Exercicis: Llocs geomètrics en l'espai

Dats els punts $A(2, -1, 3)$ i $B(4, 3, -1)$:

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per a un punt genèric $X(x, y, z)$.
2. b) Simplifica l'equació resultant fins a obtenir l'equació del pla mediador del segment $AB$.
3. c) Comprova que el punt mitjà de $AB$ pertany a aquest pla.

1. a) Troba l'equació del lloc geomètric dels punts de l'espai que disten $5$ unitats del punt $C(1, -2, 0)$.
2. b) Quina superfície és? Indica el seu centre i el seu radi.
3. c) Decideix, sense dibuixar, si el punt $P(4, 2, 0)$ pertany a aquesta superfície.

Un estudiant, en Marcos, ha de resoldre l'exercici següent: «Troba el lloc geomètric dels punts $X(x, y, z)$ de l'espai que equidisten dels plans $\pi_1: 2x - y + 2z - 3 = 0$ i $\pi_2: 3x + 4z - 5 = 0$». En Marcos escriu al seu examen:

«Plantejo la condició mètrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$, per la qual cosa igualo directament els valors absoluts: $|2x - y + 2z - 3| = |3x + 4z - 5|$. Suprimint les barres de valor absolut obtinc $2x - y + 2z - 3 = 3x + 4z - 5$, d'on es dedueix $-x - y - 2z + 2 = 0$. Per tant, el lloc geomètric buscat és el pla $x + y + 2z - 2 = 0$».

1. a) Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals greus comesos per en Marcos en el seu raonament.
2. b) Corregeix l'exercici desenvolupant adequadament la igualtat mètrica fins a obtenir les equacions generals dels dos plans bisectors, $\sigma_1$ i $\sigma_2$, que formen la solució completa.
3. c) Demostra analíticament, mitjançant el producte escalar dels seus vectors normals, que els dos plans bisectors obtinguts són perpendiculars entre si, tal com prediu la teoria geomètrica.

El pla mediador d'un segment $AB$ és $\pi: x - 2y + z - 3 = 0$. Un dels extrems del segment és el punt $A(0, 3, 3)$. Es vol reconstruir la posició de l'altre extrem $B$ resolent el problema de manera inversa:

1. a) Justifica, a partir de la definició geomètrica de pla mediador, quin ha de ser un vector director de la recta que uneix $A$ i $B$, i quina posició relativa té aquesta recta respecte al pla $\pi$.
2. b) Escriu les equacions paramètriques de la recta perpendicular a $\pi$ que passa pel punt $A$.
3. c) Calcula les coordenades del punt $M$ en què aquesta recta talla el pla $\pi$. Quin significat geomètric té $M$ respecte al segment $AB$?
4. d) Determina raonadament les coordenades de l'extrem $B$ i comprova que es compleix $\text{dist}(A, M) = \text{dist}(B, M)$.

Troba el lloc geomètric dels punts de l'espai que equidisten dels plans $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ i $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ fent servir la fórmula de la distància punt-pla.
2. b) Resol l'equació amb valor absolut distingint els dos casos possibles i dona les equacions dels plans resultants (plans bisectors).
3. c) Comprova que els dos plans obtinguts són perpendiculars entre si.

Dats els punts $A(1, 0, 2)$ i $B(3, 4, -2)$, es busca el lloc geomètric dels punts $X$ de l'espai tals que el triangle $ABX$ és rectangle a $X$, és a dir, els segments $AX$ i $BX$ són perpendiculars, com s'il·lustra a la figura.

1. a) Expressa la condició de perpendicularitat mitjançant el producte escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Desenvolupa la condició fins a obtenir una equació en $x$, $y$, $z$ i reescriu-la completant quadrats.
3. c) Identifica la superfície obtinguda: quina relació té el seu centre i el seu radi amb el segment $AB$? (És la versió espacial del teorema de Tales.)

1. a) Justifica que la distància d'un punt genèric $X(x, y, z)$ a l'eix $OZ$ és $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Troba l'equació del lloc geomètric dels punts que disten $3$ unitats de l'eix $OZ$ i identifica la superfície que s'obté.
3. c) Quina figura forma la intersecció d'aquesta superfície amb el pla $z = 2$? I amb el pla $y = 0$?

Es consideren els punts $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ i $C(0, 0, 2)$. Es vol determinar la recta $r$ formada per tots els punts de l'espai que equidisten simultàniament d'$A$, $B$ i $C$. Dos alumnes plantegen dues estratègies diferents:

• Estratègia A (analítica): Plantejar les igualtats de distàncies $\text{dist}(X, A)^2 = \text{dist}(X, B)^2$ i $\text{dist}(X, B)^2 = \text{dist}(X, C)^2$ per obtenir dos plans mediadors i resoldre la recta com la seva intersecció.

• Estratègia B (sinteticovectorial): Trobar el pla $\pi$ que conté $A$, $B$ i $C$, deduir el vector director de $r$ a partir de la perpendicularitat amb $\pi$, i determinar el circumcentre del triangle $ABC$ com a punt de pas aprofitant la simetria del problema.

1. a) Aplica l'Estratègia A: desenvolupa algebraicament les dues equacions de distància, escriu les equacions generals d'ambdós plans mediadors i obtén les equacions contínues o paramètriques de la recta $r$.
2. b) Aplica l'Estratègia B: troba l'equació del pla $\pi$ que passa per $A$, $B$ i $C$, dedueix raonadament les coordenades del seu circumcentre $G$ i escriu directament la recta $r$ utilitzant un punt i el seu vector director.
3. c) Compara els dos camins: quin resulta més econòmic en càlculs per a aquest cas simètric? En quines circumstàncies (per exemple, si els punts no presentessin simetries evidents) recomanaries utilitzar l'Estratègia A enfront de la B?

En una zona forestal de la serra de Guadarrama s'instal·la una torre de vigilància vertical que coincideix amb l'eix $OZ$, on el terra pla es modelitza mitjançant el pla coordenat $z = 0$ (les coordenades s'expressen en hectòmetres, de manera que $1\text{ unitat} = 100\text{ m}$).

Per motius de seguretat, la normativa estableix un perímetre d'exclusió cilíndric de radi $R = 2\text{ hm}$ ($200\text{ m}$) al voltant de la torre. D'altra banda, a la superfície del terra se situen dos sensors sísmics en els punts $A(3, 1, 0)$ i $B(1, 3, 0)$.

1. a) Modela analíticament el lloc geomètric que defineix la superfície cilíndrica límit de la zona d'exclusió al voltant de l'eix $OZ$.
2. b) Un dron d'inspecció segueix una trajectòria rectilínia parametritzada per $X(t) = (2 - t, \, t, \, 1)$, amb $t \in \mathbb{R}$. Planteja la condició de distància a l'eix $OZ$ per comprovar si el dron envaeix la zona d'exclusió. En cas afirmatiu, calcula els instants $t$ i els punts espacials d'entrada i de sortida.
3. c) Un segon dron de vigilància s'ha de desplaçar mantenint-se sempre a la mateixa distància del sensor $A$ que del sensor $B$. Troba l'equació general del pla pel qual està obligat a volar. Conté aquest pla la torre de vigilància (eix $OZ$)? Raona la resposta interpretant geomètricament el resultat.

Dues balises de sonar estan instal·lades al fons d'un port, en els punts $A(0, 0, 0)$ i $B(6, 2, 4)$ (coordenades en hectòmetres). Un submarí rep el senyal de totes dues amb la mateixa intensitat, la qual cosa significa que equidista de les dues balises, com suggereix la figura.

1. a) Planteja la condició $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per a un punt genèric $X(x, y, z)$ i demostra que el lloc geomètric de les posicions del submarí és un pla, trobant la seva equació.
2. b) Un submarí es troba en el punt $P(4, 2, 1)$. Rep els dos senyals amb la mateixa intensitat? De quina balisa està més a prop?
3. c) Interpreta el pla obtingut com a «frontera de cobertura» entre les dues balises.

Tres sensors sísmics estan col·locats en els punts $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ i $C(0, 2, 0)$. Es vol instal·lar una antena que equidisti dels tres.

1. a) Troba el pla mediador del segment $AB$.
2. b) Troba el pla mediador del segment $AC$.
3. c) Dedueix que el lloc geomètric dels punts que equidisten de $A$, $B$ i $C$ és una recta, i dona les seves equacions paramètriques. Com és aquesta recta respecte del pla que conté els tres sensors?

Indica si les afirmacions següents sobre llocs geomètrics en l'espai són verdaderes o falses, justificant cada resposta:

1. a) «El lloc geomètric dels punts que equidisten de dos plans paral·lels diferents és un únic pla, paral·lel a tots dos i situat a la mateixa distància de cadascun.»
2. b) «El lloc geomètric dels punts que equidisten de dos plans secants és un únic pla.»
3. c) «El lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres eixos de coordenades és una única recta.»

Es consideren els plans $\pi_1: x + z = 0$ i $\pi_2: y + z = 0$, els quals determinen quatre angles diedres a l'espai.

1. a) Estima abans de calcular:

1. Observa que les equacions de $\pi_1$ i $\pi_2$ són formalment simètriques en intercanviar les variables $x$ i $y$. Basant-te exclusivament en aquesta simetria geomètrica, estima raonadament l'equació implícita d'un dels plans bisectors sense desenvolupar la fórmula de distàncies.

2. D'acord amb les propietats dels plans bisectors de dos plans secants, quin angle han de formar entre si els dos bisectors resultants?

1. b) Calcula:

1. Planteja de manera rigorosa la condició mètrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$ per a un punt genèric $X(x, y, z)$ i dedueix les equacions generals d'ambdós plans bisectors, $\sigma_1$ i $\sigma_2$.

2. Verifica si el pla que has estimat a l'apartat anterior coincideix amb algun dels calculats.

3. Comprova mitjançant el producte escalar dels seus vectors normals que $\sigma_1$ i $\sigma_2$ són estrictament perpendiculars.

1. c) Comprova i valora:

Considera la recta $r$ en la qual es tallen els dos plans originals $\pi_1$ i $\pi_2$.

1. Raona si aquesta recta d'intersecció $r$ ha d'estar geomètricament continguda en ambdós plans bisectors alhora.

2. Troba les equacions de la recta $r$ i comprova algebraicament si tots els seus punts satisfan les equacions de $\sigma_1$ i $\sigma_2$. Valora la coherència del resultat amb l'estructura espacial dels angles diedres.

El lloc geomètric dels punts de l'espai que equidisten simultàniament de tres punts $A$, $B$ i $C$ és la recta:

Es sap que els tres punts pertanyen al pla coordenat horitzontal $\pi: z = 0$. A més, el punt $A$ és l'origen de coordenades, $A(0, 0, 0)$, i el punt $B$ es troba al semieix positiu d'abscisses, $B(b, 0, 0)$ amb $b > 0$.

1. a) Explica la relació geomètrica que hi ha entre la recta $r$, el pla $\pi$ que conté els punts i el circumcentre del triangle $ABC$. A partir d'aquesta propietat, dedueix sense calcular prèviament els plans mediadors les coordenades del circumcentre $K$ del triangle.
2. b) Com que la recta $r$ és la intersecció dels plans mediadors del triangle, dedueix raonadament l'equació del pla mediador del segment $AB$ i determina el valor exacte de la coordenada $b$ del punt $B$.
3. c) El tercer vèrtex $C(x_0, y_0, 0)$ també es troba al pla $z = 0$. Demostra que la posició de $C$ no és única: dedueix l'equació del lloc geomètric al pla $z = 0$ sobre el qual s'ha de situar $C$ perquè l'enunciat es compleixi, i precisa quins punts concrets d'aquest lloc s'han d'excloure obligatòriament perquè existeixi el triangle $ABC$.
4. d) Tria unes coordenades enteres per a $C$ amb $y_0 \neq 0$ que pertanyin al lloc obtingut a l'apartat anterior. Per a un punt genèric de la recta, $P(1, 2, \lambda)$ amb $\lambda \in \mathbb{R}$, comprova algebraicament que es verifica amb total exactitud la igualtat $\text{dist}(P, A) = \text{dist}(P, B) = \text{dist}(P, C)$.

Repte del tema. Dissenya la instal·lació òptima d'un focus de llum i un panell reflector a la teva habitació mitjançant geometria mètrica 3D.

1. Presa de mesures reals: Estableix un sistema de referència fixant l'origen $(0,0,0)$ en una cantonada de terra. Mesura en metres (amb precisió de centímetres, usant coma decimal) les dimensions de la teva estança i situa les coordenades del focus $F$, de dues cantonades de la teva taula de treball i del pla $\pi$ que contindrà el panell reflector.

2. Resolució analítica i GeoGebra 3D: Modela l'espai a GeoGebra i calcula:

3. L'angle entre el feix de llum (recta $r$) i el panell $\pi$.

4. La projecció ortogonal del focus sobre el pla de l'escriptori i el seu punt simètric respecte a la paret principal.

5. La distància mínima entre dues canaletes de cables que es creuen mitjançant la perpendicular comuna.

6. L'equació del lloc geomètric dels punts de terra que equidisten d'un punt de referència de la taula i d'un altre de la porta (recta intersecció del pla mediador amb el terra).

7. Informe tècnic final: Lliura una proposta raonada (1-2 pàgines) amb la vista 3D de GeoGebra, la discussió de paral·lelisme/perpendicularitat aplicada i els desenvolupaments analítics complets.

Es valorarà:

• Precisió en la presa de dades reals i coherència del model a GeoGebra.

• Correcció algebraica en el càlcul d'angles, distàncies, simetries i llocs geomètrics.

• Justificació geomètrica de les decisions de disseny a l'informe.