Exercicis: Àrea sota una corba

Considera la funció lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Es demana calcular l'àrea de la regió ombrejada en el gràfic, limitada per la funció, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 4$. Per a això:

1. Calcula el valor de l'àrea utilitzant fórmules geomètriques elementals (àrea d'un trapezi).

2. Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicant la regla de Barrow i comprova que tots dos resultats coincideixen.

Calcula el valor de la integral definida de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en l'interval $[1, 2]$. És a dir, obtén el resultat de:

Un túnel de rentat per a cotxes té una estructura metàl·lica la part superior de la qual segueix la forma de la paràbola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula l'àrea de la superfície plana (frontal) limitada per l'estructura de la paràbola i el terra (eix $OX$), sabent que els punts de suport al terra són $x = -2$ i $x = 2$.

En física, l'espai recorregut per un objecte es pot calcular com l'àrea sota la corba en una gràfica de velocitat respecte al temps. Si un patinador elèctric es mou amb una velocitat constant de $v(t) = 12$ km/h durant la primera mitja hora ($t = 0,5$ h), planteja i calcula la integral definida que representa la distància recorreguda en aquest temps.

Troba l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 9$ i l'eix d'abscisses ($OX$).

Utilitza les propietats de la integral definida per resoldre el problema següent:

Sabent que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ i que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula raonadament el valor de:

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Calcula l'àrea total de la regió compresa entre la recta $f(x) = x - 2$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$.

Nota: Observa que la funció talla l'eix $OX$ en un punt dins de l'interval donat, per la qual cosa hauràs de descompondre el recinte en dues subàrees.

Una empresa de disseny gràfic vol crear un logotip que inclou una forma corba definida per $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula l'àrea de la part del logotip tancada entre aquesta corba, l'eix $OX$ i la recta vertical $x = 9$.

La Lucía ha de calcular l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = x^2 - 1$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 2$. Al seu examen escriu el desenvolupament següent:

1. a) Sense fer encara cap càlcul nou, explica detalladament l'error conceptual comès per la Lucía a partir del signe de $f(x)$ a l'interval $[0, 2]$ i explica per què el seu resultat final és menor que l'àrea real.
2. b) Corregeix l'exercici dividint adequadament l'interval d'integració i calcula el valor exacte de l'àrea.

Es vol calcular l'àrea del recinte tancat delimitat per la paràbola $f(x) = 4 - x^2$ i els semieixos positius de coordenades en el primer quadrant.

1. a) Abans d'integrar, fes una estimació prèvia de l'àrea acotant-la entre dues figures geomètriques elementals: el triangle rectangle de vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$ i $(0,4)$, i el rectangle circumscrit de dimensions $2 \times 4$. A partir d'aquestes dues cotes, proposa un valor numèric estimat per a l'àrea.
2. b) Calcula el valor exacte de l'àrea aplicant la regla de Barrow a la integral definida corresponent.
3. c) Comprova si el valor exacte obtingut queda dins de les cotes establertes a l'apartat a) i determina l'error absolut comès per la teva estimació inicial respecte al valor real.

Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ i l'eix d'abscisses $OX$. Representa gràficament el recinte abans de realitzar els càlculs per identificar els punts de tall.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina l'àrea de la regió compresa entre la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix $OX$ en l'interval $[-1, 2]$. Tingues en compte que la funció pot canviar de signe dins de l'interval, per la qual cosa hauràs de descompondre la integral si és necessari.

Una empresa de disseny gràfic vol crear un logotip que inclou la forma d'una "onada". Aquesta forma ve definida per la funció $f(x) = \sin(x) + 1$ en l'interval $[0, \pi]$. Calcula la superfície total de la figura limitada per la corba, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = \pi$.

Troba l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = |x^2 - 1|$ i l'eix d'abscisses entre $x = 0$ i $x = 2$. Recorda que la definició de valor absolut implica que la funció sempre és no negativa, però la seva expressió analítica canvia en els punts on l'argument s'anul·la.

Es considera la funció $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de $f(x)$, l'eix $OX$, l'eix $OY$ i la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 3$.

Troba el valor d'un paràmetre positiu $k$ sabent que l'àrea de la regió limitada per la paràbola $f(x) = kx^2$ i l'eix $OX$ entre $x = 0$ i $x = 3$ és exactament de $18$ unitats quadrades.

Un arquitecte està dissenyant l'entrada d'un túnel la secció frontal del qual es pot modelar mitjançant la funció $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, on $x$ i $y$ estan expressats en metres. El terra del túnel coincideix amb l'eix $OX$. Calcula l'àrea de la secció transversal de l'entrada del túnel.

Calcula l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = \sqrt{x}$, l'eix $OX$ i la recta $y = -x + 6$ en el primer quadrant. Ajuda: identifica primer el punt d'intersecció entre la corba i la recta per determinar els límits d'integració.

Considera la família de corbes donada per $f_k(x) = kx - x^2$, on $k$ és un paràmetre real positiu ($k > 0$).

1. a) Troba els punts de tall de la gràfica de $f_k$ amb l'eix $OX$ i determina, en funció del paràmetre $k$, l'expressió de l'àrea del recinte limitat per la corba i aquest eix.
2. b) Calcula el valor concret de $k$ perquè l'àrea d'aquest recinte sigui exactament igual a $36\text{ u}^2$.
3. c) Per al valor de $k$ obtingut a l'apartat anterior, es vol traçar una recta vertical d'equació $x = c$ (amb $0 < c < k$) que divideixi el recinte en dues regions d'igual superfície. Sense plantejar cap nova equació integral, dedueix i raona quin ha de ser el valor exacte de $c$ recolzant-te en les propietats de simetria de la funció.

Segons els registres de radiació solar de l'AEMET en una estació meteorològica de Sevilla durant un dia clar de primavera, la potència instantània generada per una instal·lació fotovoltaica es modelitza mitjançant la funció:

on $P(t)$ representa la potència en megawatts ($\text{MW}$) i $t$ és l'hora del dia mesurada en l'interval $[0, 24]$.

1. a) Determina l'interval d'hores del dia $[t_1, t_2]$ en què la instal·lació genera energia de manera efectiva ($P(t) \ge 0$).
2. b) Sabent que l'energia acumulada total produïda (en $\text{MWh}$) coincideix amb l'àrea sota la corba de potència durant les hores de producció, calcula l'energia total generada al llarg d'aquesta jornada.
3. c) Si l'energia es retribueix a una tarifa fixa de $50\text{ €/MWh}$, troba l'ingrés econòmic del dia. Explica per què hauria estat un error metodològic calcular l'energia mitjançant la integral directa $\int_0^{24} P(t)\,dt$.

Un arquitecte està dissenyant el perfil lateral d'un nou pavelló esportiu. L'estructura principal segueix la corba de la funció $f(x) = -x^2 + 6x$. Per assegurar l'estabilitat, s'ha de col·locar un reforç metàl·lic que segueix la línia tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 4$.

Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x)$, la recta tangent esmentada i l'eix d'ordenades ($Eje\ OY$).

Considera les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$. Sigui $R$ el recinte limitat per les gràfiques de totes dues funcions i la recta vertical $x = k$ (on $k > 0$).

Determina el valor del paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea d'aquest recinte sigui exactament de $4$ unitats quadrades.

Es defineix la funció $f(x) = |x^2 - 4|$. Volem estudiar la regió del pla que queda "atrapada" entre aquesta corba i la recta horitzontal $y = 5$.

Calcula l'àrea del recinte limitat superiorment per la recta $y = 5$ i inferiorment per la gràfica de la funció $f(x)$. Nota: Tingues en compte els punts de tall i la definició de la funció en valor absolut per dividir la integral si fos necessari.

Sigui la funció $f(x) = \ln(x)$. Es demana:

1. Trobar l'equació de la recta normal a la gràfica de $f(x)$ en el punt $P(e, 1)$.

2. Calcular l'àrea del recinte pla limitat per la corba $y = \ln(x)$, la recta normal trobada en l'apartat anterior i l'eix d'abscisses ($Eje\ OX$).

Un dipòsit d'aigua té una secció transversal la base de la qual està definida per l'eix $OX$ i la seva part superior per la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Calcula l'àrea total de la secció transversal del dipòsit realitzant el càlcul de la integral definida a cada interval.

Determina el valor de la constant $a \in \mathbb{R}$ amb $a > 1$, sabent que l'àrea del recinte limitat per la corba $y = \frac{1}{x^2}$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 1$ i $x = a$ és igual al doble de l'àrea del recinte limitat per la mateixa corba $y = \frac{1}{x^2}$, l'eix $OX$ i les rectes $x = a$ i $x = a^2$.

Troba l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ i la recta horitzontal que passa pel màxim relatiu d'aquesta funció.

Ajuda: Primer hauràs de localitzar el màxim relatiu mitjançant la derivada, trobar el valor de l'ordenada en aquest punt i després determinar els punts d'intersecció entre la corba i la recta resultant.

Sigui el recinte $A$ la regió del primer quadrant limitada per la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = 9$. Existeix una recta vertical d'equació $x = c$ (amb $0 < c < 3$) que divideix el recinte $A$ en dos subrecintes d'àrees idèntiques.

Calcula el valor exacte de la constant $c$.

Per calcular l'àrea del recinte limitat per la gràfica de $f(x) = x^3 - 4x$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes $x = -2$ i $x = 2$, tres companys de classe proposen estratègies diferents:

• En Marcos busca les arrels de $f(x)$ a $[-2, 2]$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$), n'estudia el signe a cada subinterval i planteja: $\text{Àrea} = \left|\int_{-2}^0 f(x)\,dx\right| + \left|\int_0^2 f(x)\,dx\right|$.

• La Sara analitza primer les propietats globals de $f(x)$, comprova que és una funció senar i afirma que l'àrea es pot calcular de manera més directa i neta com: $\text{Àrea} = 2 \int_0^2 (-f(x))\,dx$.

• En Diego afirma que, com que la definició general d'àrea sota una corba és $\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx$, n'hi ha prou de trobar directament una primitiva algebraica de $|x^3 - 4x|$ i aplicar Barrow entre $-2$ i $2$ sense separar a trossos.

1. a) Avalua la validesa matemàtica dels tres procediments: explica per què l'enfocament d'en Diego no és operatiu a la pràctica i calcula l'àrea exacta utilitzant tant el mètode d'en Marcos com el de la Sara per comprovar que tots dos són correctes.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes vàlids resulta més eficient i minimitza el risc de cometre errors de signe amb la regla de Barrow.
3. c) Si ara es trasllada verticalment la gràfica considerant la funció $g(x) = x^3 - 4x + 1$, raona si es podria continuar aplicant la drecera de simetria de la Sara per calcular l'àrea entre la corba $g(x)$ i l'eix $OX$ a l'interval $[-2, 2]$.

Es considera la funció $f_m(x) = x^2 - m^2$, on $m > 0$ és un paràmetre real constant. Es vol estudiar l'àrea $A(m)$ del recinte pla delimitat per la gràfica de $f_m(x)$, l'eix $OX$ i les rectes verticals fixes $x = 0$ i $x = 2$.

1. a) Observa que la posició de l'arrel positiva de la funció respecte a l'interval $[0, 2]$ depèn del valor de $m$. Dedueix raonadament l'expressió analítica de la funció àrea $A(m)$ distingint dos casos: quan $m \ge 2$ i quan $0 < m < 2$.
2. b) Demostra que la funció $A(m)$ obtinguda és contínua en el punt de frontera $m = 2$.
3. c) Determina el valor exacte de $m \in (0, 2)$ per al qual l'àrea del recinte és exactament igual a $2\text{ u}^2$.