Exercicis: Optimització de funcions

Determina dos nombres reals positius la suma dels quals sigui exactament $60$ i tals que el seu producte sigui el més gran possible.

A la figura, el segment de longitud $60$ es reparteix en dues parts, $x$ i $y$. El punt de repartiment està dibuixat en un lloc qualsevol: no indica la solució.

Un jove ramader disposa de $120$ metres de tanca per tancar un recinte rectangular destinat a la pastura. Aprofitant que un dels costats del recinte serà una paret de pedra ja existent, només necessita tancar els altres tres costats. Calcula les dimensions del recinte perquè l'àrea tancada sigui màxima.

Es llança verticalment cap amunt una petita sonda meteorològica. L'alçària $h$ (en metres) que ateny la sonda en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

En quin instant atenyera la sonda la seva alçària màxima? Quina serà aquesta alçària?

Una empresa tecnològica ha determinat que el benefici mensual $B$ (en milers d'euros) per la venda d'un nou model d'auriculars sense fil depèn del nombre d'unitats fabricades $x$ (en centenars) segons la funció $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Troba el nombre d'unitats que s'han de fabricar cada mes per maximitzar el benefici i calcula el valor d'aquest benefici màxim.

Un estudi de disseny gràfic vol crear una targeta de felicitació rectangular que contingui exactament $32 \text{ cm}^2$ de superfície impresa. Si no es consideren marges, quines haurien de ser les dimensions de la targeta perquè el perímetre sigui mínim i així estalviar en el tall del paper?

El nombre de "m'agrada" ("likes") d'una publicació d'una famosa influenciadora ("influencer") durant les primeres $10$ hores segueix la funció $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, on $t$ és el temps transcorregut en hores ($0 \le t \le 10$). Determina en quin moment la publicació ateny el seu èxit més gran (màxim nombre de "m'agrada") i quants "m'agrada" obté en aquest instant.

Es vol construir una caixa oberta (sense tapa) a partir d'una làmina de cartró quadrada de $30 \text{ cm}$ de costat. Per fer-ho, es talla un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les cantonades i es meguen les vores cap amunt. Expressa el volum de la caixa en funció de $x$ i determina el valor de $x$ perquè el volum de la caixa sigui màxim.

Divideix el nombre $12$ en dos sumands positius tals que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

En Marcos ha de resoldre el problema d'optimització següent: «Es vol construir una caixa oberta sense tapa a partir d'una peça quadrada de cartó de $30\text{ cm}$ de costat, retallant quatre quadrats iguals de costat $x$ a cadascuna de les cantonades i doblegant les solapes cap amunt. Troba el valor de $x$ que maximitza el volum de la caixa».\nEn Marcos escriu al seu examen:\n1. Volum: $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Derivada: $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, les solucions de la qual són $x = 15$ i $x = 5$.\n3. Conclusió d'en Marcos: «El volum màxim s'obté per a $x = 15\text{ cm}$ perquè $15 > 5$».\n\na) Identifica i explica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos: un de relatiu al domini físic de la variable $x$ i un altre de relatiu al criteri per classificar màxims i mínims amb la derivada.\nb) Corregeix l'exercici seguint els cinc passos: defineix el domini físic admisible, classifica adequadament els punts crítics mitjançant el signe de $V''(x)$ o de $V'(x)$, i calcula les dimensions de la caixa i el seu volum màxim.

Un agricultor de la comarca del Baix Segura disposa d'un mur de pedra rectilini de $30\text{ m}$ de longitud i compta amb $50\text{ m}$ de malla metàl·lica per tancar un hort rectangular. Vol adossar l'hort al mur existent, de manera que el costat que es recolza al mur no requereix malla, però la seva longitud $y$ no pot sobrepassar els $30\text{ m}$ del mur disponible. Els altres tres costats es tancaran amb els $50\text{ m}$ de malla.\n\na) Estima: Abans de fer cap càlcul analític, respon intuïtivament: creus que convindria aprofitar els $30\text{ m}$ sencers de mur per «estalviar» la quantitat de malla més gran possible, o serà preferible deixar part de mur lliure per aconseguir una forma més quadrada? Planteja una estimació raonada de l'àrea màxima que esperes obtenir.\nb) Calcula: Expressa l'àrea del recinte $A(x)$ en funció de la longitud $x$ dels dos costats perpendiculars al mur. Determina el domini de definició de la funció tenint en compte la restricció física del mur ($y = 50 - 2x \le 30$). Calcula el valor de $x$ que anul·la la primera derivada i classifica'l.\nc) Comprova i reflexiona: Troba les dimensions òptimes definitives i l'àrea màxima. Compara el resultat amb la teva estimació inicial i argumenta per què la intuïció d'esgotar sempre la totalitat del mur disponible resulta enganyosa en aquest cas.

Un refugi d'animals ha rebut una donació de $120$ metres de tanca metàl·lica per construir dos recintes rectangulars contigus destinats a gossos i gats. Els recintes han de compartir un costat comú, com es mostra a la figura, per aprofitar al màxim el material. Determina les dimensions de l'estructura exterior ($x$ i $y$) perquè l'àrea total tancada sigui màxima.

Una plataforma de reproducció en línia (streaming) està analitzant la seva política de preus per a un nou pla prèmium. Actualment, tenen $10.000$ subscriptors que paguen $12$ € al mes. Un estudi de mercat indica que per cada euro que es rebaixi el preu de la subscripció, s'apuntaran $1.000$ nous usuaris. Per contra, per cada euro que augmenti el preu, es perdran $1.000$ usuaris. Sabent que els costos fixos de manteniment són de $20.000$ € al mes i que cada subscriptor genera una despesa de gestió de $2$ €, quin preu de subscripció mensual maximitzarà el benefici net de la plataforma?

Un estudi de disseny gràfic vol crear una caixa d'embalatge promocional a partir d'una cartolina quadrada de $24$ cm de costat. Per fer-ho, es talla un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les cantonades i es meguen les solapes cap amunt per formar una caixa sense tapa. Troba el valor de $x$ perquè la capacitat de la caixa sigui la màxima possible.

En un videojoc d'estratègia, una unitat d'exploració es troba en el punt $A(0, 5)$ d'un mapa coordinat. Existeix un camí la trajectòria del qual segueix la forma de la paràbola $y = x^2$. Els programadors necessiten calcular els punts exactes del camí que es troben a la distància mínima de la unitat per activar un esdeveniment de proximitat. Determina les coordenades d'aquests punts.

Una empresa química necessita fabricar dipòsits cilíndrics tancats amb una capacitat de $16 \pi$ metres cúbics. El material utilitzat per a les bases (superior i inferior) té un cost de $5$ € per metre quadrat, mentre que el material per a la superfície lateral és més lleuger i costa $2$ € per metre quadrat. Calcula el radi de la base i l'alçària del cilindre que minimitzen el cost total de fabricació de cada dipòsit.

Es vol dissenyar un panell publicitari amb forma de triangle isòsceles inscrit en una semicircumferència de radi $R = 6$ metres. Un dels seus vèrtexs és al centre $O$ de la semicircumferència, i els altres dos vèrtexs són sobre l'arc, units per una corda $b$ (la base) paral·lela al diàmetre. Anomena $h$ l'altura del triangle, és a dir, la distància de $O$ a la base, amb $0 < h < 6$.

Determina les dimensions del triangle (base i altura) perquè l'àrea de la superfície publicitària sigui màxima.

Una pàgina d'un llibre d'art ha de tenir una àrea total de $600$ $cm^2$. Els marges superior i inferior han de ser de $3$ cm cadascun, i els marges laterals de $2$ cm cadascun. Determina les dimensions de la pàgina (amplada i alçària) perquè l'àrea de la zona impresa (on va el text i les imatges) sigui màxima.

En una fusteria metàl·lica, s'ha de tallar una biga d'acer amb secció transversal rectangular a partir d'un tronc cilíndric de $40$ cm de diàmetre. La resistència mecànica $R$ d'aquesta biga és proporcional al producte de l'amplada $x$ pel quadrat de l'alçària $y$, és a dir, $R = k \cdot x \cdot y^2$ (on $k$ és una constant de resistència del material). Troba les dimensions $x$ i $y$ que ha de tenir la biga perquè la seva resistència sigui màxima.

Una empresa de logística opera una ruta diària d'anada i tornada entre Madrid i Saragossa per l'autovia A-2, amb un recorregut total de $640\text{ km}$. La velocitat mitjana de creuer $v$ (en $\text{km/h}$) ha de ser constant durant el trajecte i, pels límits de trànsit de vehicles comercials i la fluïdesa de la via, s'ha de situar en l'interval $[70, 110]$.\nEl consum de combustible de la furgoneta (en litres de dièsel per cada $100\text{ km}$) depèn de la velocitat segons la funció empírica $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$. El preu del gasoil a la ruta és d'$1,45\text{ \euro{}/L}$. A més, l'empresa computa un cost operatiu i salarial del conductor de $19\text{ \euro{}}$ per cada hora de viatge.\n\na) Modela la funció de cost total del trajecte, $K(v)$, sumant el cost del combustible consumit i el cost horari de la mà d'obra en funció de la velocitat $v$.\nb) Troba la velocitat mitjana que minimitza el cost total del viatge. Justifica rigorosament que es tracta d'un mínim relatiu analitzant el signe de la segona derivada $K''(v)$.\nc) Avalua i compara el cost total als extrems del domini legal ($v = 70\text{ km/h}$ i $v = 110\text{ km/h}$) respecte al mínim trobat, i indica el cost total òptim del viatge.

Es vol determinar el punt $P(x, y)$ de la paràbola $y = x^2$ que es troba a la distància més petita possible del punt exterior $A(0, 2)$. Per resoldre-ho, es plantegen tres possibles mètodes:\n- Mètode 1: Plantejar la distància euclidiana $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ i derivar directament l'arrel amb la regla de la cadena.\n- Mètode 2: Minimitzar la funció auxiliar $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.\n- Mètode 3: Trobar el punt $P(x, x^2)$ exigint que el vector $\vec{AP} = (x, x^2 - 2)$ sigui perpendicular al vector director de la recta tangent a la paràbola a $P$, és a dir, $\vec{AP} \cdot (1, 2x) = 0$.\n\na) Justifica formalment per què el Mètode 2 garanteix exactament els mateixos punts crítics i extrems que el Mètode 1, explicant per què resulta algebraicament preferible.\nb) Aplica el Mètode 2 per trobar els candidats a mínim, classifica'ls mitjançant el signe de $f''(x)$ i descarta els que no corresponguin a la distància mínima.\nc) Resol mitjançant el Mètode 3 i comprova que l'equació obtinguda és idèntica a la del Mètode 2. Quin dels tres mètodes triaries en un examen d'accés a la universitat per rapidesa i menor risc d'error de càlcul? Dona les coordenades dels punts més propers i la distància mínima.

Es vol dissenyar una càpsula per a un nou fàrmac que té forma de cilindre circular recte estés en els seus extrems per dos hemisferis del mateix radi que el cilindre. Per raons d'estabilitat química, el volum total de la càpsula ha de ser exactament de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilitzat per als extrems hemisfèrics és un 50% més car per unitat de superfície que el material utilitzat per a la part cilíndrica. Determina les dimensions de la càpsula (radi $r$ i longitud de la part cilíndrica $h$) que minimitzen el cost total de fabricació.

Un dron de vigilància s'ha de desplaçar des d'una base situada en el punt $A(0, 4)$ fins a un objectiu en el punt $B(10, 0)$, on les coordenades estan expressades en quilòmetres. El terreny està dividit en dues zones per la recta $y = 2$. A la zona superior ($y > 2$), a causa de les condicions de vent, el dron pot volar a una velocitat de $60 \text{ km/h}$. A la zona inferior ($y \leq 2$), el dron pot assolir els $100 \text{ km/h}$. Planteja la funció que modelitza el temps total del trajecte i l'equació que determina el punt sobre la línia divisòria pel qual ha de creuar el dron perquè aquest temps sigui mínim (no cal resoldre-la).

Una empresa logística està construint un magatzem amb una superfície de $400 \text{ m}^2$. El magatzem ha de tenir forma rectangular i estar dividit en dos sectors per un mur intern paral·lel a un dels seus costats laterals. El cost dels murs exteriors és de $120 \text{ €}$ per metre lineal, mentre que el mur intern, en ser menys resistent, costa $80 \text{ €}$ per metre lineal. Troba les dimensions del magatzem que fan que el cost dels murs sigui el més baix possible.

Es vol instal·lar un panell solar rectangular en una paret que té forma de triangle isòsceles, amb una base de $6 \text{ m}$ i una alçària de $4 \text{ m}$. El panell s'ha de col·locar de manera que la seva base estigui sobre la base del triangle i els seus dos vèrtexs superiors toquin els costats iguals del triangle. No obstant això, a causa de l'estructura de la paret, el panell té una eficiència que varia amb la seva alçària, de manera que l'energia total generada ve donada per la funció $E = A \cdot (5 - h)$, on $A$ és l'àrea del panell i $h$ la seva alçària. Troba les dimensions del panell que maximitzen l'energia generada.

Considera la funció $f(x) = \frac{1}{x^2}$ per a $x > 0$. Es traça una recta tangent a la gràfica d'aquesta funció en un punt genèric $P(a, f(a))$. Aquesta recta tangent forma, juntament amb els eixos de coordenades en el primer quadrant, un triangle rectangle. Determina si existeix algun valor d'$a$ per al qual l'àrea d'aquest triangle és mínima i, en cas afirmatiu, calcula el valor d'aquesta àrea.

Un fabricant de llaunes de conserva vol crear un nou envàs cilíndric amb un volum de $500 \text{ cm}^3$. El material de la tapa i de la base costa $0,02 \text{ €/cm}^2$, mentre que el material del lateral costa $0,01 \text{ €/cm}^2$. A més, per reforçar l'estructura, s'ha de col·locar una tira metàl·lica al voltant de la unió de la tapa amb el lateral i una altra al voltant de la base, amb un cost de $0,05 \text{ €/cm}$ de tira. Calcula el radi i l'alçària de la llauna que minimitzen el cost total de producció.

Dos punts $A$ i $B$ estan situats al mateix costat d'una recta $r$. El punt $A$ està a una distància de $3 \text{ km}$ de la recta i el punt $B$ a $6 \text{ km}$. La distància entre les projeccions de $A$ i $B$ sobre la recta $r$ és de $12 \text{ km}$. Es vol trobar un punt $C$ en la recta $r$ tal que la suma dels quadrats de les distàncies des de $C$ fins a $A$ i des de $C$ fins a $B$ sigui mínima. Demostra que aquest punt coincideix amb el punt mitjà de la projecció de $AB$ sobre la recta.

Disposem d'un tros de cable de $20 \text{ metres}$ de longitud. Volem tallar-lo en dos trossos (no necessàriament iguals) per formar amb un d'ells un quadrat i amb l'altre un triangle equilàter. Com hem de fer el tall perquè la suma de les àrees de totes dues figures sigui màxima? I perquè sigui mínima? Justifica la resposta analitzant els extrems de l'interval de definició de la variable.

Una cooperativa agrària encarrega el disseny d'una sitja vertical per a gra composta per un cilindre circular recte de radi $r$ i alçària $h$, tancat a la base inferior per un fons pla circular de radi $r$, i rematat a la part superior per una cúpula semiesfèrica de radi $r$. Per requeriments de resistència, els costos de fabricació per metre quadrat són:\n- Fons pla inferior: $20\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Paret cilíndrica lateral: $30\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Cúpula semiesfèrica: $k\text{ \euro{/m}}^2$ (on $k$ és un cost unitari positiu fixat pel taller de corbament).\n\nL'equip d'enginyers estableix com a criteri de disseny que, sigui quin sigui el volum de gra fixat $V_0 > 0$ que hagi d'albergar la sitja, les dimensions òptimes $(r, h)$ que facin mínim el cost total han de complir obligatòriament la relació estètica i estructural $h = 2r$.\n\na) Escriu la funció de cost total $C(r)$ en funció únicament del radi $r$ i de les constants $k$ i $V_0$, utilitzant la restricció del volum total de la sitja ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$).\nb) Deriva la funció $C(r)$ respecte de $r$ i imposa la condició de punt crític $C'(r) = 0$.\nc) Determina quin valor exacte ha de tenir el preu per metre quadrat $k$ de la semiesfera perquè la condició òptima coincideixi amb $h = 2r$. Demostra analíticament que aquest valor de $k$ no depèn del volum $V_0$ triat.\nd) Comprova mitjançant el signe de $C''(r)$ que la solució trobada correspon efectivament a un mínim absolut del cost.

Red Eléctrica de España projecta la línia d'evacuació d'energia des d'una subestació marina $S$ pertanyent a un parc eòlic a les costes gallegues. La subestació $S$ s'ubica al mar, a $6\text{ km}$ de distància perpendicular a la costa recta en el punt $A$. La subestació receptora terrestre $B$ està situada a la mateixa línia de costa, a $15\text{ km}$ de distància d'$A$.\nLa línia elèctrica anirà pel fons marí des de $S$ fins a un punt de desembarcament $P$ situat a la costa entre $A$ i $B$ (a una distància $x$ d'$A$, amb $0 \le x \le 15$), i continuarà sota terra des de $P$ fins a $B$ al llarg de la costa. El cost d'instal·lació del cable submarí és d'$1,5\text{ milions d'euros/km}$ i el del cable terrestre és de $0,9\text{ milions d'euros/km}$.\n\na) Planteja la funció de cost total $C(x)$ en milions d'euros i defineix el seu domini físic $[0, 15]$.\nb) Calcula la posició de $P$ (valor de $x$) que minimitza el cost total i justifica que es tracta del mínim absolut comparant el valor obtingut amb els extrems de l'interval tancat.\nc) Si $\theta$ representa l'angle que forma el traçat submarí $SP$ amb la perpendicular a la costa, demostra que en el punt òptim se satisfà exactament la Llei d'Snell: $\frac{\sin \theta}{c_{\text{terra}}} = \frac{1}{c_{\text{mar}}}$, sent $c_{\text{mar}} = 1,5$ i $c_{\text{terra}} = 0,9$.\nd) Problema de transferència i llindar: Suposa que el cost submarí es redueix a un valor genèric $c$ (mantenint el terrestre en $0,9\text{ milions/km}$). Determina a partir de quin valor crític de $c$ deixarà d'existir un punt de desembarcament intermedi $P \in (0, 15)$ i serà més econòmic estendre el cable directament en línia recta pel mar des de $S$ fins a $B$. Justifica el teu raonament estudiant el signe de $C'(x)$ a l'extrem superior del domini.

Repte del tema. Com gestiona el nostre país la seva xarxa elèctrica? Assessoraràs una cooperativa energètica analitzant la demanda elèctrica peninsular real.

1. Obtenció i modelització: Entra a ESIOS (Red Eléctrica de España) i descarrega les dades de demanda horària ($24\text{ h}$) d'un dia recent. A GeoGebra o en un full de càlcul, representa el núvol de punts i realitza un ajust polinòmic per obtenir $D(t)$ (amb $0 \le t \le 24$).

2. Curvatura i optimització: Utilitza la primera derivada per calcular i classificar els pics i les valls de consum diari ($D'(t) = 0$). Troba la segona derivada $D''(t)$, estudia els intervals de concavitat/convexitat i determina els punts d'inflexió, explicant què representen respecte al ritme d'acceleració del consum.

3. Integral i proposta: Calcula l'energia total consumida durant el dia mitjançant la integral definida $E = \int_{0}^{24} D(t)\,dt$. Redacta un breu informe (una cara) que inclogui la gràfica obtinguda i una proposta justificada de discriminació horària (hores vall i punta) per incentivar l'estalvi.

Es valorarà:

• Rigor en l'ajust analític de les dades reals amb GeoGebra o el full de càlcul.

• Correcció i justificació matemàtica dels extrems, curvatura, punts d'inflexió i integració.

• Interpretació contextualitzada del significat físic de les derivades i viabilitat de la proposta final.