Optimización de funciones
La optimización es, curso tras curso, uno de los bloques con más peso en EvAU: siempre aparece un problema de máximos o mínimos, y siempre se resuelve con el mismo procedimiento de cinco pasos que ya conoces de 1º. En 2º los contextos se complican —volúmenes de cuerpos 3D, costes con materiales distintos, trayectos con velocidades distintas— pero el método no cambia una coma. Dominarlo es, sin exagerar, de lo más rentable que puedes estudiar para el examen.
El procedimiento de los cinco pasos, otra vez
Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.
Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.
Un joven ganadero dispone de $120$ metros de valla para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared…
Un joven ganadero dispone de $120$ metros de valla para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared de piedra ya existente, solo necesita vallar los otros tres lados. Calcula las dimensiones del recinto para que el área encerrada sea máxima.
Optimización de cuerpos geométricos: superficie y volumen
El tipo más característico de 2º: un cuerpo tridimensional (cilindro, cono, caja) con el volumen fijo, y hay que minimizar la superficie (el material) o viceversa. La restricción suele venir de la fórmula del volumen del sólido.
Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ metros de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los…
Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ metros de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los recintos deben compartir un lado común, como se muestra en la figura, para aprovechar al máximo el material. Determina las dimensiones de la estructura exterior ($x$ e $y$) para que el área total encerrada sea máxima.
Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ metros cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e…
Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ metros cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e inferior) tiene un coste de $5$ € por metro cuadrado, mientras que el material para la superficie lateral es más ligero y cuesta $2$ € por metro cuadrado. Calcula el radio de la base y la altura del cilindro que minimizan el coste total de fabricación de cada depósito.
Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el…
Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el cilindro. Por razones de estabilidad química, el volumen total de la cápsula debe ser exactamente de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilizado para los extremos hemisféricos es un 50% más caro por unidad de superficie que el material utilizado para la parte cilíndrica. Determina las dimensiones de la cápsula (radio $r$ y longitud de la parte cilíndrica $h$) que minimizan el coste total de fabricación.
Optimizar costes con materiales o tramos distintos
Cuando distintas partes de una figura usan materiales (o precios) distintos, la función de coste se construye sumando el coste de cada parte por separado, cada una con su propio precio por unidad.
Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tienen $10.000$ suscriptores que pagan $12$ € al mes. Un…
Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tienen $10.000$ suscriptores que pagan $12$ € al mes. Un estudio de mercado indica que por cada euro que se rebaje el precio de la suscripción, se apuntarán $1.000$ nuevos usuarios. Por el contrario, por cada euro que aumente el precio, se perderán $1.000$ usuarios. Sabiendo que los costes fijos de mantenimiento son de $20.000$ € al mes y que cada suscriptor genera un gasto de gestión de $2$ €, ¿qué precio de suscripción mensual maximizará el beneficio neto de la plataforma?
Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por…
Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por un muro interno paralelo a uno de sus lados laterales. El coste de los muros exteriores es de $120 \text{ €}$ por metro lineal, mientras que el muro interno, al ser menos resistente, cuesta $80 \text{ €}$ por metro lineal. Halla las dimensiones del almacén que hacen que el coste de los muros sea lo más bajo posible.
Problemas con dos zonas o dos velocidades
Otro clásico de examen: un trayecto que cruza dos zonas con velocidades distintas (o dos tramos con comportamientos distintos), y hay que minimizar el tiempo total. La función a optimizar es una suma de tiempos, cada uno como distancia entre velocidad, con Pitágoras para expresar cada distancia en función de la variable.
En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa coordinado. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de…
En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa coordinado. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de la parábola $y = x^2$. Los programadores necesitan calcular el punto exacto del camino que se encuentra a la mínima distancia de la unidad para activar un evento de proximidad. Determina las coordenadas de dicho punto.
Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en…
Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en kilómetros. El terreno está dividido en dos zonas por la recta $y = 2$. En la zona superior ($y > 2$), debido a las condiciones de viento, el dron puede volar a una velocidad de $60 \text{ km/h}$. En la zona inferior ($y \leq 2$), el dron puede alcanzar los $100 \text{ km/h}$. Calcula el punto exacto sobre la línea divisoria por el que debe cruzar el dron para que el tiempo total del trayecto sea mínimo.