Área bajo una curva
Hasta ahora has sabido calcular áreas de triángulos, trapecios o círculos porque tienen fórmula. Pero, ¿cuál es el área de la región que queda entre la curva $f(x)=x^2$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=2$? No hay ninguna fórmula geométrica para esa forma. La integral definida nace exactamente para resolver este problema.
Aproximar el área con rectángulos
La idea es sencilla: si no sabes calcular el área exacta de una forma curva, apróximala con formas que sí sabes calcular. Divide el intervalo $[a,b]$ en trozos estrechos de anchura $\Delta x$ y, en cada trozo, levanta un rectángulo cuya altura sea (aproximadamente) el valor de $f(x)$ en ese trozo.
Cuantos más rectángulos uses (más estrechos), menos "sobra" o "falta" entre el escalón y la curva real, y la suma de sus áreas se acerca más al área verdadera.
Cuando $f$ es constante, los "rectángulos" son todos iguales al propio recinto: no hace falta aproximar nada, el área es exacta desde el primer rectángulo.
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se…
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ km/h durante la primera media hora ($t = 0,5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.
La integral definida: notación y significado
Cuando el número de rectángulos crece sin límite ($n\to\infty$ y $\Delta x\to 0$), la suma de sus áreas se estabiliza en un número. Ese número es la integral definida de $f$ entre $a$ y $b$.
Cuando $f$ es siempre positiva en $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ es exactamente el área entre la curva y el eje $OX$. Si $f$ es una función sencilla (recta, por ejemplo), puedes comprobar que la integral coincide con el área calculada por geometría.
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas…
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:
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Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).
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Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de: $$\int_{1}^{2} (3x^2…
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 5) \, dx$$El signo de la integral: áreas por debajo del eje
Una suma de Riemann no sabe distinguir "arriba" de "abajo": si $f(x)<0$, cada rectángulo tiene una altura negativa y su "área" entra en la suma con signo negativo.
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$). Pista: Primero debes encontrar los puntos de corte de…
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Pista: Primero debes encontrar los puntos de corte de la función con el eje $OX$ para determinar los límites de integración. Recuerda que, si la función es negativa en el intervalo, el área es el valor absoluto de la integral.
Un túnel de lavado para coches tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana…
Un túnel de lavado para coches tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.
Funciones que cambian de signo: hay que partir la integral
Si $f$ es positiva en una parte de $[a,b]$ y negativa en otra, la integral $\int_a^b f(x)\,dx$ mezcla áreas positivas y negativas y no da el área total de la región sombreada (las partes se pueden cancelar). Para hallar el área real, localiza primero los puntos donde $f$ corta al eje $OX$ y separa la integral en tantos trozos como cambios de signo haya.
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. Nota: Observa que la función corta…
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema: Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$,…
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:
Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:
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$\int_{1}^{6} f(x) \, dx$
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$\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo…
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.