Propiedades de la integral definida
Cuando conoces el valor de algunas integrales, muchas veces puedes deducir otras sin calcular ninguna primitiva: basta con aplicar unas pocas propiedades. Son las mismas de siempre (linealidad, descomponer en trozos...) pero ahora aplicadas a números concretos, no a funciones.
Linealidad: sumas y múltiplos
La integral definida se comporta igual que la indefinida respecto a sumas y constantes que multiplican.
Dadas dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[1, 5]$, conocemos los siguientes valores de sus integrales definidas: $$\int_1^5 f(x) \, dx = 6 \quad…
Dadas dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[1, 5]$, conocemos los siguientes valores de sus integrales definidas:
$$\int_1^5 f(x) \, dx = 6 \quad \text{y} \quad \int_1^5 g(x) \, dx = -3$$Utiliza las propiedades de linealidad de la integral para calcular el valor de:
$$\int_1^5 [2f(x) + 4g(x)] \, dx$$Aditividad respecto al intervalo
Si partes $[a,b]$ en dos trozos con un punto intermedio $c$, la integral del intervalo completo es la suma de las integrales de los trozos. Esto es lo que ya usaste en el apartado anterior para "trocear" una región con cambio de signo.
Una empresa de logística monitoriza la velocidad de uno de sus vehículos. La gráfica de la función $f(x)$ representa el ritmo de consumo de combustible. Sabiendo que:…
Una empresa de logística monitoriza la velocidad de uno de sus vehículos. La gráfica de la función $f(x)$ representa el ritmo de consumo de combustible. Sabiendo que:
$$\int_0^4 f(x) \, dx = 12 \quad \text{y} \quad \int_4^7 f(x) \, dx = 5$$Calcula, aplicando la propiedad de aditividad del intervalo, el valor de la integral $\int_0^7 f(x) \, dx$ e interpreta su significado si el eje de abscisas representa el tiempo en horas.
Dada una función continua $h(x)$, se conocen los siguientes datos: $$\int_1^3 h(x) \, dx = 4 \quad \text{y} \quad \int_1^6 h(x) \, dx = 10$$ Calcula el valor de la…
Dada una función continua $h(x)$, se conocen los siguientes datos:
$$\int_1^3 h(x) \, dx = 4 \quad \text{y} \quad \int_1^6 h(x) \, dx = 10$$Calcula el valor de la integral $\int_3^6 h(x) \, dx$ utilizando la propiedad de la suma de intervalos.
Intervalo invertido y el punto como intervalo
Dos casos especiales conviene tenerlos claros de memoria porque aparecen constantemente al manipular límites de integración.
Si se conoce que la integral de una función $f(x)$ en un intervalo invertido es $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentido convencional:…
Si se conoce que la integral de una función $f(x)$ en un intervalo invertido es $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentido convencional:
$$\int_3^8 f(x) \, dx$$Justifica qué propiedad de la integral definida has utilizado.
Determina, sin necesidad de calcular la primitiva ni evaluar la función, el valor de la siguiente integral: $$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{e^x \cdot…
Determina, sin necesidad de calcular la primitiva ni evaluar la función, el valor de la siguiente integral:
$$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{e^x \cdot \ln(x^2+1)}{\cos^2(x)+5} \, dx$$Indica el nombre de la propiedad en la que te basas para dar tu respuesta.
Simetría: funciones pares e impares
En un intervalo simétrico $[-a,a]$, saber si $f$ es par o impar te ahorra la mitad del trabajo (o todo el trabajo, si es impar).
Sin realizar el cálculo de la primitiva, razona basándote en las propiedades de simetría de las funciones por qué el valor de la siguiente integral definida es…
Sin realizar el cálculo de la primitiva, razona basándote en las propiedades de simetría de las funciones por qué el valor de la siguiente integral definida es exactamente cero:
$$\int_{-10}^{10} (x^7 - \sin(x) + x^3) \, dx$$Se sabe que una función $f(x)$ es par y que el área encerrada bajo su curva entre el eje de ordenadas ($x=0$) y la recta $x=3$ es de $4,5$ unidades cuadradas. Es decir:…
Se sabe que una función $f(x)$ es par y que el área encerrada bajo su curva entre el eje de ordenadas ($x=0$) y la recta $x=3$ es de $4,5$ unidades cuadradas. Es decir:
$$\int_0^3 f(x) \, dx = 4,5$$Calcula el valor de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ justificando el resultado mediante la simetría de la función.
Considera una función $f(x)$ que es par y una función $g(x)$ que es impar en todo el conjunto de los números reales. Se conocen los siguientes datos:…
Considera una función $f(x)$ que es par y una función $g(x)$ que es impar en todo el conjunto de los números reales. Se conocen los siguientes datos:
$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ y $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$
Halla, aplicando las propiedades de simetría de la integral definida, el valor de:
$$\int_{-3}^{3} [3f(x) - g(x)] \, dx$$