Volúmenes de revolución
Cuando una región plana gira alrededor de un eje, genera un sólido en el espacio: un rectángulo que gira da un cilindro, un triángulo rectángulo da un cono, un semicírculo da una esfera. La integral definida te permite calcular el volumen de cualquier sólido de este tipo, no solo de los que tienen fórmula conocida.
El método del disco
Igual que aproximabas un área con rectángulos, ahora aproximas un volumen con discos (cilindros muy finos) apilados. Cada disco, a la altura $x$, tiene radio $f(x)$ y espesor $dx$: su volumen es $\pi [f(x)]^2\,dx$. Sumando (integrando) todos los discos entre $a$ y $b$ obtienes el volumen total.
La región bajo la curva $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ gira alrededor del eje $OX$, como se muestra en la figura. Plantea la integral…
La región bajo la curva $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ gira alrededor del eje $OX$, como se muestra en la figura.
Plantea la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ correspondiente y calcula el volumen del sólido de revolución generado, expresando el resultado en función de $\pi$.
Comprobar con las fórmulas que ya conoces
Antes de aplicarlo a curvas nuevas, compruébalo con las figuras de siempre: si la "curva" que gira es una recta horizontal, obtienes un cilindro; si es una recta oblicua por el origen, un cono; si es una semicircunferencia, una esfera. El resultado de la integral debe coincidir con la fórmula geométrica.
La función constante $f(x) = 2$ entre $x = 0$ y $x = 5$ gira alrededor del eje $OX$. a) Calcula el volumen del sólido generado mediante la integral…
La función constante $f(x) = 2$ entre $x = 0$ y $x = 5$ gira alrededor del eje $OX$.
- a) Calcula el volumen del sólido generado mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
- b) ¿Qué cuerpo geométrico se ha generado? Comprueba el resultado con la fórmula del volumen de ese cuerpo.
La semicircunferencia $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira alrededor del eje $OX$. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera y entre qué límites hay que integrar? b) Calcula su volumen…
La semicircunferencia $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira alrededor del eje $OX$.
- a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera y entre qué límites hay que integrar?
- b) Calcula su volumen con la integral correspondiente.
- c) Comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
El segmento de la recta $y = x$ comprendido entre $x = 0$ y $x = 3$ gira alrededor del eje $OX$ generando un cono. a) Calcula su volumen mediante la integral…
El segmento de la recta $y = x$ comprendido entre $x = 0$ y $x = 3$ gira alrededor del eje $OX$ generando un cono.
- a) Calcula su volumen mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
- b) Identifica el radio y la altura del cono y comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
El error más frecuente: olvidar el cuadrado
El fallo típico en un examen es escribir $V=\pi\int f(x)\,dx$ en lugar de $V=\pi\int [f(x)]^2\,dx$. Parece un detalle, pero cambia completamente el resultado: sin el cuadrado, lo que se calcula es $\pi$ veces un área, no un volumen.
Marcos ha calculado así el volumen del sólido que genera la región bajo la curva $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ y $x = 1$ al girar en torno al eje $OX$: «…
Marcos ha calculado así el volumen del sólido que genera la región bajo la curva $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ y $x = 1$ al girar en torno al eje $OX$:
«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»
- a) Localiza el error en su planteamiento y explica en qué consiste.
- b) Calcula el volumen correctamente.
El método de la arandela: volumen entre dos curvas
Si la región que gira está entre dos curvas $f(x)\ge g(x)$ (no entre una curva y el eje), cada sección transversal ya no es un disco macizo sino un anillo ("arandela"): un círculo grande de radio $f(x)$ con un agujero de radio $g(x)$.
La región encerrada entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x$, sombreada en la figura, gira alrededor del eje $OX$ generando un sólido hueco. a) Halla los puntos de…
La región encerrada entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x$, sombreada en la figura, gira alrededor del eje $OX$ generando un sólido hueco.
- a) Halla los puntos de corte de ambas curvas.
- b) Plantea el volumen como una diferencia de dos integrales (método de la arandela) y calcúlalo.
Girar en torno al eje OY
Si el giro es alrededor del eje $OY$ en lugar de $OX$, la lógica es idéntica pero con los papeles de $x$ e $y$ intercambiados: despeja $x$ en función de $y$ y los discos ahora se apilan "en vertical".
Un embudo cónico de laboratorio se obtiene al hacer girar la recta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, en torno al eje $OY$, como se muestra en la figura (medidas en…
Un embudo cónico de laboratorio se obtiene al hacer girar la recta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, en torno al eje $OY$, como se muestra en la figura (medidas en decímetros).
- a) Expresa $x$ en función de $y$ y plantea la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que da el volumen, indicando los límites de integración.
- b) Calcula el volumen del embudo.
- c) Comprueba el resultado aplicando la fórmula del volumen del cono, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificando el radio y la altura del embudo.
La tobera de un motor de aeromodelismo es una pieza hueca cuya pared interior sigue el perfil de la hipérbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ (medidas en…
La tobera de un motor de aeromodelismo es una pieza hueca cuya pared interior sigue el perfil de la hipérbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ (medidas en centímetros), al girar en torno al eje $OX$.
- a) Calcula el volumen de material necesario para fabricar la pieza, suponiendo que es maciza entre el eje y el perfil.
- b) Si el material tiene una densidad de $2,5\ \text{g/cm}^3$, ¿cuál es la masa de la pieza? Redondea a las décimas de gramo.