Exercicis: Continuïtat d'una funció en un punt

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i analitza el seu comportament en el punt d'abscissa $x = 2$. Indica si la funció és contínua en aquest punt comprovant les tres condicions de continuïtat: existència de $f(2)$, existència del $\lim_{x \to 2} f(x)$ i la coincidència de tots dos valors.

Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punt $x = 1$. En cas que me presenti una discontinuïtat, indica de quin tipus és (evitable, de salt finit o de salt infinit) i raona si existeix alguna forma de redefinir la funció perquè sigui contínua en aquest punt.

Donada la funció següent definida a trossos, calcula els límits laterals en el punt de ruptura $x = 3$ i determina si la funció és contínua en aquest punt:

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un dron de vigilància segueix una trajectòria d'altura definida per la funció $h(t)$ (en metres) respecte al temps $t$ (en segons). A causa d'un canvi en el sistema de control, la funció canvia a $t = 5$:

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Comprova si la transició d'altura és contínua en l'instant $t = 5$ per evitar que el dron pateixi un moviment brusc.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $g(x)$ sigui contínua a tota la recta real $\mathbb{R}$:

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Analitza visualment la continuïtat de la funció representada en el gràfic següent. Identifica el valor de $x$ on la funció presenta una discontinuïtat i classifica-la segons el comportament de les seves branques laterals.

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica per què no és contínua en el punt $x = -4$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ i $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ i descriu el tipus de discontinuïtat que presenta.

Comprova si la funció $f(x) = e^{x-1}$ és contínua en el punt $x = 1$. Perquè la resposta sigui completa, has de verificar si el valor de la funció en el punt coincideix amb el límit de la funció quan $x$ s'aproxima a 1.

En un examen de 2n de Batxillerat, es demana estudiar la continuïtat en el punt $x = 1$ de la funció:

En Marcos escriu la resposta següent en el seu exercici:

«Com que en substituir $x = 1$ a la primera branca obtenim $\frac{0}{0}$, factoritzo el numerador com a $(x - 1)(x + 1)$. Cancel·lo el factor $(x - 1)$ amb el denominador $|x - 1|$, de manera que l'expressió simplificada és $x + 1$. En calcular el límit quan $x \to 1$, obtinc $1 + 1 = 2$. Atès que aquest límit coincideix amb $f(1) = 2$, la funció és contínua a $x = 1$».

La teva tasca consisteix a:

1. a) Identificar i explicar els dos errors conceptuals comesos per en Marcos (un d'algebraic relatiu a la cancel·lació del valor absolut i un altre de relatiu a la definició formal de límit).
2. b) Corregir l'exercici: escriu la funció a trossos suprimint les barres de valor absolut en un entorn de $x = 1$, calcula rigorosament els límits laterals $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, i conclou justificadament si $f$ és contínua a $x = 1$, indicant el tipus de discontinuïtat si no ho fos.

Considera la funció real definida per:

1. a) Estima: Abans de realitzar qualsevol desenvolupament algebraic formal, aproxima el comportament del quocient incremental a prop de l'origen. Per a fer-ho, avalua numèricament l'expressió $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ en valors propers a zero per ambdós costats (per exemple, amb $x = 0,1$, $x = 0,01$, $x = -0,1$ i $x = -0,01$). A partir d'aquests resultats, formula una hipòtesi raonada: creus que la funció serà contínua a $x = 0$?
2. b) Comprova: Demostra analíticament la teva conjectura resolent la indeterminació del $\lim_{x \to 0} f(x)$ mitjançant la multiplicació per l'expressió conjugada. Comprova de manera ordenada si es compleixen les tres condicions que exigeix la definició de continuïtat a $x = 0$.
3. c) Valora: Compara el resultat algebraic exacte amb les aproximacions numèriques que has calculat al principi i reflexiona sobre el risc de confirmar la continuïtat d'una funció basant-se exclusivament en una taula finita de valors.

Donada la funció dependent del paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

Calcula el valor de $k$ perquè la funció presenti una discontinuïtat de salt finit a $x = 3$. Existeix algun valor de $k$ que la faci contínua en aquest punt? Raona la teva resposta mitjançant el càlcul de límits laterals.

Estudia la continuïtat de la funció següent en tot el seu domini, classificant els punts de discontinuïtat que trobis:

Acompanya la teva anàlisi analítica amb un esquema dels límits laterals en els punts conflictius.

Un sistema de refrigeració industrial regula la seva potència $P$ (en quilowatts) segons la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) mitjançant la funció següent:

Determina el valor de la constant $a$ perquè la transició de potència sigui contínua quan la temperatura passa pels $0\,^\circ C$.

Considera la funció $f(x)$ definida per:

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua en el seu domini de definició. Un cop trobats, indica si la funció és contínua a $x = -1$.

Classifica totes les discontinuïtats de la funció $g(x)$ i determina les seves asímptotes verticals analitzant el comportament de la funció en les proximitats dels valors on no està definida:

Com definiries la funció en els punts de discontinuïtat evitable perquè resultés contínua en aquests?

S'està provant un nou prototip de motor l'acceleració del qual $a$ (en $m/s^2$) depèn del temps $t$ (en segons) segons l'expressió:

Calcula el valor de $m$ perquè l'acceleració no pateixi salts bruscos (sigui contínua) en l'instant $t = 2$ s.

Donada la funció:

Estudia la seva continuïtat en els punts $x = 1$ i $x = -1$. En cas que existeixin discontinuïtats, indica de quin tipus són i si existeix alguna forma de redefinir la funció per eliminar-les.

Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua a tot $\mathbb{R}$:

Explica detalladament el procés seguit, verificant la igualtat dels límits laterals en cada punt de canvi de branca.

Una empresa de paqueteria urgent que opera a Espanya estableix el preu dels seus enviaments nacionals en funció del pes $x$ del paquet (en quilograms). La tarifa facturada $P(x)$ (en euros) ve donada per la següent funció a trossos:

Per complir amb la legislació de protecció als consumidors i evitar que un increment minúscul de pes penalitzi l'usuari amb un salt sobtat en la factura, l'empresa exigeix que la funció de preus no tingui discontinuïtats en el seu domini.

1. a) Determina els valors reals dels paràmetres $a$ i $b$ que fan que la funció $P(x)$ sigui contínua en els punts de canvi de tram $x = 5$ i $x = 9$.
2. b) Justifica analíticament la continuïtat en ambdós punts comprovant el compliment de les tres condicions de continuïtat un cop trobats els paràmetres.
3. c) Interpreta el significat pràctic del valor $P(5)$ i explica què passaria comercialment si a $x = 5$ hi hagués una discontinuïtat de salt finit amb $\lim_{x \to 5^+} P(x) = 15$ €. A qui perjudicaria aquesta situació si el paquet pesa $5,01\text{ kg}$?

Dissenya i escriu l'expressió algebraica d'una funció a trossos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que compleixi de manera simultània les tres exigències següents:

1. Presenta una discontinuïtat evitable en el punt d'abscissa $x = -2$.

2. És contínua en el punt d'abscissa $x = 0$, havent de canviar d'expressió algebraica en aquest punt i incorporar obligatòriament el valor absolut $|x|$ en almenys un dels seus trams.

3. Presenta una discontinuïtat de salt finit d'exactament 3 unitats d'amplitud en el punt d'abscissa $x = 3$ (és a dir, $|\lim_{x \to 3^+} f(x) - \lim_{x \to 3^-} f(x)| = 3$).

Un cop proposada la teva funció:

1. a) Escriu la seva fórmula analítica completa detallant els intervals de definició de cada tram.
2. b) Justifica pas a pas, aplicant les tres condicions de la definició formal de continuïtat i mitjançant el càlcul dels corresponents límits laterals, per què la teva funció compleix estrictament cadascuna de les tres exigències imposades.

En el disseny d'un nou component per a un accelerador de partícules, la intensitat d'un camp magnètic en funció de la posició $x$ (en mil·límetres) ve definida per la funció següent:

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la intensitat del camp magnètic sigui contínua en el punt $x = 0$. Una vegada trobats, seria la funció contínua en el punt $x = 2$? Raona la teva resposta analíticament.

Estudia la continuïtat de la funció següent en tot el seu domini, classificant detalladament cadascun dels seus punts de discontinuïtat:

$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Posteriorment, si hi hagués algun punt on la discontinuïtat sigui evitable, proposa una redefinició de la funció en aquest punt per transformar-la en una funció contínua allà. Si no n'hi ha cap, justifica-ho.

Una empresa de telecomunicacions està ajustant la potència d'una antena 5G. La pèrdua de senyal $L$ (en decibels) depèn de la distància $d$ (en km) segons l'expressió:

$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$

Es requereix que la transició de potència sigui suau i contínua per no interrompre les trucades en el límit de 1 km. Calcula els valors de $k$ i $a$ sabent que quan la distància tendeix a 0 km, la pèrdua de senyal tendeix a ser de 2 dB.

Donada la funció $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$, es demana:

1. a) Trobar el valor del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ perquè $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Amb el valor d'$a$ obtingut a l'apartat anterior, defineix una nova funció $g(x)$ tal que:

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Determina $b$ i $c$ perquè $g(x)$ sigui contínua a $x = 1$.

Aplica el teorema de Bolzano per demostrar que les gràfiques de les funcions $f(x) = \ln(x)$ i $g(x) = e^{-x}$ es tallen en almenys un punt dins de l'interval $(1, e)$. Justifica raonadament si aquest punt de tall és únic en aquest interval basant-te en el creixement de les funcions.

Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punt $x = 0$. Per fer-ho, calcula els límits laterals $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en aquest punt?

Un equip d'enginyers robòtics ha programat el moviment d'un braç mecànic. La velocitat de l'extrem del braç (en m/s) segueix la trajectòria:

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Determina els valors de $a$ i $b$ perquè el moviment del robot sigui continu (sense estrebades brusques) en l'instant $t = 4$ segons.

Donada la funció dependent del paràmetre $k$:

$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - x}$

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la funció tingui una discontinuïtat evitable a $x = 1$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, estudia la continuïtat a $x = 0$ i determina si existeix alguna asímptota vertical.
3. c) Existeix algun valor de $k$ que faci que la funció sigui contínua en tot $\mathbb{R}$? Justifica la teva resposta.

Es vol estudiar si existeix algun valor del paràmetre $L \in \mathbb{R}$ per al qual la funció següent resulti contínua en el punt $x = 1$:

Per calcular el límit de la funció a $x = 1$, dos alumnes proposen dos camins diferents:

• Mètode 1 (Desglossament previ): Reescriure la funció retirant les barres de valor absolut segons el signe de $(x - 1)$ per obtenir una funció a trossos en un entorn de $x = 1$, simplificar algebraicament cada branca i avaluar els límits laterals.

• Mètode 2 (Substitució de signe directa): Mantenir l'expressió compacta i calcular directament els límits laterals substituint $|x - 1|$ per $-(x - 1)$ en aproximar-se per l'esquerra ($x \to 1^-$) i per $+(x - 1)$ en aproximar-se per la dreta ($x \to 1^+$).

Un tercer estudiant suggereix el Mètode 3: Aplicar directament la regla de L'Hôpital sobre el quocient general fent servir la derivada del valor absolut $|u|' = \frac{u}{|u|} \cdot u'$.

1. a) Descarta raonadament el Mètode 3 explicant quina propietat geomètrica i analítica falla a $x = 1$ per a la funció $|x - 1|$ que invalida l'ús de la derivada en aquest punt.
2. b) Aplica tant el Mètode 1 com el Mètode 2 per calcular els límits laterals $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x)$. Justifica quin dels dos mètodes ofereix més garanties lògiques per no cometre errors de signe amb el denominador.
3. c) A partir dels resultats obtinguts, dedueix si és possible trobar el valor de $L$ que faci contínua la funció a $x = 1$. Si no és possible, classifica la discontinuïtat existent indicant-ne el salt.

Es considera la funció dependent de les constants reals $a, b, c, k \in \mathbb{R}$:

1. a) Raonament sobre límits finits: Observa que el denominador del primer tram s'anul·la a $x = 2$. Raona per què, perquè la funció tingui alguna possibilitat de ser contínua a $x = 2$, és estrictament obligatori que el numerador s'anul·li també a $x = 2$. Quin tipus de comportament presentaria la funció si aquest numerador no fos zero?
2. b) Deducció de paràmetres per tipus de discontinuïtat: Se sap que, a l'interior de l'interval $(-\infty, 2)$, la funció presenta una discontinuïtat evitable en el punt $x = -2$. Amb aquesta informació i la deducció de l'apartat anterior, determina de manera unívoca els valors dels coeficients $a$ i $b$.
3. c) Soldadura de trams: Amb els valors d'$a$ i $b$ ja calculats, troba el valor del límit lateral $\lim_{x \to 2^-} f(x)$. A continuació, calcula el límit lateral per la dreta $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ emprant infinitèsims equivalents o la regla de L'Hôpital. Finalment, dedueix quins valors han de prendre $c$ i $k$ per garantir que $f$ sigui contínua a $x = 2$.