Continuidad de una función en un punto
En 1º comprobaste la continuidad de polinomios, racionales sencillas y funciones a trozos con rectas o parábolas. En 2º las mismas tres condiciones se aplican a funciones más elaboradas: valores absolutos, exponenciales, logaritmos y trigonométricas combinadas en un solo tramo.
Las tres condiciones, otra vez
Comprueba si la función $f(x) = e^{x-1}$ es continua en el punto $x = 1$. Para que la respuesta sea completa, debes verificar si el valor de la función en el punto…
Comprueba si la función $f(x) = e^{x-1}$ es continua en el punto $x = 1$. Para que la respuesta sea completa, debes verificar si el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función cuando $x$ se aproxima a 1.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punto $x = 1$. En caso de que presente una discontinuidad, indica de qué tipo es (evitable, de…
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punto $x = 1$. En caso de que presente una discontinuidad, indica de qué tipo es (evitable, de salto finito o de salto infinito) y razona si existe alguna forma de redefinir la función para que sea continua en dicho punto.
Discontinuidades con valor absoluto
El valor absoluto cambia de expresión en el punto donde su argumento se anula, igual que una función a trozos. Para estudiar la continuidad ahí, hay que quitar el valor absoluto por partes y comparar límites laterales.
Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando los puntos de discontinuidad que encuentres: $$f(x) = \frac{|x - 2|}{x^2 - x - 2}$$…
Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando los puntos de discontinuidad que encuentres:
$$f(x) = \frac{|x - 2|}{x^2 - x - 2}$$Acompaña tu análisis analítico con un esquema de los límites laterales en los puntos conflictivos.
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica por qué no es continua en el punto $x = -4$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ y…
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica por qué no es continua en el punto $x = -4$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ y describe el tipo de discontinuidad que presenta.
Discontinuidades con exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Cuando el denominador o el exponente de una función crece sin límite, los límites laterales a veces dan resultados distintos entre $x\to a^-$ y $x\to a^+$: ahí aparecen discontinuidades de salto, aunque la función tenga buen aspecto.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punto $x = 0$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y…
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punto $x = 0$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en dicho punto?
Un sistema de refrigeración industrial regula su potencia $P$ (en kilowatios) según la temperatura exterior $T$ (en grados Celsius) mediante la siguiente función: $$P(T)…
Un sistema de refrigeración industrial regula su potencia $P$ (en kilowatios) según la temperatura exterior $T$ (en grados Celsius) mediante la siguiente función:
$$P(T) = \begin{cases} \frac{a \cdot e^T}{e^T + 1} & \text{si } T \leq 0 \\ \frac{\sqrt{T+4} - 2}{T} & \text{si } T > 0 \end{cases}$$Determina el valor de la constante $a$ para que la transición de potencia sea continua cuando la temperatura pasa por los $0^\circ C$.
Funciones a trozos: hallar los parámetros de la continuidad
El ejercicio más típico de EvAU: una función a trozos con una o dos letras desconocidas, y hay que encontrar los valores que evitan cualquier salto en los puntos de empalme.
Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ 2x - 5 & \text{si } x \geq 3…
Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ 2x - 5 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$Calcula el valor de $k$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 3$. ¿Existe algún valor de $k$ que la haga continua en dicho punto? Razona tu respuesta mediante el cálculo de límites laterales.
Un equipo de ingenieros robóticos ha programado el movimiento de un brazo mecánico. La velocidad del extremo del brazo (en m/s) sigue la trayectoria:…
Un equipo de ingenieros robóticos ha programado el movimiento de un brazo mecánico. La velocidad del extremo del brazo (en m/s) sigue la trayectoria:
$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$
Determina los valores de $a$ y $b$ para que el movimiento del robot sea continuo (sin tirones bruscos) en el instante $t = 4$ segundos.
En el diseño de un nuevo componente para un acelerador de partículas, la intensidad de un campo magnético en función de la posición $x$ (en milímetros) viene definida…
En el diseño de un nuevo componente para un acelerador de partículas, la intensidad de un campo magnético en función de la posición $x$ (en milímetros) viene definida por la siguiente función:
$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la intensidad del campo magnético sea continua en el punto $x = 0$. Una vez hallados, ¿sería la función continua en el punto $x = 2$? Razona tu respuesta analíticamente.