barra de perforació si s'il·luminés amb un focus llunyà orientat perpendicularment a la superfície del talús.

Es vol trobar un pla desconegut $\pi$ que passa per l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$ i compleix simultàniament dues condicions geomètriques:

• Condició 1: El pla $\pi$ és perpendicular al pla $\pi_1: x - y + 2z - 1 = 0$.

• Condició 2: La projecció ortogonal de la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{0}$ sobre el pla $\pi$ es redueix a un únic punt.

1. a) A partir exclusivament de la Condició 2, dedueix de manera raonada la direcció del vector normal $\vec{n}_\pi$ del pla buscat, sense calcular plans projectants.
2. b) Comprova si la Condició 1 és compatible amb la direcció deduïda a l'apartat a). En cas afirmatiu, escriu l'equació general del pla $\pi$; en cas negatiu, explica raonadament quina impossibilitat geomètrica es produiria.
3. c) Obtén les equacions contínues d'una recta $s$ que passi pel punt $A(2, 3, -1)$ i sigui paral·lela alhora a tots dos plans, $\pi$ i $\pi_1$. Justifica per què el vector director de $s$ ha de coincidir amb la direcció de la recta de tall entre $\pi$ i $\pi_1$.