Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos en el espacio
Un ingeniero tiene que tender un cable perpendicular a un panel, o comprobar que un raíl es paralelo al suelo de una fábrica. En ambos casos la pregunta es la misma: ¿qué relación hay entre el vector director de la recta y el vector normal del plano? Y si un objeto necesita conocer su "sombra" sobre una superficie, la herramienta es la proyección ortogonal, que vas a construir siempre con un plano auxiliar perpendicular.
Recta y plano: paralelos o perpendiculares
Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ comprobando la relación entre sus vectores característicos. La recta viene dada por la ecuación continua…
Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ comprobando la relación entre sus vectores característicos. La recta viene dada por la ecuación continua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ y el plano por la ecuación general $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$. ¿Es el vector director de la recta paralelo al vector normal del plano? Justifica qué implicación geométrica tiene este hecho.
Dado el punto $Q(3, -1, 4)$ y el plano $\alpha: 2x + y = 0$, halla la ecuación de la recta $r$ que pasa por $Q$ y es perpendicular al plano $\alpha$. Ten especial…
Dado el punto $Q(3, -1, 4)$ y el plano $\alpha: 2x + y = 0$, halla la ecuación de la recta $r$ que pasa por $Q$ y es perpendicular al plano $\alpha$. Ten especial cuidado al identificar las coordenadas del vector normal del plano, prestando atención a la ausencia de la variable $z$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sea paralela al plano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recuerda que…
Halla el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sea paralela al plano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recuerda que para que una recta y un plano sean paralelos, el producto escalar de sus vectores característicos debe ser igual a cero.
Dos planos: paralelos o perpendiculares
Comprueba si el plano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ y el plano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ son paralelos. Para ello, analiza si sus vectores normales son proporcionales.…
Comprueba si el plano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ y el plano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ son paralelos. Para ello, analiza si sus vectores normales son proporcionales. En caso de ser paralelos, razona si son el mismo plano (coincidentes) o si no tienen ningún punto en común.
Determina la posición relativa del plano $\pi: mx + y - z = 1$ y la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en función del parámetro real $m$.…
Determina la posición relativa del plano $\pi: mx + y - z = 1$ y la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en función del parámetro real $m$. Especifica para qué valores son perpendiculares y para cuáles la recta es paralela al plano.
Proyección ortogonal de un punto
Un arquitecto está diseñando una rampa que se modela como un plano $\pi$ de ecuación general $x + y + z - 6 = 0$. Para instalar un sensor de iluminación, necesita…
Un arquitecto está diseñando una rampa que se modela como un plano $\pi$ de ecuación general $x + y + z - 6 = 0$. Para instalar un sensor de iluminación, necesita conocer la proyección ortogonal del punto $P(1, 2, 5)$ sobre dicho plano. Calcula las coordenadas del punto $Q$ que representa dicha proyección (llamado el pie de la perpendicular).
Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es la proyección ortogonal del punto $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida por la siguiente ecuación continua: $$r:…
Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es la proyección ortogonal del punto $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida por la siguiente ecuación continua:
$$r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z}{3}$$Halla el punto $P'$ que representa la proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -3)$ sobre el plano $\pi$ de ecuación: $$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$
Halla el punto $P'$ que representa la proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -3)$ sobre el plano $\pi$ de ecuación:
$$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$Proyección de una recta: el plano proyectante
Se proyecta la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(1, 1, 1)$, sobre el plano $\pi: x = 0$. 1. Halla la proyección ortogonal de los puntos $A$ y $B$…
Se proyecta la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(1, 1, 1)$, sobre el plano $\pi: x = 0$.
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Halla la proyección ortogonal de los puntos $A$ y $B$ sobre el plano.
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Escribe la ecuación de la recta proyectada $r'$ que pasa por esos nuevos puntos.
Obtén la ecuación implícita del plano proyectante de la recta $r$ sobre el plano $\pi$. Recuerda que el plano proyectante es el plano perpendicular a $\pi$ que contiene…
Obtén la ecuación implícita del plano proyectante de la recta $r$ sobre el plano $\pi$. Recuerda que el plano proyectante es el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a la recta $r$.
$$r: \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad \pi: 2x + y - z = 5$$Investigación 3D: cuándo una proyección se convierte en un punto
En una herramienta de geometría 3D crea el plano $z=0$, el punto $A=(0,0,2)$ y la recta $r_a:(x,y,z)=(0,0,2)+t(a,0,1)$ con un deslizador a que incluya 0. Predice qué cambia cuando a se anula. Construye dos puntos de la recta y sus proyecciones ortogonales sobre el plano; rota la vista para distinguir un cruce aparente de una intersección real.
Ahora compara $r:(t,0,0)$ y $s:(0,u,h)$ con un deslizador h. Para $h=0$ se cortan en el origen; para $h\ne0$ son cruzadas: igualar coordenadas exigiría simultáneamente $t=0$, $u=0$ y $h=0$. Su distancia es $|h|$. Entrega una tabla de casos, dos capturas y la prueba; una sola perspectiva en pantalla no demuestra que las rectas se corten.
Este esquema distingue los dos tipos de proyección: