Operacions amb radicals

Simplifica la següent expressió matemàtica extreient factors dels radicals i agrupant aquells que siguin semblants:

$5\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{75}$

Una empresa de tecnologia està dissenyant un nou model de telèfon intel·ligent. La pantalla és rectangular i les seves dimensions exactes venen donades pels radicals següents: la base mesura $\sqrt{12}$ cm i l'altura mesura $\sqrt{3}$ cm. Calcula l'àrea de la pantalla expressant el resultat de forma simplificada.

Extreu tots els factors que sigui possible dels radicals següents per obtenir l'expressió més simplificada:

1. a) $\sqrt{72x^4y^3}$

1. b) $\sqrt[3]{128a^5}$

Extreu els factors possibles dels radicals següents i simplifica l'expressió resultant per obtenir un únic terme:

$3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20}$

Racionalitza les fraccions següents de manera que no quedi cap radical al denominador. Recorda simplificar el resultat final si és possible:

1. a) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

1. b) $\frac{3}{\sqrt[3]{5}}$

En el disseny d'un nou xip per a telèfons intel·ligents, una de les connexions té una longitud donada pel producte de dos components radicals. Calcula el valor exacte d'aquesta longitud simplificant el producte següent i expressant-ho sota un únic radical:

$\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}$

Calcula l'àrea d'una plaça pública de forma quadrada amb un costat que mesura $(2 + \sqrt{5})$ metres. Expressa el resultat de forma exacta simplificant els radicals que apareguin en el desenvolupament del binomi.

Racionalitza les expressions següents per eliminar els radicals del denominador i simplifica el resultat final:

1. a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{9}}$

1. b) $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

Simplifica al màxim la següent expressió combinada, extreient factors dels radicals i racionalitzant aquells termes que sigui necessari per agrupar la part numèrica:

$$3\sqrt{175} - \frac{5}{\sqrt{7}} + \sqrt[4]{441} - 2\sqrt{112}$$

Racionalitza i simplifica la següent fracció. Has d'operar el numerador després de la racionalització per obtenir l'expressió més reduïda possible:

$$\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}$$

Redueix a un únic radical i simplifica l'expressió resultant, assumint que les variables $x$ i $y$ representen valors reals positius:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2 \cdot y} \cdot \sqrt{x \cdot y^3}}{\sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}}$$

Un arquitecte està dissenyant una claraboia triangular per a un nou centre comercial. El disseny requereix que la base de la claraboia sigui un triangle equilàter amb una altura que sigui exactament $H = \sqrt{18} + \sqrt{6}$ metres. Calcula el valor exacte de l'àrea de la claraboia, expressant el resultat com un radical simplificat en $m^2$.