Logaritmes

Un topògraf mesura la longitud d'una parcel·la destinada a un nou parc central i obté un valor de $154,7$ metres. Si la mesura real exacta és de $154,728$ metres, calcula:

1. a) L'error absolut comès en la mesura.
2. b) L'error relatiu comès, expressat en percentatge i arrodonit a dues xifres decimals.

En un laboratori de biologia, s'estima que el nombre de bacteris en una mostra creix molt ràpidament. Expressa les dades següents utilitzant notació científica:

1. a) El nombre de bacteris després d'una setmana és de $450.000.000$.
2. b) La mida d'un bacteri individual és de $0,0000000025$ metres.
3. c) La massa de la mostra processada és de $0,00034$ grams.

Per comprendre la relació entre potències i logaritmes, completa la taula següent transformant cada igualtat exponencial en la seva forma logarítmica corresponent, basant-te en la definició $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Calcula el valor de les expressions següents utilitzant exclusivament la definició de logaritme, sense fer servir la calculadora:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les propietats dels logaritmes, de manera que el resultat final només contingui logaritmes de variables simples:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Calcula el valor exacte dels logaritmes següents sense utilitzar la calculadora, aplicant directament la definició:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Sabent que els logaritmes decimals de 2 i 3 són aproximadament $\log 2 \approx 0,3010$ i $\log 3 \approx 0,4771$, utilitza les propietats dels logaritmes per estimar el valor de:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Pista: relaciona el 5 amb el 10 i el 2).

Resol les equacions logarítmiques següents aplicant les propietats per unificar els termes i comprova la validesa de les solucions obtingudes:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

Resol la següent equació logarítmica assegurant-te de comprovar la validesa de les solucions obtingudes en el domini de definició:

Contextualitza el problema: Si $x$ representés el nombre d'usuaris en milers d'una nova xarxa social, tindrien sentit totes dues solucions matemàtiques en el món real?

Un inversor diposita $5.000$ € en un fons d'inversió que ofereix un interès compost del $3,5 \%$ anual. El montant final $M$ després d'un temps $t$ en anys ve donat per la fórmula $M = C \cdot (1+i)^t$.

Quants anys hauran de transcórrer perquè l'inversor assoleixi un montant de $8.000$ €? Expressa el resultat arrodonint a les unitats.

La magnitud $M$ d'un terratrèmol a l'escala de Richter es relaciona amb l'energia alliberada $E$ (en joules) mitjançant la fórmula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

A la figura tens la gràfica d'aquesta relació (magnitud $M$ a l'eix horitzontal i $\log E$ a l'eix vertical). Calcula amb la fórmula; la gràfica només t'serveix per comprovar que el resultat és raonable.

1. a) Si un terratrèmol té magnitud $M = 5$, quanta energia allibera?

1. b) Si un terratrèmol allibera $10^{15}$ joules d'energia, quina és la seva magnitud a l'escala Richter?

Un inversor col·loca $15.000 €$ en un producte financer que ofereix un interès compost nominal del $4,5\%$ anual amb capitalització mensual.

1. a) Utilitzant logaritmes, calcula exactament quants mesos han de transcórrer perquè el capital final sigui el triple de l'inicial.
2. b) Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'aquesta operació i expressa-la com a percentatge amb dos decimals. Què significa aquest valor respecte al $4,5\%$ nominal?