Exercicis: Aplicació al càlcul de límits. Regla de l'Hôpital

Calcula el límit següent utilitzant la regla de l'Hôpital, comprovant primer que es verifica la indeterminació necessària:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

En l'estudi de la propagació d'un senyal electromagnètic, apareix l'expressió següent per calcular la intensitat en un punt crític. Troba el valor del límit quan el temps $t$ tendeix a $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determina el valor del límit següent d'una funció logarítmica. Recorda derivar correctament el numerador i el denominador de manera independent:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Calcula el límit de la funció racional següent a l'infinit. Tot i que podries resoldre'l per comparació de graus, utilitza la regla de l'Hôpital per demostrar el resultat:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el límit següent sigui igual a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Es sap que la concentració d'un reactiu químic en una mescla segueix la funció $C(t)$. Calcula la concentració límit quan el temps $t$ s'acosta a $0$ per la dreta:

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2}$$

Donades les funcions $f(x) = e^x - x - 1$ i $g(x) = x^2$, calcula raonadament el límit del quocient de totes dues quan $x$ tendeix a $0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Nota: És possible que necessitis aplicar la regla de l'Hôpital més d'una vegada.

Observa la gràfica següent que representa dues funcions $f(x)$ (en blanc) i $g(x)$ (en gris fosc) que s'anul·len en el punt $x = a$. Sabent que $f'(a) = 6$ i $g'(a) = 2$, calcula el valor del límit:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

En Mateo està calculant el límit següent en un examen de Matemàtiques II:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

A la seva fulla escriu els passos següents:

1) «En substituir $x = 0$, obtenim $\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2 + 0} = \frac{0}{0}$. Com que és una indeterminació, aplico la regla de l'Hôpital derivant numerador i denominador: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$».

2) «Com que al denominador encara queda la variable $x$, torno a aplicar la regla de l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$».

Identifica l'error conceptual que ha comès en Mateo en el pas 2, explica detalladament per què no és lícit aplicar la regla en aquest punt i calcula el valor correcte del límit justificant cada pas.

Considera el límit:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x}$$

1. a) Abans de calcular-lo formalment, estima el seu valor numèric: sabent que $e^{0,03} \approx 1,03045$ i que $e^{-0,03} \approx 0,97045$, avalua el quocient a $x = 0,01$ i a $x = -0,01$. A partir d'aquestes aproximacions, conjectura quin nombre decimal exacte representa $L$.
2. b) Comprova la teva conjectura resolent el límit mitjançant la regla de l'Hôpital, verificant de manera explícita que es compleixen les hipòtesis necessàries per a la seva aplicació.
3. c) Compara el valor teòric obtingut amb les teves estimacions numèriques i explica per què la mitjana dels valors avaluats a esquerra i dreta s'aproxima tant al límit exacte.

En l'estudi de la propagació d'un senyal wifi en un entorn amb interferències, s'ha modelat la pèrdua d'intensitat mitjançant la funció següent de la distància $x$ (en metres):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula el límit d'aquesta funció quan la distància $x$ tendeix a $0$, és a dir, $\lim_{x \to 0} f(x)$, per determinar el comportament del senyal al punt d'emissió.

Calcula el valor del límit següent transformant prèviament la indeterminació de tipus $\infty - \infty$ en un quocient per poder aplicar la regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Un equip d'enginyers de so està analitzant la resposta d'un filtre d'àudio. El guany del filtre en funció de la freqüència $x$ ve donat per l'expressió:

$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$

Sabent que el límit del guany quan la freqüència tendeix a zero és igual a $-1$, és a dir, $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcula raonadament els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

Determina el valor del límit següent que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$. Per resoldre'l, utilitza les propietats dels logaritmes i la regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcula el límit de la funció següent quan $x$ tendeix a $\frac{\pi}{2}$. Tingues en compte que hauràs de fer una transformació prèvia per convertir la indeterminació $0 \cdot \infty$ en una forma apta per a l'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \cdot \tan(x)$$

En una xarxa social, el nombre de "shares" d'un vídeo viral durant els primers segons s'ha modelat mitjançant la funció $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, on $t$ és el temps en segons.

A quin valor tendeix el nombre de comparticions en l'instant inicial? Calcula per a això:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Es vol estudiar la convergència d'un algorisme d'intel·ligència artificial. La taxa d'error en funció del nombre d'iteracions $x$ es defineix com:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demostra, utilitzant la regla de l'Hôpital, que quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit ($x \to \infty$), la taxa d'error tendeix a $0$. Què ens diu això sobre l'eficiència de l'algorisme a llarg termini?

Donada la funció dependent del paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$

Calcula el valor de $k$ perquè el límit $\lim_{x \to 0} f(x)$ sigui un nombre real finit i determina aquest valor. Explica per què cal que l'expressió del numerador s'anul·li en $x=0$ per poder aplicar la regla.

En un model matemàtic de difracció de llum a través d'una escletxa microscòpica, apareix el límit següent:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} $$

Aplica la regla de L'Hôpital succesivament per determinar el seu valor exacte.

Es vol calcular el límit següent a l'infinit:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3}}$$

1. a) Comprova que presenta una indeterminació del tipus $\frac{\infty}{\infty}$ i intenta resoldre'l aplicant directament la regla de l'Hôpital derivant numerador i denominador. Què passa en derivar successivament? Explica per què aquest mètode no permet resoldre el límit.
2. b) Proposa i desenvolupa un mètode algebraic alternatiu que permeti calcular el límit de manera immediata i rigorosa.
3. c) A partir dels resultats anteriors, estableix un criteri general per decidir quan convé prioritzar la simplificació algebraica enfront de l'ús mecànic de la regla de l'Hôpital davant de quocients amb radicals a l'infinit.

En el mercat elèctric espanyol (OMIE), durant un episodi de forta irrupció d'energia eòlica, el preu marginal de casació $P(t)$ (en euros/MWh) en funció del temps $t$ transcorregut des de l'inici de la injecció eòlica (en hores, per a $t > 0$) ve modelitzat per l'expressió:

$$P(t) = 45 + \frac{30 \cdot (\sin(2t) - 2t)}{t^3}$$

1. a) Analitza a quina indeterminació condueix el càlcul del preu instantani en el moment d'acoblament inicial, és a dir, en calcular $\lim_{t \to 0^+} P(t)$.
2. b) Aplica de manera justificada la regla de l'Hôpital tantes vegades com calgui per calcular aquest límit, comprovant les condicions requerides en cadascuna de les derivades intermèdies.
3. c) Interpreta el resultat obtingut en el context del sistema elèctric: el preu col·lapsa a zero, tendeix a infinit o s'estabilitza en un valor llindar positiu a l'inici de l'episodi? Determina aquest preu límit en euros/MWh.

En el disseny d'una nova muntanya russa, la curvatura d'un tram inicial ve determinada per l'existència del límit d'una funció de transició. Perquè el disseny sigui viable, es requereix que el límit següent sigui un nombre real finit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcula raonadament els valors dels paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ perquè aquest límit existeixi i sigui finit. Un cop obtinguts, calcula el valor d'aquest límit.

En un laboratori de biotecnologia, el creixement d'una població de bacteris en un entorn controlat segueix una llei la taxa d'acumulació acumulada de la qual s'expressa mitjançant una integral. Es vol estudiar el comportament de la densitat poblacional en l'instant inicial mitjançant el càlcul del límit següent:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utilitza la Regla de l'Hôpital i el Teorema Fonamental del Càlcul per determinar el valor d'aquest límit.

Determina, si existeixen, els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Per resoldre el límit per la dreta, caldrà aplicar la Regla de l'Hôpital de manera reiterada. Justifica cada pas del procés.

Calcula el valor del límit següent, que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$. Assegura't de transformar l'expressió adequadament abans d'aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Un enginyer de telecomunicacions analitza la pèrdua de potència d'un senyal en una fibra òptica. La potència relativa $P$ respecte a la distància $d$ es modela mitjançant una funció que requereix resoldre la indeterminació següent quan el senyal s'aproxima a un node crític ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcula el valor del límit indicant el tipus d'indeterminació inicial i les transformacions algebraices realitzades per aplicar l'Hôpital.

Es considera la funció $g(x) = x^2 \cdot e^{-1/x^2}$ per a $x \neq 0$.

1. Estudia si és possible assignar un valor a $g(0)$ perquè la funció sigui contínua a $x = 0$.

2. Utilitzant la definició de derivada mitjançant un límit i aplicant la Regla de l'Hôpital, demostra si la funció és derivable a $x = 0$.

Nota: Vés amb compte especial amb el canvi de variable necessari per resoldre el límit a l'infinit si fos precís.

Calcula el valor del límit de la funció següent quan $x$ tendeix a zero per la dreta ($x \to 0^+$). Identifica el tipus d'indeterminació i utilitza la relació entre potències i exponencials ($u^v = e^{v \cdot \ln(u)}$):

$$\lim_{x \to 0^+} (\tan(x))^x$$

Dada la funció $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, es sap que presenta una discontinuïtat evitable a $x = 1$.

1. Calcula el valor de la constant $k$.

2. Per a aquest valor de $k$, calcula el valor que hauria de prendre la funció a $f(1)$ perquè fos contínua en aquest punt, resolent el límit:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. Existeix alguna asímptota obliqua per a aquesta funció? Justifica la teva resposta utilitzant límits.

Es sap que la concentració d'un reactiu químic en un procés catalític límit segueix una dinàmica tal que:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax) - bx}{x^3} = -\frac{4}{3} $$

Aplica la regla de L'Hôpital de manera reiterada per determinar els valors numèrics exactes dels paràmetres reals $a$ i $b$.

El factor de depreciació d'un actiu financer a llarg termini es modelitza avaluant el límit següent:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Transforma aquesta indeterminació del tipus $1^\infty$ utilitzant logaritmes i aplica la regla de L'Hôpital per calcular el valor exacte del factor de depreciació $L$.

Un equip d'enginyeria dissenya el perfil de frenada suau d'un tren d'alta velocitat a la xarxa ferroviària espanyola. Aquest comportament exigeix determinar una família de funcions que satisfaci la condició de curvatura:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot x + b \cdot x^2 + c \cdot x^3 + d \cdot \sin(x) - \sin(2x)}{x^3} = 4$$

on $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ són paràmetres de disseny.

1. a) Demostra, aplicant reiteradament la regla de l'Hôpital i justificant l'anul·lació dels numeradors en cada pas, les equacions lineals que han de satisfer els paràmetres perquè el límit existeixi i valgui exactament $4$.
2. b) Raona si existeix una única funció amb aquestes propietats o si la solució presenta graus de llibertat. Determina la solució general del sistema de paràmetres i escriu l'expressió analítica concreta de dues funcions diferents que compleixin la condició requerida.
3. c) Si s'imposa la restricció física addicional que el coeficient lineal de la resposta pròpia s'anul·li ($a = 0$), calcula els valors numèrics únics de $b$, $c$ i $d$.

Es considera la funció $f(x) = (a + b \cdot \cos x)^{1/x^2}$, definida en un entorn perforat de l'origen ($x \ne 0$), amb $a, b \in \mathbb{R}$.

1. a) Demostra raonadament que, perquè el límit $L = \lim_{x \to 0} f(x)$ sigui un nombre real estrictament positiu i finit diferent d'$1$, és condició necessària que $a + b = 1$. Justifica detalladament què passaria amb aquest límit si $a + b > 1$ o si $0 < a + b < 1$.
2. b) Assumint que $a + b = 1$, transforma la indeterminació de tipus $1^\infty$ mitjançant logaritmes neperians i aplica la regla de l'Hôpital per deduir una expressió del valor del límit en funció exclusiva del paràmetre $a$.
3. c) Determina els valors exactes d'$a$ i $b$ perquè el límit valgui exactament $\frac{1}{\sqrt{e}}$. Tot seguit, investiga si és possible trobar valors d'$a$ i $b$ perquè el límit sigui $e^2$, verificant si en aquest cas la funció base $a + b \cdot \cos x$ roman estrictament positiva en un entorn de $x = 0$.

Repte del tema. Com evoluciona la demanda elèctrica al nostre país i quin risc hi ha de sobrecàrrega a la xarxa? Converteix-te en analista energètic per un dia.

1. Dades i ajust: Entra al portal de Red Eléctrica (REE), descarrega les dades horàries de demanda peninsular d'una jornada ($24\text{ h}$) i importa-les a GeoGebra o a un full de càlcul per ajustar una funció polinòmica derivable $D(t)$.

2. Derivació i variació: Calcula la taxa de variació mitjana en el tram de més consum matinal. Aplica les regles de derivació usuals per obtenir analíticament la funció derivada $D'(t)$, identificant la taxa instantània i els instants de consum extrem ($D'(t) = 0$).

3. L'Hôpital i probabilitat: Avalua la sensibilitat límit del sistema davant de variacions quadràtiques del temps resolent $\lim_{t \to t_0} \frac{D(t) - D(t_0)}{t^2 - t_0^2}$ (amb $t_0 \neq 0$) mitjançant la regla de l'Hôpital. A més, fent servir la taula de freqüències de les $24\text{ h}$ i les propietats de la probabilitat (succés contrari i unió de successos compatibles), estima la probabilitat que una hora triada a l'atzar presenti alta demanda (superior a la mitjana diària) o acceleració de consum ($D''(t) > 0$).

4. Informe: Elabora un informe d'una pàgina que reculli gràfiques, deduccions analítiques i conclusions sobre l'estabilitat del sistema.

Es valorarà:

• Rigor en el càlcul analític de derivades i l'aplicació de la regla de l'Hôpital.

• Precisió en l'ajust de dades reals mitjançant GeoGebra i càlcul de taxes de variació.

• Ús correcte de les propietats de la probabilitat i coherència en les conclusions de l'informe.