Exercicis: Càlcul de determinants

Un jove streamer està analitzant el creixement del seu canal. Per comparar l'impacte de dos dels seus vídeos, organitza les dades de "Likes" i "Compartits" en una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$: cada fila correspon a un vídeo i cada columna a un tipus de dada. Calcula el determinant de la matriu $A$ per obtenir un índex de repercussió:

Calcula el valor del determinant de la matriu $B$ utilitzant la Regla de Sarrus. Aquesta matriu representa l'inventari de components (xips, pantalles i bateries) de tres magatzems d'una botiga tecnològica:

En un videojoc d'estratègia, el poder d'un atac màgic es calcula resolent una equació basada en un determinant. Troba el valor de $x$ perquè el determinant següent sigui igual a $0$:

Sense realitzar càlculs complexos, justifica per què els determinants següents valen $0$ utilitzant les propietats dels determinants:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Una empresa de logística utilitza una matriu triangular superior per organitzar les seves rutes de lliurament de manera eficient. Calcula el determinant de la matriu $L$ sabent que per a aquest tipus de matrius el càlcul se simplifica enormement:

Donada la matriu $M$, calcula el seu menor complementari $\alpha_{21}$ i el seu adjunt $A_{21}$:

Sabem que el determinant d'una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$ és $|A| = 5$. Si multipliquem tots els elements de la segona fila per $3$, quin serà el valor del nou determinant? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats.

En un programa de disseny gràfic, l'àrea d'un triangle amb un vèrtex a l'origen $(0,0)$ i els altres dos a $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ es pot calcular com la meitat del valor absolut del determinant format per les seves coordenades. Calcula l'àrea del triangle format pels punts $(0,0)$, $(4, 2)$ i $(1, 5)$.

Mateo ha de calcular el determinant de la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Per estalviar temps, observa que la segona fila té dos zeros i decideix desenvolupar per Laplace al llarg d'aquesta fila. El seu desenvolupament escrit és:

Convençut del seu mètode, en l'exercici següent aplica exactament la mateixa regla per calcular el determinant de la matriu $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$, desenvolupant per la tercera fila:

En corregir-l'hi, la seva professora li indica que el valor obtingut per a $|A|$ va ser casualment correcte a causa de la posició de l'element, però que a $|B|$ ha comès un error conceptual important.

a) Identifica l'error conceptual comès per Mateo en calcular $|B|$, explicant amb la definició d'adjunt ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$) quin element ha omès.

b) Justifica per què a la matriu $A$ el seu procediment no va alterar el resultat numèric final.

c) Corregeix el càlcul de $|B|$ i indica el seu valor real.

Per calcular el determinant de la matriu d'ordre $4 \times 4$:

es proposen dos camins diferents:

• Estratègia 1: Realitzar operacions elementals entre files pel mètode de Gauss fins a aconseguir una matriu triangular superior i multiplicar els elements de la diagonal principal.

• Estratègia 2: Aplicar el desenvolupament per Laplace a través dels adjunts de la segona fila, reduint el càlcul directament a un determinant d'ordre 3.

a) Compara les dues estratègies i raona quina és notablement més ràpida i eficient per a aquesta matriu concreta en funció del nombre de zeros que conté.

b) Seguint l'estratègia que has seleccionat com a preferent, calcula raonadament el determinant de $M$ mostrant amb detall els càlculs intermedis.

Donada la matriu quadrada $A$ d'ordre 3, es sap que el seu determinant és $|A| = -2$. Utilitza les propietats dels determinants per a calcular de forma raonada el valor de:

a) $|A^3|$

b) $|3 \cdot A^t|$

c) $|A^{-1} \cdot (2A)|$

d) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar les dues primeres files de $A$ i multiplicar la tercera fila per $-5$.

Troba tots els valors reals de $x$ per als quals es satisfà la igualtat següent entre determinants:

Calcula el valor del determinant de la matriu $M$ d'ordre 4 transformant-la prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros sota la diagonal principal):

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $B$ d'ordre 3 és:

Calcula, sense desenvolupar per Sarrus, el valor del determinant de la matriu $C$:

Determina per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu $A$ no té inversa. Per a fer-ho, iguala el seu determinant a zero i resol l'equació resultant:

En el desenvolupament d'un videojoc d'estratègia, la posició de tres unitats al mapa ve donada per les files d'una matriu. El determinant d'aquesta matriu indica l'àrea d'influència del batalló. Calcula el valor de $a$ perquè l'àrea d'influència sigui nul·la (unitats alineades o linealment dependents) en el sistema següent:

Nota: Aquest és un determinant de tipus Vandermonde. Intenta simplificar-lo usant propietats de les columnes abans de calcular-lo.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 desenvolupant pels elements de la fila o columna que consideris més adequada (Mètode de Laplace):

Resol l'equació matricial $|X| = 0$, on $X = A - \lambda I$, essent $A$ la matriu donada i $I$ la matriu identitat d'ordre 3. Troba els valors de $\lambda$ que anul·len el determinant (valors propis):

Es vol dissenyar una matriu $A = (a_{ij})$ d'ordre $3 \times 3$ amb coeficients enters no negatius ($a_{ij} \in \{0, 1, 2, \dots\}$) destinada a un algorisme d'encriptació, subjecta a les següents condicions simultànies:

1. La matriu $A$ és triangular superior (és a dir, $a_{ij} = 0$ sempre que $i > j$).

2. La suma dels tres elements de la seva diagonal principal és igual a $7$.

3. El seu determinant val exactament $|A| = 12$.

4. L'adjunt de l'element $a_{11}$ val $A_{11} = 6$.

a) Dedueix raonadament el valor unívoc de $a_{11}$ a partir de les propietats del determinant d'una matriu triangular i del menor complementari associat.

b) Determina els possibles valors dels restants elements diagonals $a_{22}$ i $a_{33}$.

c) Escriu una matriu concreta $A$ que compleixi totes les condicions exigides i comprova explícitament mitjançant el producte de la seva diagonal i el càlcul de $A_{11}$ que els resultats coincideixen amb les dades prefixades.

Un equip tècnic de l'empresa pública Tragsa està elaborant un informe per al Cadastre sobre una parcel·la d'olivar a la província de Jaén. En el plànol topogràfic oficial, els límits de la finca determinen un triangle els tres vèrtexs del qual tenen coordenades $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ i $C(3, 8)$ (mesurades en hectòmetres, $\text{hm}$).

En cartografia, l'àrea d'una regió triangular plana amb vèrtexs $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ i $(x_3, y_3)$ es calcula mitjançant l'expressió:

a) Per calcular $|M|$ de manera eficient sense recórrer a la regla de Sarrus, aplica operacions elementals entre files ($F_2 \to F_2 - F_1$ i $F_3 \to F_3 - F_1$) per generar dos zeros a la tercera columna, i desenvolupa després pels adjunts d'aquesta columna.

b) Calcula l'àrea resultant de la parcel·la i interpreta el resultat expressant-lo en hectàrees ($1\text{ hm}^2 = 1\text{ ha}$).

c) El propietari confrontant sosté que una caseta de reg situada a les coordenades $D(5, 2)$ es troba alineada exactament sobre el límit recte que uneix $A$ i $B$. Planteja el determinant corresponent per comprovar l'alineació i conclou raonadament si l'afirmació és certa o falsa sense dibuixar els punts.

Sigui la matriu $A = (a_{ij})$ d'ordre $3 \times 3$ definida per $a_{ij} = i + j$. Considera també una matriu $B$ tal que el seu determinant és $|B| = 2$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula de forma raonada el valor del determinant de la matriu $M$, essent:

Argumenta si el resultat obtingut permet afirmar que la matriu $M$ té inversa.

En el disseny d'un component aeronàutic, l'estabilitat estructural ve donada pel determinant d'una matriu de tensions $T$. Es sap que el determinant de la matriu següent depèn d'un paràmetre de càrrega $k$:

1. a) Calcula el valor del determinant en funció de $k$ utilitzant les propietats dels determinants per a simplificar el càlcul (evita el desenvolupament directe per Sarrus).
2. b) Determina per a quins valors de $k$ el component és inestable ($|T| = 0$).
3. c) Si $k=3$, quina relació existeix entre les files de la matriu?

Un sistema de posicionament GPS utilitza quatre satèl·lits per a triangular una posició en l'espai. El volum del tetraedre format pels quatre satèl·lits està relacionat amb el valor absolut del determinant de la matriu de les seves coordenades. Calcula de forma raonada el valor del determinant següent d'ordre 4, que representa una configuració específica d'aquests satèl·lits:

Expressa el resultat com un polinomi en $a$ simplificat al màxim.

Donada la matriu dependent d'un paràmetre real $\lambda$:

1. a) Troba els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A(\lambda)$ no té inversa.
2. b) Per a $\lambda = 0$, resol l'equació matricial $A \cdot X \cdot A^t = I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3. Calcula $|X|$ de forma indirecta abans de trobar la matriu $X$.

Siguin $C_1, C_2, C_3$ les tres columnes d'una matriu quadrada $M$ d'ordre 3, tals que el seu determinant és $|M| = -5$. Calcula, justificant cada pas amb la propietat corresponent, el valor del determinant de la matriu les columnes de la qual són:

En una xarxa de telecomunicacions, la capacitat de flux es modela mitjançant el determinant de la matriu d'adjacència $W$. Es defineix $W$ com:

1. a) Demostra, sense desenvolupar el determinant per la regla de Sarrus, que $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Si els nodes $a, b, c$ representen freqüències de transmissió, quina condició han de complir perquè el determinant sigui diferent de zero? Justifica la importància d'aquesta condició per a la independència dels senyals.

Resol la següent equació de tercer grau utilitzant les propietats dels determinants per a factoritzar el polinomi resultant:

Indica pas a pas les operacions elementals realitzades sobre les files o columnes.

Estudia el rang de la matriu següent $A$ en funció dels valors dels paràmetres reals $m$ i $n$:

Per al cas en què $m=1$ i $n=2$, calcula el determinant de la matriu adjunta de $A$, és a dir, $|Adj(A)|$, sense calcular prèviament els elements de la matriu adjunta. (Pista: utilitza la relació entre una matriu, la seva adjunta i el seu determinant).

Considera la matriu simètrica d'ordre $4 \times 4$:

a) Estima: Si tots els elements fora de la diagonal principal fossin zeros, la matriu resultant seria diagonal i el seu determinant valdria $4^4 = 256$. Raona conceptualment si esperes que el determinant real $|C|$ sigui més gran o més petit que $256$, considerant que la presència de valors positius fora de la diagonal fa que les files siguin "més dependents" entre si.

b) Calcula: Per triangularitzar la matriu sense introduir fraccions:

1. Substitueix la primera fila per la suma de les quatre files ($F_1 \to F_1 + F_2 + F_3 + F_4$) i extreu fora del determinant el factor comú que en resulti.

2. A la matriu que queda, resta la primera fila a cadascuna de les altres ($F_i \to F_i - F_1$ per a $i = 2, 3, 4$) per obtenir una matriu triangular superior.

3. Obtén el valor numèric exacte de $|C|$ multiplicant els elements de la diagonal.

c) Comprova i generalitza: Compara el valor exacte amb la teva estimació inicial. A continuació, generalitza el raonament per deduir una fórmula tancada per al determinant d'una matriu d'ordre $n \times n$ que tingui el valor $k$ a tota la diagonal principal i el valor $1$ a totes les posicions restants.

Es considera la matriu d'ordre $4 \times 4$ dependent del paràmetre real $k$:

Dos alumnes discuteixen la millor estratègia per calcular $|A(k)|$ i analitzar per a quins valors de $k$ la matriu no té inversa:

• Álvaro proposa triangularitzar per Gauss dividint la primera fila per $k$ per eliminar els uns de la primera columna.

• Beatriz sosté que dividir per $k$ és problemàtic si no s'analitza el cas $k = 0$ per separat, i defensa que desenvolupar per Laplace per files o columnes amb zeros (o restar files entre si) evita qualsevol divisió pel paràmetre.

a) Justifica per què la proposta d'Álvaro és metodològicament incompleta si no distingeix casos, explicant el risc algebraic de realitzar operacions elementals que impliquin dividir entre una expressió paramètrica.

b) Seguint l'estratègia de Beatriz, calcula $|A(k)|$ mitjançant el mètode de Laplace o combinacions de files que no requereixin dividir, detallant els menors adjunts calculats fins a obtenir el polinomi factoritzat en funció de $k$.

c) Determina tots els valors reals de $k$ per als quals la matriu $A(k)$ no és invertible, analitzant què passa amb el rang de la matriu quan $k = 0$.