Exercicis: Volums de revolució

La regió sota la corba $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ i $x = 4$ gira al voltant de l'eix $OX$, com es mostra a la figura.

Planteja la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ corresponent i calcula el volum del sòlid de revolució generat, expressant el resultat en funció de $\pi$.

La funció constant $f(x) = 2$ entre $x = 0$ i $x = 5$ gira al voltant de l'eix $OX$.

1. a) Calcula el volum del sòlid generat mitjançant la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
2. b) Quin cos geomètric s'ha generat? Comprova el resultat amb la fórmula del volum d'aquest cos.

La semicircumferència $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira al voltant de l'eix $OX$.

1. a) Quin cos geomètric es genera i entre quins límits s'ha d'integrar?
2. b) Calcula el seu volum amb la integral corresponent.
3. c) Comprova el resultat amb la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

El segment de la recta $y = x$ comprès entre $x = 0$ i $x = 3$ gira al voltant de l'eix $OX$ generant un cone.

1. a) Calcula el seu volum mitjançant la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
2. b) Identifica el radi i l'altura del cone i comprova el resultat amb la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Carlos intenta calcular el volum del sòlid de revolució generat en girar al voltant de l'eix $OX$ la regió del primer quadrant delimitada per les corbes $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = \frac{1}{2}x$.

En la seva resolució escriu els passos següents:

1r «Igualo ambdues funcions per trobar els extrems d'integració: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}x \implies x = 0$ i $x = 4$».

2n «Com que el sòlid té un forat interior, resto les funcions abans d'elevar al quadrat: $V = \pi \int_0^4 \left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 dx$».

3r «Desenvolupo el binomi: $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 = x - x^{3/2} + \frac{1}{4}x^2$».

4t «Integro i obtinc el volum: $V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^3}{12} \right]_0^4 = \frac{8\pi}{15}\ \text{u}^3$».

1. a) Identifica l'error conceptual comès per Carlos en el 2n pas i explica geomètricament per què el mètode de les volanderes exigeix restar els quadrats dels radis, $[f(x)]^2 - [g(x)]^2$, i no el quadrat de la resta, $[f(x)-g(x)]^2$.
2. b) Corregeix el plantejament escrivint la integral adequada i calcula el volum real del sòlid.
3. c) Demostra que si $f(x) > g(x) > 0$, sempre es verifica que $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 > [f(x)-g(x)]^2$, i conclou si el càlcul de Carlos va subestimar o sobreestimar el volum autèntic.

Considera la regió acotada per la corba $y = 2\sqrt{x}$, l'eix d'abscisses $OX$ i la recta vertical $x = 4$, la qual gira al voltant de l'eix $OX$ engendrant un sòlid de revolució (un paraboloide).

1. a) Estima: Abans de calcular cap integral, justifica que el sòlid queda completament inscrit dins d'un cilindre recte de radi $R = 4$ i alçària $h = 4$, i que al mateix temps conté al seu interior el con recte format en girar el segment rectilini que uneix l'origen $(0,0)$ amb el punt $(4,4)$. Calcula el volum exacte d'aquest cilindre ($V_{\text{cilindre}} = \pi R^2 h$) i d'aquest con ($V_{\text{con}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$) per acotar entre quines dues cotes numèriques s'ha de situar necessàriament el volum del sòlid.
2. b) Calcula: Planteja la integral definida $V = \pi \int_0^4 [f(x)]^2\,dx$ i calcula el valor exacte del volum del sòlid de revolució.
3. c) Comprova: Verifica si el valor obtingut cau dins de l'interval estimat en l'apartat a) i determina quina fracció exacta del volum del cilindre circumscrit representa aquest paraboloide.

El perfil d'una copa de ceràmica es modela amb la corba $y = \sqrt{x}$, amb $x$ i $y$ mesurats en centímetres, que gira al voltant de l'eix $OX$ entre $x = 0$ i $x = 9$.

1. a) Calcula el volum interior de la copa en $\text{cm}^3$, arrodonint a les unitats.
2. b) Sabent que $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}$, quina és la capacitat de la copa en mil·lilitres? Et sembla una capacitat raonable per a una copa? Comenta el resultat.

La regió tancada entre la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = x$, ombrejada a la figura, gira al voltant de l'eix $OX$ generant un sòlid buit.

1. a) Troba els punts de tall de totes dues corbes.
2. b) Planteja el volum com una diferència de dues integrals (mètode de la volandera) i calcula'l.

Un embut cònic de laboratori s'obté en fer girar la recta $y = 2x$, amb $0 \le x \le 2$, al voltant de l'eix $OY$, com es mostra a la figura (mesures en decímetres).

1. a) Expressa $x$ en funció de $y$ i planteja la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que dóna el volum, indicant els límits d'integració.
2. b) Calcula el volum de l'embut.
3. c) Comprova el resultat aplicant la fórmula del volum del con, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificant el radi i l'altura de l'embut.

La tobera d'un motor d'aeromodelisme és una peça la paret exterior de la qual segueix el perfil de la hipèrbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ i $x = 4$ (mesures en centímetres), en girar al voltant de l'eix $OX$.

1. a) Calcula el volum de material necessari per fabricar la peça, suposant que és macissa entre l'eix i el perfil.
2. b) Si el material té una densitat de $2,5\ \text{g/cm}^3$, quina és la massa de la peça? Arrodoneix a les dècimes de gram.

En els cellers de criança de vi de Jerez i Rioja, una bóta de roure de $80\ \text{cm}$ de longitud exterior té un perfil longitudinal interior que es modelitza mitjançant l'arc de paràbola $y = 30 - k x^2$, amb $x \in [-40, 40]$ mesurat en centímetres i $y$ representant el radi interior a cada secció transversal.

El radi interior al centre de la bóta ($x = 0$) és de $30\ \text{cm}$, mentre que en els dos fons plans ($x = -40$ i $x = 40$) el radi es redueix a $26\ \text{cm}$.

1. a) Determina raonadament el valor exacte de la constant $k$ a partir de les dades geomètriques de la bóta.
2. b) Planteja la integral definida que proporciona la capacitat de la bóta en fer girar aquest perfil parabòlic al voltant de l'eix $OX$ i calcula el seu volum exacte en centímetres cúbics (deixant el resultat en funció de $\pi$).
3. c) Converteix el volum a litres (prenent $\pi \approx 3,1416$ i arrodonint a les dècimes). És compatible aquest resultat amb la capacitat habitual de les bótes comercials estàndard ($200$–$225\ \text{litres}$)? Raona si aproximar la bóta per un cilindre simple de radi igual al radi mitjà ($r_m = \frac{30+26}{2} = 28\ \text{cm}$) sobreestimaria o subestimaria el volum real obtingut amb la integral.

Es vol calcular el volum del sòlid generat en girar al voltant de l'eix vertical $OY$ la regió del primer quadrant delimitada per la corba $y = \sqrt{x}$, la recta vertical $x = 4$ i l'eix horitzontal $OX$ ($y = 0$). Tres estudiants discuteixen com resoldre-ho:

• Camí A (Sofía): Observa que l'alçària màxima en l'eix vertical és $y = 2$. Proposa calcular el volum del cilindre exterior de radi $R = 4$ i alçària $H = 2$, i restar-li el volum del forat interior generat en girar la corba respecte a $OY$: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 2 - \pi \int_0^2 [g(y)]^2 dy$, aïllant $x = g(y) = y^2$.

• Camí B (Mateo): Proposa fer servir directament el mètode de les volanderes perpendiculars a l'eix $OY$. Com que el radi exterior és fix ($R = 4$) i l'interior varia sobre la corba ($r = y^2$), planteja $V = \pi \int_0^2 \big(4^2 - (y^2)^2\big)\,dy$.

• Camí C (Lucas): Afirma que no cal aïllar $y$ i que el volum es calcula directament amb $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx$.

1. a) Explica per què el mètode de Lucas (Camí C) és conceptualment erroni i quin volum geomètric representa en realitat la integral que ell va escriure.
2. b) Demostra algebraicament que les integrals de Sofía i Mateo condueixen exactament a la mateixa expressió i calcula el volum del sòlid.
3. c) Valora críticament quin dels dos camins correctes (A o B) resulta més avantatjós a l'hora d'evitar errors operatius en una prova d'avaluació i justifica la teva postura.

Una pilota de rugbi té forma d'el·lipsoide de revolució: la seva secció transversal és l'el·lipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, que gira al voltant de l'eix $OX$, com es mostra a la figura.

1. a) Aïlla $y^2$ de l'equació de l'el·lipse i planteja la integral que dona el volum de l'el·lipsoide.
2. b) Demostra que el volum d'un el·lipsoide de revolució és $V = \frac{4}{3} \pi a b^2$.
3. c) Una pilota reglamentària té una longitud de $30\ \text{cm}$ ($a = 15\ \text{cm}$) i un diàmetre màxim de $18\ \text{cm}$ ($b = 9\ \text{cm}$). Calcula el seu volum i expressa'l en litres, arrodonint a les dècimes.

La regió infinita limitada per la hipèrbola $y = \frac{1}{x}$, l'eix $OX$ i la recta $x = 1$ gira al voltant de l'eix $OX$, generant un sòlid infinit conegut com a trompeta de Torricelli, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el volum $V(b)$ del tram de trompeta comprès entre $x = 1$ i $x = b$.
2. b) Troba $\lim_{b \to +\infty} V(b)$ i interpreta el resultat: és finit el volum de la trompeta completa?
3. c) Calcula l'àrea de la regió que ha girat, és a dir, $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx$. Compara amb l'apartat anterior i comenta la paradoxa del pintor: es pot omplir la trompeta de pintura, però no se'n pot pintar la superfície.

Marcos ha calculat així el volum del sòlid que genera la regió sota la corba $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ i $x = 1$ en girar al voltant de l'eix $OX$:

«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»

1. a) Localitza l'error en el seu plantejament i explica en què consisteix.
2. b) Calcula el volum correctament.

Considera la regió del pla limitada per la paràbola $y = x^2$, l'eix $OX$ i la recta $x = 2$.

1. a) Calcula el volum del sòlid que genera en girar al voltant de l'eix $OX$.
2. b) Calcula el volum del sòlid que genera en girar al voltant de l'eix $OY$. (Suggeriment: resta al cilindre de radi $2$ i altura $4$ el sòlid que genera la regió compresa entre la corba i l'eix $OY$.)
3. c) Encara que la regió que gira és la mateixa, els dos volums no coincideixen. Explica raonadament per què.

Considera la família de recintes acotats del pla compresos entre la paràbola $y = x^2$ i la recta secant $y = m x$, on el paràmetre $m > 0$ representa el pendent de la recta.

En fer girar aquest recinte al voltant de l'eix d'abscisses $OX$, es genera un sòlid de revolució el volum del qual representem per $V(m)$.

1. a) Troba els punts de tall entre ambdues corbes en funció de $m$, planteja la integral del volum mitjançant el mètode de les volanderes i obtén l'expressió analítica de $V(m)$ en funció de $\pi$ i del paràmetre $m$.
2. b) Demostra que $V(m)$ és una funció proporcional a $m^5$. A partir d'aquesta propietat d'escala, respon sense necessitat d'integrar de nou: si dupliquem el pendent de la recta, per quin factor es multiplica el volum del nou sòlid generat?
3. c) Resol el problema invers: determina el valor exacte del pendent $m$ perquè el volum del sòlid de revolució generat sigui exactament igual a $\frac{64\pi}{15}\ \text{u}^3$.

En una estació meteorològica d'AEMET s'utilitza un pluviòmetre d'alta sensibilitat per registrar precipitacions febles. El recipient col·lector té la forma d'un paraboloide de revolució generat en girar la corba $y = a x^2$ al voltant de l'eix vertical $OY$. El recipient té una alçària total de $16\ \text{cm}$ i una boca circular superior de $16\ \text{cm}$ de diàmetre (és a dir, $8\ \text{cm}$ de radi).

1. a) Determina el valor del paràmetre $a$, aïlla $x = g(y)$ i calcula mitjançant càlcul integral la capacitat total del recipient en $\text{cm}^3$ (en funció de $\pi$) i el seu equivalent en litres.
2. b) Dedueix la fórmula del volum d'aigua acumulat $V(h)$ en funció de l'alçària que assoleix el líquid $h$ (amb $0 \le h \le 16\ \text{cm}$). A partir d'aquesta funció, calcula a quina alçària exacta $h$ el pluviòmetre es troba al $50\,\%$ de la seva capacitat màxima. Justifica geomètricament per què aquesta alçària és estrictament més gran que la meitat de l'alçària del recipient ($8\ \text{cm}$).
3. c) Calcula la taxa de variació instantània de l'alçària respecte al volum acumulat, $\frac{dh}{dV}$. Compara el valor d'aquesta taxa quan el recipient està gairebé buit ($h \to 0$) enfront de quan està gairebé ple ($h = 16\ \text{cm}$) i explica per què aquesta geometria parabòlica és molt més eficaç que la d'un pluviòmetre cilíndric estàndard per detectar plugims inapreciables.

Repte del tema. Dissenya un dipòsit de retenció pluvial adaptat a la teva localitat integrant GeoGebra i el càlcul integral.

1. Fase 1. Probabilitat climàtica: Descarrega a AEMET la precipitació diària de l'últim mes a la teva comarca. Modela una funció de densitat contínua $f(x) = k \cdot e^{-0,2x}$ per a $x \in [0, 20]$ que representi els litres per metre quadrat. Troba analíticament $k$ per verificar que $\int_0^{20} f(x)\,dx = 1$ i calcula la probabilitat de registrar més de $5\text{ mm}$ de pluja.

2. Fase 2. Geometria i volum: Modela a GeoGebra la paret del dipòsit mitjançant una corba $y = g(x)$ en un interval $[0, b]$. Calcula la capacitat total del dipòsit determinant el volum de revolució generat en girar aquesta funció al voltant de l'eix $OX$: $V = \pi \int_0^b [g(x)]^2\,dx$.

3. Fase 3. Ompliment i TFC: A partir d'una funció de cabal d'entrada variable $c(t)$, aplica el Teorema Fonamental del Càlcul i la regla de Barrow per obtenir la funció del volum acumulat en el temps mitjançant l'àrea sota la corba.

Elabora un breu informe tècnic (màxim dues pàgines) amb els desenvolupaments analítics, captures del model a GeoGebra i una valoració sobre l'adequació del volum obtingut a les dades climàtiques.

Es valorarà:

• Aplicació rigorosa de la regla de Barrow i càlcul correcte d'integrals per a àrees i volums de revolució.

• Justificació matemàtica de les propietats de la probabilitat i la funció de densitat amb dades d'AEMET.

• Modelatge geomètric correcte a GeoGebra i interpretació del Teorema Fonamental del Càlcul.