Exercicis: Propietats de la integral definida

Dades dues funcions contínues $f(x)$ i $g(x)$ en l'interval $[1, 5]$, coneixem els valors següents de les seves integrals definides:

Utilitza les propietats de linealitat de la integral per a calcular el valor de:

Una empresa de logística monitoritza la velocitat d'un dels seus vehicles. La gràfica de la funció $f(x)$ representa el ritme de consum de combustible. Sabent que:

Calcula, aplicant la propietat d'aditivitat de l'interval, el valor de la integral $\int_0^7 f(x) \, dx$ i interpreta el seu significat si l'eix d'abscisses representa el temps en hores.

Sense realitzar el càlcul de la primitiva, raona basant-te en les propietats de simetria de les funcions per què el valor de la integral definida següent és exactament zero:

Si es coneix que la integral d'una funció $f(x)$ en un interval invertit és $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentit convencional:

Justifica quina propietat de la integral definida has utilitzat.

Determina, sense necessitat de calcular la primitiva ni d'avaluar la funció, el valor de la integral següent:

Indica el nom de la propietat en què et bases per a donar la teva resposta.

Se sap que una funció $f(x)$ és parella i que l'àrea tancada sota la seva corba entre l'eix d'ordenades ($x=0$) i la recta $x=3$ és de $4,5$ unitats quadrades. És a dir:

Calcula el valor de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ justificant el resultat mitjançant la simetria de la funció.

Dada una funció contínua $h(x)$, es coneixen les dades següents:

Calcula el valor de la integral $\int_3^6 h(x) \, dx$ utilitzant la propietat de la suma d'intervals.

Un dron es desplaça horitzontalment amb una velocitat constant de $v(t) = 12$ metres per segon. Calcula l'espai recorregut pel dron entre els segons $t=5$ i $t=15$ plantejant la integral definida de la funció constant:

Comprova el resultat usant la fórmula geomètrica de l'àrea d'un rectangle. A la figura s'ombreja la regió compresa entre la gràfica de $v(t)$ i l'eix de temps per a $5 \le t \le 15$.

En Marcos està resolent exercicis de repàs per a la prova d'accés a la universitat i es troba amb el següent enunciat: «Sabent que $f(x)$ és una funció contínua a $[1, 4]$ i que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8$, calcula el valor de $\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx$».\nEn la seva llibreta escriu la següent resolució:\n$$\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx = 2 \cdot \int_{1}^{4} f(x) \, dx + 3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19$$\na) Identifica amb precisió matemàtica l'error que ha comès en Marcos. Explica per què el seu tractament del terme constant $+3$ és incorrecte atenent a la definició de la integral definida com a suma d'àrees de rectangles infinitesimals.\nb) Corregeix el càlcul aplicant amb rigor les propietats de linealitat de la integral definida.

Considera la següent integral definida sobre un interval simètric:\n$$I = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 2x + 5) \, dx$$\na) Estima: Abans de calcular primitives, analitza els tres sumands de l'integrand i el seu comportament respecte a l'origen de coordenades. Prediu de manera raonada quin serà el valor numèric exacte d'$I$, justificant quins termes s'anul·laran per simetria i quin determinarà el resultat final.\nb) Comprova: Aplica les propietats de linealitat i de simetria (paritat i imparitat) de la integral definida per descompondre $I$ en sumes d'integrals més simples. Justifica formalment el valor de cadascuna sense calcular primitives de les potències imparells i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

Se sap que un senyal elèctric captat per un sensor segueix un comportament descrit per dues funcions, $f(x)$ i $g(x)$. Després de realitzar diverses mesuraments al laboratori, s'han obtingut els valors següents per a les seves integrals definides en l'interval $[1, 4]$:

$\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ i $\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -3$

Utilitzant les propietats de linealitat de la integral definida, calcula el valor de la integral resultant de la combinació de tots dos senyals en aquest interval:

Un dron de vigilància recorre una trajectòria rectilínia la velocitat de la qual en funció del temps ve donada per una funció contínua $v(t)$. Els analistes de dades han determinat que el desplaçament acumulat en diferents trams és:

1. Des de l'inici fins al segon 3: $\int_{0}^{3} v(t) \, dt = 45$ metres.

2. Des del segon 3 fins al segon 8: $\int_{3}^{8} v(t) \, dt = 120$ metres.

3. Des del segon 5 fins al segon 8: $\int_{5}^{8} v(t) \, dt = 70$ metres.

Calcula, justificant l'ús de la propietat d'aditivitat de l'interval, el desplaçament del dron entre els segons 0 i 5, és a dir: $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$.

Considera una funció $f(x)$ que és parella i una funció $g(x)$ que és senar en tot el conjunt dels nombres reals. Es coneixen les dades següents:

$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ i $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$

Troba, aplicant les propietats de simetria de la integral definida, el valor de:

Sigui $f(x)$ una funció contínua en l'interval $[2, 6]$ de la qual se sap que el seu valor mínim és $m = 1$ i el seu valor màxim és $M = 5$.

1. a) Indica raonadament entre quins valors es troba compresa la integral $\int_{2}^{6} f(x) \, dx$.

1. b) Si sabem a més que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = 12$, troba el valor mitjà de la funció en aquest interval i explica el seu significat geomètric.

Dada la funció contínua $f(x)$ definida en l'interval $[-2, 5]$, se sap que l'àrea tancada per la corba i l'eix $OX$ és la següent:

• En l'interval $[-2, 1]$, la funció és negativa i l'àrea del recinte és $4$ $u^2$.

• En l'interval $[1, 5]$, la funció és positiva i l'àrea del recinte és $10$ $u^2$.

Calcula raonadament els valors de les integrals definides següents:

1. $\int_{-2}^{5} f(x) \, dx$

2. $\int_{5}^{1} f(x) \, dx$

3. $\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx$

Sabent que la integral d'una funció $f(x)$ en l'interval $[a, b]$ és igual a $I$, demostra utilitzant les propietats de la integral definida que:

Explica la interpretació d'aquest resultat en relació amb el teorema del valor mitjà del càlcul integral.

Calcula el valor de la integral definida de la funció $f(x) = |x^2 - 4|$ en l'interval $[0, 3]$. Per a fer-ho, hauràs de descompondre la integral en diversos trams utilitzant la propietat d'aditivitat segons el signe de l'integrand.

Sense necessitat de calcular les primitives, justifica raonadament quina de les integrals següents és més gran utilitzant la propietat de comparació d'integrals ($f(x) \leq g(x) \implies \int f \leq \int g$):

Canviaria la teva resposta si l'interval d'integració fos $[1, 2]$? Justifica la resposta analitzant el comportament de les funcions en tots dos intervals.

La Confederació Hidrogràfica de l'Ebre (CHE) monitora el cabal net d'entrada $q(t)$ (mesurat en $\text{hm}^3/\text{dia}$) en un embassament del Pirineu durant un episodi de pluges de tres dies ($t \in [0, 3]$). Els sensors automàtics van registrar les següents mesuraments hídrics integrats:\n- Aportació neta total durant els tres dies complets: $\int_{0}^{3} q(t) \, dt = 14,5 \, \text{hm}^3$.\n- Aportació neta acumulada en els dos últims dies: $\int_{1}^{3} q(t) \, dt = 9,2 \, \text{hm}^3$.\n- Mesurament de control entre dues comportes registrat en sentit cronològic invers: $\int_{2}^{1} q(t) \, dt = -3,8 \, \text{hm}^3$.\na) Modela la situació plantejant les relacions pertinents mitjançant les propietats d'additivitat per intervals i inversió de límits d'integració, i calcula el volum net aportat durant el primer dia ($t \in [0, 1]$).\nb) Determina raonadament el volum net d'aigua que va entrar a l'embassament exclusivament durant el tercer dia ($t \in [2, 3]$).

El departament d'aerodinàmica d'una escuderia modela la secció d'un aleró mitjançant una funció contínua $f(x)$ que és parell a tot $\mathbb{R}$ ($f(-x) = f(x)$). En els assajos al túnel de vent s'han determinat els següents valors de sustentació acumulada:\n$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 \qquad\text{i}\qquad \int_{-4}^{6} f(x) \, dx = 19$$\na) Utilitzant les propietats de simetria de les funcions parells i l'additivitat d'intervals, dedueix justificadament el valor de $\int_{4}^{6} f(x) \, dx$ i el de $\int_{-6}^{-4} f(x) \, dx$.\nb) Problema invers: Es vol afegir un dispositiu de compensació que genera un efecte constant uniforme. Planteja i resol l'equació que permet determinar el valor exacte de la constant real $k$ perquè es compleixi la següent condició d'equilibri:\n$$\int_{-4}^{4} [k \cdot f(x) - 2] \, dx = 16$$

En el processament de senyals d'àudio digital, s'estudien funcions que representen ones de so complexes. Considera la funció $f(x) = x^3 \cdot \cos(x^2) \cdot e^{\sin^2(x)}$. Sense fer el càlcul de cap primitiva, justifica raonadament, basant-te en les propietats de la integral definida, el valor de:

Posteriorment, si se sap que $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = K$, determina en funció de $K$ el valor de $\int_{-5}^{0} f(x) \, dx$.

Sigui la funció $F(x)$ definida per a $x > 0$ mitjançant la integral següent amb límits variables:

Utilitzant el Teorema Fonamental del Càlcul i la regla de la cadena, calcula el valor de la derivada $F'(1)$. Explica quina propietat de la integral definida et permet descompondre l'interval d'integració per aplicar el teorema si els límits no són constants.

En un experiment d'òptica sobre la difracció de la llum, s'obté una integral de la forma $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$.

Per resoldre-la, utilitza la propietat de reflexió $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ per demostrar que:

A partir d'aquesta igualtat, troba el valor exacte de la integral $I$.

Donades dues funcions contínues $f$ i $g$ en l'interval $[0, 1]$ tals que $f(x) = \frac{1}{1+x^4}$ i $g(x) = 1 - x^4$, utilitza la propietat d'acotació de la integral definida per demostrar la desigualtat següent sense calcular les integrals:

Ajuda: Analitza el comportament de les funcions a l'interior de l'interval $(0, 1)$ i utilitza que per a $0 < u < 1$ es compleix $1-u < \frac{1}{1+u} < 1$.

Sigui la funció $f(x) = |x - a| + |x - 2|$ definida en l'interval $[0, 4]$. Si se sap que el valor de la integral definida d'aquesta funció en aquest interval és mínim per a un valor específic de $a \in [0, 4]$, utilitza les propietats de la integral per expressar $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ com una funció de $a$, $I(a)$, i troba el valor de $a$ que minimitza aquesta integral.

Un dron de vigilància es desplaça en línia recta seguint una velocitat donada per la funció $v(t) = t \cdot \sqrt{16 - t^2}$ en metres per segon, on $t$ és el temps en segons des de l'inici de la missió fins a $t = 4$.

Troba tots els instants $c \in (0, 4)$ en què la velocitat instantània del dron coincideix amb la seva velocitat mitjana en tot l'interval $[0, 4]$. Per a això, aplica el Teorema del Valor Mitjà del Càlcul Integral i resol la integral definida corresponent.

Donada la funció integral $G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$, resol els apartats següents utilitzant el Teorema Fonamental del Càlcul:

1. a) Calcula $G'(x)$, estudia'n el signe i analitza els intervals de creixement i decreixement de $G(x)$ a $[0, 3]$.

1. b) Determina les abscisses dels màxims i mínims relatius de $G(x)$ a l'interval $[0, 3]$.

1. c) Sense calcular la integral, justifica si el valor de $\int_{1}^{2} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$ és positiu o negatiu basant-te en el signe de la funció integrand en aquest interval.

Una peça mecànica té un perfil superior definit per la funció $f(x)$ que és periòdica de període $T=2$. Es coneix que en l'interval $[0, 2]$, la funció és $f(x) = x(2-x)$.

Calcula el valor de l'àrea total sota la corba en l'interval $[0, 20]$ utilitzant les propietats de la integral definida per a funcions periòdiques i l'aditivitat respecte a l'interval.

En una prova de matemàtiques avançades es proposa calcular el valor exacte de la integral definida:\n$$I = \int_{-2}^{2} \left( \frac{x^5 \cdot \sqrt{4 + x^2} + \sin^3(x)}{1 + \cos^2(x) + x^4} + 3x^2 + 5 \right) \, dx$$\nDos estudiants debaten sobre l'estratègia adequada:\n- Laura (Mètode 1): Proposa buscar primer una funció primitiva general $F(x)$ per a tot l'integrand aplicant tècniques estàndard d'integració indefinida (canvis de variable i trigonometria) i després aplicar la regla de Barrow calculant $F(2) - F(-2)$.\n- David (Mètode 2): Proposa descompondre la integral aplicant linealitat, estudiar analíticament la paritat de la fracció i resoldre el terme polinòmic aprofitant les propietats de simetria de la integral definida.\na) Tria el mètode: Analitza críticament la viabilitat de tots dos mètodes en el nivell de 2n de Batxillerat. Justifica de manera rigorosa per què el camí de la Laura és impracticable i per què el mètode d'en David és l'idoni.\nb) Seguint el mètode més eficient, demostra formalment la simetria de cada sumand i calcula el valor numèric exacte d'$I$ justificant cada propietat utilitzada.

En Pablo i la Sofía discuteixen sobre l'abast de les propietats teòriques de la integral definida. En Pablo formula a la pissarra dues conclusions:\n1. Conclusió 1: «Per calcular $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ sabent únicament que $\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 15$ i que $\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 6$, no es pot aplicar la propietat d'additivitat $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ perquè el punt $c = 10$ no està dins de l'interval $[2, 8]$».\n2. Conclusió 2: «Si per a una funció contínua $g(x)$ es comprova que $\int_{-3}^{3} g(x) \, dx = 0$, queda demostrat que $g(x)$ és obligatòriament una funció imparell a $[-3, 3]$».\na) Identifica l'error conceptual de la Conclusió 1. Demostra formalment que la propietat d'additivitat continua sent vàlida encara que $c$ sigui exterior a l'interval $[a, b]$, combinant la relació ordinària a $[2, 10]$ amb la inversió de límits, i calcula el valor exacte de $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$.\nb) Refuta la Conclusió 2 explicant l'error de raonament lògic (confusió entre implicació i recíproc) i proporciona un contraexemple explícit: defineix una funció contínua senzilla que sigui parell a $[-3, 3]$ (i no idènticament nul·la) la integral de la qual en aquest interval simètric sigui exactament $0$.