Potències d'exponent racional. Radicals

En l'estudi de microorganismes, la mida de certes estructures es pot expressar mitjançant potències i arrels. Transforma els radicals següents en potències d'exponent fraccionari i viceversa:

1. a) $\sqrt[5]{x^2}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

1. c) $7^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{-\frac{1}{2}}$

Simplifica els radicals següents dividint l'índex i l'exponent del radicand pel màxim comú divisor entre tots dos:

1. a) $\sqrt[12]{x^8}$

1. b) $\sqrt[9]{27}$

1. c) $\sqrt[10]{a^{15}}$

1. d) $\sqrt[6]{125}$

Per optimitzar l'espai en un disseny gràfic, un programador necessita extreure factors dels radicals sempre que sigui possible. Realitza l'extracció en les expressions següents:

1. a) $\sqrt{50}$

1. b) $\sqrt[3]{16x^5}$

1. c) $\sqrt{a^3 b^4 c}$

1. d) $\sqrt[4]{32}$

En algunes fórmules financeres, és preferible tenir tots els elements sota un mateix signe radical. Introdueix els factors dins de l'arrel i simplifica el resultat:

1. a) $3\sqrt{2}$

1. b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

1. c) $\frac{2}{3}\sqrt{5}$

1. d) $a \sqrt[4]{a^3}$

Expressa les potències següents d'exponent racional en forma de radical i simplifica el resultat extreient tots els factors possibles:

1. a) $27^{\frac{2}{3}}$

1. b) $125^{-\frac{1}{3}}$

1. c) $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{1,5}$

Un arquitecte està calculant els perímetres d'una estructura metàl·lica composta per diversos perfils. Suma i simplifica els radicals semblants següents per obtenir la longitud total:

$2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} + \sqrt{12}$

Opera i simplifica la següent expressió, deixant el resultat com un únic radical d'índex mínim:

Un estudi d'arquitectura està dissenyant un jardí triangular. Les longituds dels tres camins que delimiten el jardí vénen donades per les expressions següents en metres:

• Camí A: $3\sqrt{20}$

• Camí B: $\sqrt{125}$

• Camí C: $2\sqrt{45}$

Calcula el perímetre total del jardí simplificant l'expressió al màxim.

Simplifica la següent expressió reduint a un únic radical i extreient factors si cal:

Simplifica la següent expressió algebraica operant amb els radicals i extreient tots els factors possibles. Expressa el resultat final utilitzant un únic radical:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

Calcula el valor exacte de l'àrea total d'un octaedre regular (format per dues piràmides quadrangulars unides per la base) l'aresta del qual mesura $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Has de deixar el resultat simplificat amb radicals, sense utilitzar aproximacions decimals.

(Pista: l'àrea d'un triangle equilàter de costat $a$ és $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Racionalitza i simplifica al màxim la següent expressió. Assegura't que el denominador final sigui un nombre enter:

$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$